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1、1不等式组与方案设计安徽李庆社近年来的中考试卷中，经常会出现一些与实际生活关系密切的方案设计问题.其中，有许多问题的条件中蕴含着两个不等量的关系，它需要我们求解时，能从不等式的知识为切入点，构造不等式组确定问题中的范围，从而进一步设计方案.列不等式(组)解决实际问题是学习中的一个重点,而列不等式组解方案设计问题又是一类比较重要的题型,所以掌握列不等式组解方案设计问题至关重要.一、加工方案例 1小亮妈妈下岗后开了一家糕点店现有 10.2 千克面粉，10.2 千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共 50 盒已知加工一盒一般糕点需 0.3 千克面粉和 0.1 千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需 0
2、.1 千克面粉和 0.3 千克鸡蛋（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为 1.5 元和 2 元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？分析:本题是一道与糕点加工有关的实际问题.根据实际问题可知需要加工两种糕点 50盒,这 50 盒糕点需用的面粉不能大于 10.2 千克,所需用的鸡蛋不能大于 10.2 千克.要确定有几种不同的加工方案,则可设加工一般糕点 x 盒,用 x 的代数式表示加工两种蛋糕需要的面粉和鸡蛋的数量,然后列不等式组解决.解:（1）设加工一般糕点 x 盒，则加工精制糕点(50-x)盒根据题意，
3、x 满足不等式组：2.10)5(3.0,解这个不等式组，得 24x26因为 x 为整数，所以 x=24,25,26.因此，加工方案有三种：加工一般糕点 24 盒、精制糕点 26 盒；加工一般糕点 25 盒、精制糕点 25 盒；加工一般糕点 26 盒、精制糕点 24 盒（2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点 24 盒、精制糕点26 盒时，可获得最大利润最大利润为：241.5+262=88(元)二、运输方案例 2我市某生态果园今年收获了 15 吨李子和 8 吨桃子，要租用甲、乙两种货车共 6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子 4 吨和桃子 吨，乙种货车可装李子 吨和桃子 31
4、1吨（1）共有几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付运费 1000 元，乙种货车每辆需付运费 700 元，请选出最佳方案，此方案运费是多少分析：本题是一道与运输有关的方案设计问题.根据已知可知要用两种载重不同 6 辆车运 15 吨李子和 8 吨桃子，可设需要甲种货车 x 辆，则需用乙种货车(6-x)辆.所用甲、乙货车装载李子的吨数应不小于 15 吨，装载桃子的吨数应不小于 8 吨.由此可列不等式组解决实际问题.解: (1)设安排甲种货车 x 辆，乙种货车（6-x）辆，根据题意，得： 4(6)5,382解得 3,5.x所以 x 取整数有：3，4，5，共有三种方案（2）租车方案及其运费计算如下表
5、方案 甲种车 乙种车 运费（元）一 3 3 1037510二 4 2 424三 5 1所以共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是 5100 元三、销售问题方案例 3绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨.（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？分析本题中
6、有两个不等量关系式：4 辆甲种货车运货量+2 辆乙种货车运货量不小于20 吨；1 辆甲种货车运货量+2 辆乙种货车运货量不小于 12 吨.这样我们就可以确定用车的数量，进而可以确定方案，求出运费.解（1）设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车(8 x)辆，则根据题意，得 解得 即 2 x4.4280,4. 24. ，因为 x 是正整数，所以 x 可取的值为 2，3，4.即安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车 乙种货车方案一 2 辆 6 辆方案二 3 辆 5 辆方案三 4 辆 4 辆（2）方案一所需运费：3002+24062040 元；方案二所需运费 3003+24052100 元；方案三所需
7、运费 3004+24042160 元.所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是 2040 元.四、考察方案例 4某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动，行李共有 100 件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李.（1）设租用甲种汽车 x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2000 元、1800 元，请你选择最省钱的一种租车方案.分析通过认真阅读可以知道题目中有两个不等量关系：甲种汽车上的人数+乙种汽车上的人数不小于 290 人；
