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1、1解 疑 周期函数的定义域与周期2010.04提出问题：f(x)=sinx (x0)是周期函数吗？；周期函数定义域是 R吗？若 T是 f(x)的周期，那么 kT(k属于 Z）必是 f(x)的周期吗？首 先 明 确 ： 一 、 有 限 区 间 、 无 限 区 间 ； 二 、 非 空 数 集 的 有 界 、 无 界 与 确 界 ； 三 、再 解 疑 周期函数的定义域与周期；四、教师参考探讨如下一 、 有 限 区 间 、 无 限 区 间 ：1.有 限 区 间 ： = 开 区 间 ； = 闭 区 间 ；半 开 (半 闭 )区 间 . 2.无 限 区 间 ： = ； ； ； .二 、 非 空 数 集 的
2、 有 界 、 无 界 与 确 界1.上 界 、 上 确 界 ： 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 若 存 在 实 数 M， 使 得 对 一AR切 ， 都 有 , 则 称 为 数 集 的 上 界 。 所 有 上 界 中 最 小 的 一 个 叫 数 集xAxM的 上 确 界 。2.下 界 、 下 确 界 : 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 若 存 在 实 数 M， 使 得 对 一 切， 都 有 , 则 称 为 数 集 的 下 界 。 所 有 下 界 中 最 大 的 一 个 叫 数 集xxA的 下 确 界 。A3. 非 空 数 集 有 界 ： 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 ，
3、 若 数 集 “有 上 界 且 有 下RA界 ”, 则 称 数 集 有 界 。 如A有 限 区 间 类 ： 。,;,;abab间 断 类 型 ： 1245126U4. 非 空 数 集 无 界 ： 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 ， 若 数 集 “无 上 界 或 无 下ARA界 ”, 则 称 数 集 无 界 。 （ 无 界 含 有 三 种 情 况 ： 无 上 界 ； 无 下 界 ； 无 上 界 且 无下 界 。 ） 如无 限 区 间 类 : ,;,;,;,;,aa2间 断 类 型 ： ; ;,24,5;1,2,U,2xkN,xkZ注 意 ： 函 数 的 定 义 域 是 非 空 数 集 应
4、 分 有 界 与 无 界 两 类 。 即 有 限 区 间 双 侧 有 界 ，间 断 双 侧 有 界 ； 无 限 区 间 单 侧 无 界 ， 无 限 区 间 双 侧 无 界 ， 间 断 单 侧 无 界 与间 断 双 侧 侧 无 界 。 （ 定 义 域 分 为 有 限 区 间 与 无 限 区 间 不 确 切 ）三、 函数的定义域与周期1.周期函数的定义（旧人教、新课标版一样）：对于函数 y=f(x)，如果存在常数 T0，使得当 x取定义域内每一个值时， 都有 f(x+T) = f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T 就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期
5、。注意：定义中“存在常数 T0”,其意是可存在正数 T，也可存在负数 T，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。定义中“x 取定义域内每一个值”时，都有 f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。结论：其 实 有 周期函数定 义 和 注 意 不难得出周期函数的定 义 域 有 不 同 的三种形式， ：定义域左侧无界；定义域右侧无界；定义域双侧无界。（定义域为左侧无限区间；定义域为右侧无限区间；定义域双侧无限区间；不妥因由间断）。周期 T有不 同 的 三种形式形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期。举例如下例 1： 解：周期 。无负周期，定义域右侧无界，
6、有()sin(0)fx2最小正周期。例： 解：周期 。无正周期，定义域左侧无界，()si()f无最小正周期。例 3： 解：周期 。有正负周期，定义域双侧无界，()sin()fxR2有最小正周期。3例 4 解：周期 。无负周期，定义域()tan(0,)2fxxkZ右侧无界，有最小正周期。例 5: 解：周期 。无正周期，定()t(,)f义域左侧无界，无最小正周期。例 6: 解：周期 。有正负周期，定义域双()tan(,)2fxkZ侧无界，有最小正周期。例 7: 解：任意 都是周期。有正负周期，定义域双侧无()fCR0界，无最小正周期。例 8: 解：非周期函数。(),fxab例 9:f(x)=0,x
7、为整数 解：周期 。有正负周期，定义域双侧无界，有最1小正周期。例 10lgsin（x） 解：周期 。有正负周期，定义域双侧无界，有最小2正周期。例 11克雷 Dirichlet函数 解：周期为任意 实数。1()0xf为 有 理 数 ）为 无 理 数 ） 0有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。2. 周期函数性质：T 是函数 f(x)的周期，则对于任意的正整数 kN，kT 是 f(x)的周期。应该把那个 kZ 改成 kN.若 都为函数 f(x)的周期，且 ，则 也是 f(x)12,T120T12T的周期.注意：T 是函数 f(x)的周期，则对于任意的整数 ，kT 是 f(x)的周kz期不正
8、确。四、教师参考为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪？其原因是中学与大学教材定义不一样。1. 大学周期函数的定义：对于函数 y=f(x)，如果存在常数 T0，使得当 x取定义域内每一个值时，都有 f(xT)=f(x)，那么函数 y= f(x)就叫周期函数，4T就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。结论：定义域双侧无界。周期 T：有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期。性质：此时周期函数的性质可变为：(1) 若 T是 f(x)的周期，则-T 也是 f(x)的周期；(2) 若 T是 f(x)的周期，则 kT也是 f(x)的周期，其中 k是非零整数；(3) 若 T1、T2 是 f(x)的周期，则 T1T2也是 f(x)的周期；(4) 若 T是 f(x)的最小正周期，则 f(X)的所有周期组成的集合为t|t=kT,kZ, k0；(5 若 f(x)是周期函数，则 f(x)的定义域一定是双侧无界的。2. 严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷，而且还可能会有一些奇怪的例子，很不符合最初的观念。2010.04.17
