归纳—猜想—论证高三复习课教学设计说明

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1、归纳猜想论证（高三复习课）教学设计说明选择课题的背景：1.在 2009 年第 9 期数学教学杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔一个新课题：数学思想方法的教学 ，深受启发，很想付诸实践，于是选择这个机会展示一节关于数学思想方法的教学。2.研究近年的高考试题，发现自觉或不自觉地在考查应用“归纳猜想”解决问题的思想和方法（参看本节课所选试题） ，作为高三复习课，本着以学生的发展为本的理念，要重视这一数学思想的教学。3.2011 年 10 月 10 日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后面的课改，会把数学思想方法教学的具体要求写入课标，这更坚定了我的想法- 上一节关于数学思想方法的课

2、。一、内容与教材分析“归纳猜想论证”是上海教育出版社高级中学课本数学高二年级第一学期（试用本）第 7 章数列一章的内容，隶属数学归纳法这一节。“归纳猜想论证”是高中数学教学中唯一一节以数学思想方法为内容的课。如果数学归纳法是数学方法，那么“归纳猜想论证”就是解决问题的思想方法，经常和数学归纳法联合使用，所以教材将其归入数学归纳法的一部分，但也并非意味着归纳猜想的结论只能应用数学归纳法证明。为了探求一般规律，往往先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法用证明验证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳猜想论证”的思想方法。“归纳猜想 论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复

3、杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。需要注意（方法的要害）：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性（例如哥德巴赫猜想，尽管计算机可以检验到很大的数猜想都成立，可是在没证明之前，谁也无法断定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好佐证） 。“归纳猜想 论证”是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以尝试用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题） ，它经历三个过程：尝试观察特例 体验猜测 理性证明，所以“归纳猜想论证”完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。我们在分析和解决问题时，要大胆假设，小心求证，这也是探索发现真理的重要思想，是创

4、造灵感的源泉，也是思维严谨的体现，是矛盾的统一。二、学情分析高三复习中，一方面遇到非数列背景的数学问题，学生往往较难想到应用“归纳猜想论证”的思想方法解决问题，应用意识非常薄弱。另一方面，近几年高考和各类考试都在考查“归纳猜想论证”的思想方法，如本课选的课堂练习和作业中的问题。教学目标、考查要求和学生实际表现使矛盾不断凸现。本着以学生的发展为本的理念，必须增强学生归纳猜想的能力。我校是市实验性示范性高中，本班是学校的重点物理班，学生基础比较扎实，想象力比较强，归纳猜想能力比较好，所以在选择问题的时候层次也比较高，有一定难度，但问题难度的处理上一定要注意层层推进，螺旋上升。三、教学目标设计教学目

5、标1.经历“归纳猜想论证”的思维过程，领会“归纳猜想论证”的思想方法。2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。 .通过实验、观察、尝试，培养他们的科学探究能力。教学重点“归纳猜想论证”的思维方法。教学难点“归纳猜想”能力的培养。四、教学过程设计【教学脉络】以“归纳猜想论证”思想方法的“复习应用延拓再应用”为主线展开设计。1.复习“归纳猜想论证”的思想方法（从问题引出课题）【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？【学生】 22333 11212.4nnLL【教师】这个等式很简洁，很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）【设计意图】这道题

6、目的结果体现一种简洁美，给人美的享受，可以培养学生数学审美情趣。问题难度不大，每个学生都能理解，可以比较完整地复习“归纳猜想论证”的思想方法。因为通常我们可以先考虑用数学归纳法完成猜想的证明，所以我们选择引例采用数学归纳法证明。证明： 1.当 时，猜想成立。1n2. 假设 时， k22333112.4k kSL则当 时，k3331,296,.所以， 时猜想2222331 11.44kkkS1nk也成立。综上，对任意的 猜想都正确。nN【问题】如果直接给你这样一个问题 . 你该怎么33312nL做？【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想是否正确，这样

7、解决问题的想法就是“归纳猜想论证”的思想方法（今天我们复习“归纳猜想论证” ，直接点题）【设计意图】让学生用自己的语言根据刚刚解决的实例总结“归纳猜想论证”解决问题的思维过程，增强学生理解的深度，教师进行适当补充直接点题。2.应用“归纳猜想论证”的思维方法解决问题【例 1】设定义在 上的函数 ，N();()2nff为 奇 数为 偶 数如果 ，那么 .()3(2)(nn fffaLna1【问题】这是去年浦东新区一模第 13 试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给

8、大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。【设计意图】这也是一个数列问题，目的是让学生练习应用“归纳猜想论证”的思想方法解决问题，教师引导学生深刻体会“归纳猜想论证”的思想方法，既是练习也是例题。放在这节课， 【例 1】难度比前面引例的难度大，比后面【例 2】的难度小，体现教学难度的层层推进，螺旋上升。作为“归纳猜想论证”在其它问题中应用的一个过渡，给学生搭建拾级而上的台阶，为学习后面的【例 2】做好铺垫。【教师】到目前为止，我们应用“归纳猜想论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在