8、甲种汽车上的行李+乙种汽车上的行李不小于 100 件.于是我们就可以确定用车的数量，从而可以确定方案，选择最省运费.解（1）由租用甲种汽车 x 辆，则租用乙种汽车(8 x)辆. 3则根据题意，得 解得 即 5 x6.4038290,11.x 5,6.x因为 x 是正整数，所以 x 可取的值为 5，6.即共有 2 种租车方案：第一种是租用甲种汽车 5 辆，乙种汽车 3 辆；第二种是租用甲种汽车 6 辆，乙种汽车 2 辆.（2）第一种租车方案的费用为 52000+3180015400（元） ；第二种租车方案的费用为 62000+2180015600（元）.由于 1540015600，所以第一种租车
9、方案更省费用.五、生产方案例 5工程机械厂根据市场需求，计划生产 A、 B 两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号 A B成本（万元/台） 200 240售价（万元/台） 250 300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元（ m0） ，该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润售价成本）分
10、析显然，本题中有这样两个不等关系： A 型号的大型挖掘机成本+ B 型号的大型挖掘机成本不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，于是据此可以求出 A、 B 两种挖掘机的数量，进而可以进一步求解.解（1）设生产 A 型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机(100 x)台.则根据题意，得 解得 即 37.5 x40.2041240,5. 375,40.因为 x 是非负整数，所以 x 可取的值为 38，39，40.即有三种生产方案： A 型 38 台， B 型 62 台； A 型 39 台， B 型 61 台； A 型 40 台， B 型60 台.（2）方案一能获得的利润：3850+626
11、05620 万元；方案二能获得的利润：3950+61605610 万元；方案三能获得的利润：4050+60605000 万元.所以选择方案一能获得最大利润，最大利润是 5620 万元.（3）若获得最大利润为 W 万元，则由题意得 W(50+ m)x+60(100 x)6000+( m10)x， 所以当 0 m10，则 x38 时， W 最大，即生产 A 型 38 台， B 型 62 台；当 m10 时， m100 则三种生产方案获得利润相等；当 m10，则 x40 时， W 最大，即生产 A 型 40 台， B 型 60 台.六、商店的进货问题例 6某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调
12、查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别 电视机 洗衣机进价（元/台） 1800 15004售价（元/台） 2000 1600计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最多可筹集资金 161 800 元.（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润.（利润售价进价）分析由“电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半”和“商店最多可筹集资金161 800 元”这两个不等量关系，可以列出不等式组求出购买电视机和洗衣机的数量，进而可以进一步求解.解（
13、1）设商店购进电视机 x 台，则购进洗衣机(100 x)台，则根据题意，得 解得 即 33 x391(0),2851680.xx 13,9.x.13即购进电视机最少 34 台，最多 39 台，商店有 6 种进货方案.（2）通过计算这 6 种方案中当 x39 时，商店获利最多.即商店购进电视机 39 台，洗衣机 61 台，此时获得的利润为 39200+6110013900（元）.即最多利润是 13900 元.七、花卉的园艺搭配问题例 72007 年我市某县筹备 20 周年县庆，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A， B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大
14、道两侧，已知搭配一个 A种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉90 盆.（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来.（2）若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？分析由甲种花卉盆数3490，乙种花卉盆数2950，列出不等式确定两种造型的个数，进而可以进一步求解.解（1）设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50 x)个，则根据题意，得 解得 即 31 x33.8
15、05()3490,4925. 3,1.因为 x 是整数，所以 x 可取 31，32，33.所以可设计三种搭配方案： A 种园艺造型 31 个， B 种园艺造型 19 个； A 种园艺造型 32 个， B 种园艺造型 18 个； A 种园艺造型 33 个， B 种园艺造型 17 个.（2）方法一：由于 B 种造型的造价成本高于 A 种造型成本.所以 B 种造型越少，成本越低，故应选择方案，成本最低，最低成本为：33800+1796042720（元） ；方法二：方案需成本：31800+1996043040（元） ，方案需成本：32800+1896042880（元） ，方案需成本：33800+1796042720（元 ）.所以应选择方案，成本最低，最低成本为 42720 元.通信地址：安徽岳西县城关中学李庆社（246600）5联系电话：13955622882邮箱：lqs_ QQ：530158005笔名李师、理师、明师、皖师、岳师、师院）
