《解疑周期函数的定义域与周期》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解疑周期函数的定义域与周期(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1解 疑 周期函数的定义域与周期2010.04提出问题:f(x)=sinx (x0)是周期函数吗?;周期函数定义域是 R吗?若 T是 f(x)的周期,那么 kT(k属于 Z)必是 f(x)的周期吗?首 先 明 确 : 一 、 有 限 区 间 、 无 限 区 间 ; 二 、 非 空 数 集 的 有 界 、 无 界 与 确 界 ; 三 、再 解 疑 周期函数的定义域与周期;四、教师参考探讨如下一 、 有 限 区 间 、 无 限 区 间 :1.有 限 区 间 : = 开 区 间 ; = 闭 区 间 ;半 开 (半 闭 )区 间 . 2.无 限 区 间 : = ; ; ; .二 、 非 空 数 集 的
2、 有 界 、 无 界 与 确 界1.上 界 、 上 确 界 : 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 若 存 在 实 数 M, 使 得 对 一AR切 , 都 有 , 则 称 为 数 集 的 上 界 。 所 有 上 界 中 最 小 的 一 个 叫 数 集xAxM的 上 确 界 。2.下 界 、 下 确 界 : 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 若 存 在 实 数 M, 使 得 对 一 切, 都 有 , 则 称 为 数 集 的 下 界 。 所 有 下 界 中 最 大 的 一 个 叫 数 集xxA的 下 确 界 。A3. 非 空 数 集 有 界 : 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 ,
3、 若 数 集 “有 上 界 且 有 下RA界 ”, 则 称 数 集 有 界 。 如A有 限 区 间 类 : 。,;,;abab间 断 类 型 : 1245126U4. 非 空 数 集 无 界 : 设 为 中 的 一 个 非 空 数 集 , 若 数 集 “无 上 界 或 无 下ARA界 ”, 则 称 数 集 无 界 。 ( 无 界 含 有 三 种 情 况 : 无 上 界 ; 无 下 界 ; 无 上 界 且 无下 界 。 ) 如无 限 区 间 类 : ,;,;,;,;,aa2间 断 类 型 : ; ;,24,5;1,2,U,2xkN,xkZ注 意 : 函 数 的 定 义 域 是 非 空 数 集 应
4、 分 有 界 与 无 界 两 类 。 即 有 限 区 间 双 侧 有 界 ,间 断 双 侧 有 界 ; 无 限 区 间 单 侧 无 界 , 无 限 区 间 双 侧 无 界 , 间 断 单 侧 无 界 与间 断 双 侧 侧 无 界 。 ( 定 义 域 分 为 有 限 区 间 与 无 限 区 间 不 确 切 )三、 函数的定义域与周期1.周期函数的定义(旧人教、新课标版一样):对于函数 y=f(x),如果存在常数 T0,使得当 x取定义域内每一个值时, 都有 f(x+T) = f(x),那么函数y= f(x)就叫周期函数,T 就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数,则称它为最小正周期
5、。注意:定义中“存在常数 T0”,其意是可存在正数 T,也可存在负数 T,还可二者都存在,不是正负同时存在才行。定义中“x 取定义域内每一个值”时,都有 f(x+T) = f(x),即恒成立的意思。结论:其 实 有 周期函数定 义 和 注 意 不难得出周期函数的定 义 域 有 不 同 的三种形式, :定义域左侧无界;定义域右侧无界;定义域双侧无界。(定义域为左侧无限区间;定义域为右侧无限区间;定义域双侧无限区间;不妥因由间断)。周期 T有不 同 的 三种形式形式:有正周期不一定有负周期;有负周期不一定有正周期;有正周期不一定有最小正周期。举例如下例 1: 解:周期 。无负周期,定义域右侧无界,
6、有()sin(0)fx2最小正周期。例: 解:周期 。无正周期,定义域左侧无界,()si()f无最小正周期。例 3: 解:周期 。有正负周期,定义域双侧无界,()sin()fxR2有最小正周期。3例 4 解:周期 。无负周期,定义域()tan(0,)2fxxkZ右侧无界,有最小正周期。例 5: 解:周期 。无正周期,定()t(,)f义域左侧无界,无最小正周期。例 6: 解:周期 。有正负周期,定义域双()tan(,)2fxkZ侧无界,有最小正周期。例 7: 解:任意 都是周期。有正负周期,定义域双侧无()fCR0界,无最小正周期。例 8: 解:非周期函数。(),fxab例 9:f(x)=0,x
7、为整数 解:周期 。有正负周期,定义域双侧无界,有最1小正周期。例 10lgsin(x) 解:周期 。有正负周期,定义域双侧无界,有最小2正周期。例 11克雷 Dirichlet函数 解:周期为任意 实数。1()0xf为 有 理 数 )为 无 理 数 ) 0有正负周期,定义域双侧无界,无最小正周期。2. 周期函数性质:T 是函数 f(x)的周期,则对于任意的正整数 kN,kT 是 f(x)的周期。应该把那个 kZ 改成 kN.若 都为函数 f(x)的周期,且 ,则 也是 f(x)12,T120T12T的周期.注意:T 是函数 f(x)的周期,则对于任意的整数 ,kT 是 f(x)的周kz期不正
8、确。四、教师参考为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪?其原因是中学与大学教材定义不一样。1. 大学周期函数的定义:对于函数 y=f(x),如果存在常数 T0,使得当 x取定义域内每一个值时,都有 f(xT)=f(x),那么函数 y= f(x)就叫周期函数,4T就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数,则称它为最小正周期。结论:定义域双侧无界。周期 T:有正周期必有负周期;有负周期必有正周期;有正周期不一定有最小正周期。性质:此时周期函数的性质可变为:(1) 若 T是 f(x)的周期,则-T 也是 f(x)的周期;(2) 若 T是 f(x)的周期,则 kT也是 f(x)的周期,其中 k是非零整数;(3) 若 T1、T2 是 f(x)的周期,则 T1T2也是 f(x)的周期;(4) 若 T是 f(x)的最小正周期,则 f(X)的所有周期组成的集合为t|t=kT,kZ, k0;(5 若 f(x)是周期函数,则 f(x)的定义域一定是双侧无界的。2. 严格按照课本,如果课本上没有明确定义,我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义,是观察了实际中的事物或现象后,在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义,很难说哪一种定义更符合人们的初衷,而且还可能会有一些奇怪的例子,很不符合最初的观念。2010.04.17