9、说话，而后面【例 2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳猜想论证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡） 。【例 2】在空间直角坐标系 中，满足条件 的点Oxyz221xyz构成的空间区域 的体积为 ， （ 分别表示不大于 的,xyz33V,z,xy最大整数） ，则 .3V（1）高斯和高斯函数简介：见课件。【设计意图】提高学生的数学文化修养，课后还有配套习题：【4】画高斯函数的图像。画图像时，也是先画简单的情形，再归纳出一般的图像，体现了归纳猜想的思想方法在解决函数问题的应用。（2）分析：空间问题有时比较复杂，比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的

10、具体化呢？可以先考虑 （直线上的情况）21x,再考察 （平面上的情况） 。讨论清楚直线和平面的情况，画出图21xy形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。 （教学方法：启发式）【教师】点评：空间问题有时比较复杂，比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究平面，直线上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳猜想论证”的思想方法(再次点题)。【设计意图】这是一道非常漂亮的试题，可谓鬼斧神工，难度较大，但如果思考的方法恰当，解决起来也不是很困难。这道空间几何问题，涉及到高斯函数，所以这道题目除了可以培养学生“归纳猜想”的能力外，还可以培养学生的空间想象能力，以及数学文化修养。选这道题目的目的是想

11、告诉学生“归纳猜想论证”的思想方法不但可以解决与数列相关的问题，也可以解决一些和正整数看起来无关的问题（其实，空间是三维的，平面是两维的，直线是一维的，我们可以对问题的维数进行归纳猜想） ，所以空间问题也可应用“归纳猜想论证”的方法解决。此处是本节的重头戏，也是高潮。我们没有直接采用分类讨论解决空间问题，而是采用归纳猜想的方法，也就是说不光为了解决具体问题，而是在解决问题的过程中寻找一般性的处理问题的方法，即使分类讨论的方法本身也可以通过归纳得到。三小试牛刀（下面我们做几个练习）【1】设 是空间中给定的 个不同的点，则使12,nALNn成立的点 的个数为 （ ）.0MururMA0 B1 C

12、Dn2n【2】 在 n行 n 列矩阵2314521231n 中，记位于第i行第 j列的数为 (,2,)ija. 若 为正奇数，则 .12naaL【设计意图】 练习应用归纳猜想思想方法解决非数列问题，继续延拓方法应用的范围。 【1】中 ，就是 2011 年高考试题；【2】中 ，就是 20105n 9年高考试题，所以问题具有代表性和典型性。这两道试题如果应用归纳猜想，问题解答就比较容易了。在【1】中分别取 就能得到答案，在【2】中1,n分别取 ，就可以归纳猜想出结论。,3n【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设 （ ，nk1是正奇数）时，猜想成立，则当 .时，要证明的等式是 .【设计

13、意图】 【2】的具体证明已经超出了课程标准和考试大纲，而关于这道题的证明自然地设计了这样一个框架性问题，检测学生对数学归纳法本质的理解，也是对证明的思考，体现“归纳猜想论证”思维过程的完整性(由于本节课不是复习数学归纳法，所以这个问题我们作为机动问题，要看课堂时间是否允许)。四小节提升1.“归纳猜想 论证” 是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性。3.“归纳猜想 论证” ，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、

14、矩阵等问题） ，它完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。最后，送大家一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！【设计意图】回顾总结课堂学习，提高学生对“归纳猜想论证”数学思想方法本质的理解和认识。以牛顿的名言结束本节课，提升数学课堂的情趣，强调猜想的重要性。作业设计【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家可以上网找找，看看我国的数学家做了哪些贡献？【2】 在数列 中， . 若 ，则na115,342nanN2nba数列 的通项公式是 . nb【3】函数 项数为 27 的等差数列 满足 ，xxftansi)(na2,n且公差 0若 ，则当 时， d0)()(2721 fff k0)(k

15、af【4】 画高斯函数的图像。【5】设 n 阶方阵， 125)1(23)1(2)1(2 6444 412531 nnnn nAn LLL任取 中的一个元素，记为 ；划去 所在的行和列，将剩下的元素按原来的x位置关系组成 阶方阵 ，任取 中的一个元素，记为 ；划去 所在1nA1n 2x2的行和列，；将最后剩下的一个元素记为 ，记 ，则nxnnSL1，则 =_. nnxxSL21 1lim3Sn【6】 在三角形 ABC 内有任意三点不共线的 2008 个点，加上 A、B、C三个顶点，共有 2011 个点，把这 2011 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成的小三角形的个数为_. 【7】在空间直角坐标系 中，满足条件 的点Oxyz221xyz构成的空间区域 的体积为 ， （ 分别表示不大于 的,xyz33V,z,xyz最大整数