初等数学研究经典习题doc

《初等数学研究经典习题doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数学研究经典习题doc（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、12012 年 10 月 8 日星期一，第七周一、倒数方程例题 1. 解方程：解：原方程属于奇次倒数方程，可以分解为显然有一根 ，为求出其它根，要解方程 1因 ，以 除 的两端，整理得 1 2令 ，则 ，代入 ，得 2解之，得 ，再据此求 ：由 ， 得 ；由 ，得 ；所以，原方程有 5 个根： .例题 2解方程： 。解：显然， .因此可在方程两端同除以 ，得令 ，则 ，故有由 ，得 ；由 ， 得 .所以，原方程的根为 .二、含有参数的方程例题 3在复数集内解方程： ，其中 a，b 为参数，a，b R 。解：原方程即 1(1) 当 时，方程 可化为 1 2这是如果 a=0，则 为矛盾方程；如果

2、，可将 去分母得 2 2，将 代入 ，分母不为零，是原方程的根。 2(2)当 即 时，将方程 变形为 1 3如果 ；则 a 和 b 之中有且只有一个为 0，不妨设 b=0， ，方程 变形为 3 4方程 无解。 4如果 ，则 a，b 均不为 0，将方程 去分母，得 32即此时 的分母不为 0，所以是原方程的解。 4因此，当 时，原方程有两解： ；当 时，原方程无解；当且 时，原方程有四解： ， ；当 且时，原方程无解。例题 4解关于 x 的方程： 1解 ： x 应满足 . 2将 两端平方，得 1即 3由 可知， ， 3即 . 4将方程 的两端平方，整理得 3. 5由 可知， ，因而 ，所以 5.

3、由 ， ， 三式可知 2 4 5 6解不等式组 ，得参数 a 的取值范围是 . 6经检验得知原方程的解是三、二元一次不定方程例题 5求方程 的正整数解.解 用 y 表示系数较小的 x，得 1以为 x，y 是整数，所以 也是整数.令，即 .用 u 表示系数绝对值较小的 y，得. 2以为 y，u 是整数，所以 也是整数.令，即 ，. 3再令 ，t 是整数，于是得 .代入 ，得 ，代入 ，得 .将 3 2y 值代入 ，得 1所以原方程的通解是3为了求正整数解，还必须解不等式组：得 所以 .代入通解得所求的正整数解是和 2012 年 10 月 10 日 星期三 例题 1设 ，证明：方法 一、方法 二、

4、 方法三、 显然存在非零解 行列式 即例题 2 已知 ,求证证明：方法一、因为4所以 令原式可化为 方法二、设显然 A 点在单位圆 上，下面求过点 A 的切线，切线斜率为所以切线方程 为 即：显然点 B 在切线和单位圆上，即 A,B 重合所以，例题 3 解方程：解：记 ，原方程变形为：所以，即， 或例题 4 解方程：5解： 将原方程变形为 1令 ，则方程 可化为 1所以， 或即 或 由于 ，带入上式，得原方程的解，例题 5解方程： .解：原方程即分别解 得原方程的解：例题 6解方程：解： 1方程两边同时除以 （暂时设 ） ，得6.即 2由 由 解题过程中，在方程 到 这一步可能失根，为此，须将

5、 的解 带入 1 2原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补回此失根） 。因此原方程的解是2012 年 10 月 12 日，星期五例题 1、解方程：解：原方程即即 1因为 ，所以要是方程 成立，必须 1所以， 所以，因为 ，所以因此，原方程的解为 7例题 2、解方程：解：例题 3、解方程: 1解：因为 2+ 得， ， 1 2所以，经验算知， 是元方程的跟.例题 4、解方程组： 解：将方程 做因式分解的 ； 、 联立得 1 3 3 2(1)的解集等于方程组（2）和（3）的解集的并集：解（2）得8解（3）得因此原方程组的解有四个：例题 5、解方程组： 解：本题显然是对称方程组。令 代入 ， 得 1

6、 2+ ，得 解得 ，代入 得 3 4 4这样原方程组归结为：由此原方程的解为 。例题 6、解方程组： 解：该方程组为对称方程组， + ，得 1 2- 得， 1 2于是原方程组化为 将方程 ， 搭配的到下列四个方程组： 3 49显然它们都是易解的二元二次方程组，分别解之，原方程组共有 9 组解：例题 7、解方程组：解：原方程组可以变形为： ， ， 相乘得： 1 2 3 4将 两边开平方得： 4 5 6将 ， ， 分别代入 得： 1 2 3 5将 ， ， 分别代入 得： 1 2 3 6因此，原方程组的解是（4， 3，2）和（-4，-3，-2 ）例题 8、解方程组： 解：方程 两边同时乘以 ，得

7、1 310将 代入 得， 3 2所以，原方程组的解集等于以下两个方程组的并集：和 即 和 因此原方程组的解集是例题 9、解方程组： 解：利用降次公式， 即 2 3将 代入 化简得， 1 2 4、 解得， 1 4经检验，以上两组解都是原方程组的解。例题 10、解方程组： 11解： + 得 1 2 3因为将两式代入 ，整理得， 3 4再将 代入 得 . 4 2所以原方程组的解是2012 年 10 月 15 日星期一例题 1、解不等式：解：记原不等式可化为：12所以：即例题 2、解不等式：解：记 ，所以原不等式可化为：所以：记， ，易证 u 在 R 上单调递减。又： 所以，所以，所以，例题 3、已知

8、，不等式 的解集为（0，2 ）求 a 的值。13解： ，所以1、若 则原不等式的解集为 ，舍去。2、 ，由于不等式的解集为（ 0，2）由 得即， ，所以一元多次、分式不等式例题 4、解不等式：解：原不等式变形为：将零点 在数轴上标出-3 -1 3所以原不等式的解集为例题 5、解不等式解：原不等式中 为既约二次因式，必须为正，弃去，奇次重因式改为一次单因式，偶次重因式弃去，则原不等式可化为-14所以原不等式的解集为：例题 6、解不等式：解：定义域为 。因式分解得即，所以，原不等式的解为2012 年 10 月 17 日星期三不等式的证明例题 1、已知证明：因为 所以 1即 2由 、 知 是方程 的

9、两根 1 215因为所以 解得例题 2、已知 ，求证：证明：（分析法）因为所以即 例题 3、16已知 .证明：所以所以即例题 4、证明：证明：当 时，原不等式等价于因为即 成立当 时 原不等式等价于 因为所以 即原不等式得证例题 5、已知 求证：17证明：1、记由因为即即182012 年 10 月 19 日星期五不等式的证明例题 1、试确定 x 的范围，使不等式 恒成立。解：如图可知 x 的范围是例题 2、n 为正整数，试证明证明：记因为所以所以因为 A0所以例题 3、已知 且 证明19证明：原不等式可化为：即令 则上式可表示为点 及点到原点的斜率，因为 nm 所以即例题 4、若 ，且 不等式

10、 恒成立，求实数 x 的取值范围。解：原不等式可化为令因为 要使只需 所以2012 年 10 月 22 日星期一例题 1、设 A、 B 是椭圆 上任意不同的两点，A 、B 的20中垂线与 x 交于 P（x 0，0 ） ，求证：证明：设 为椭圆 上任意一点记设则所以 在 上不单调令即所以例题 2、已知 ，求证：证明：原不等式等价于21例题 3、a、b 均为正数，求证：不等式 成立的充要条件是 ,有证明： ，有令 ，则2012 年 10 月 24 日星期三例题 1、设 为正实数，求 的最小值.解：设22解得则原式可化为所以 的最小值为当且仅当 且 时成立。例题 2、为正数，求证证明：记 假设即23

11、则所以假设不成立，即例题 3、设 为正实数，且 求 的值。解：原方程组可化为：AC120BO24所以2012 年 10 月 26 日星期五排列组合例题 1、六人，平均分成 3 组，每组两人，有多少种分法？解：例题 2、用 0 到 9 这 10 个数字能作成多少个没有重复数字的四位偶数？解：1、个位为 0：2、个位不为 0：即，共有 个没有重复数字的偶数例题 3、求方程 的所有解。解：原方程可看成关于 x 的一元二次方程25所以将 代入原方程解得所以原方程的解为2012 年 11 月 7 日星期三例题 1、在三角形 中， ，在 的外侧分别以为边作正 、 ，连结 交 与 ，求证 .AB CEDF证

12、明：证法一：构造全等三角形过 E 作边 AB 的垂线，交 AB 于 H，B CEDFH26即证法二、在 AB、AC 上分别取中点 M、N并连结 EM、MN、ND。如右图则有及所以所以 ADEM 为平行四边形所以 F 平分 DE，即例题 2、在三角形中，垂心到顶点的距离，是外心到对边的距离的 2 倍。已知 H 是三角形 ABC 的垂心，O 是外心。求证：在三角形 ABH 中，分别取 BA、BH 中点M、 N，则有AB CEDFM NAB CHODNM272012 年 11 月 9 日星期五例题 1、O 是三角形 ABC 内一点，且 .求解：如图分别取 中点，连结 1 2+ 得 1 2所以例题 2

13、、梅涅劳斯定理：设 分别是 的边 边上的点（即三点中或一点或三点在变得延长线上）则 三点共线的充要条件是证明：先证必要性即证:若 三点共线则、作 的延长线至 D 点，使得 连接28得 所以再证充分性：即证、若则 三点共线延长 AB至 则 三点共线，有必要性有所以由合比性质得即所以 与 重合，即 三点共线例题 3、已知正 中， , 连结 相交于点，连结 ，求解：以 ，设所以 所以29所以即例题 4、已知数列 为其前 n 项和，并且 ，p 为常数且 ，求证数列 为等差数列。证明： 所以若 p=1，则 ，再令 ，则 即 矛盾所以 再令 ，可得所以 两式相加的所以数列 为等差数列例题 5、求函数 的值域解：由 得， ，令所以 ，即 的值域等价于点 到点的斜率。即如图的两直线的斜率分别为最大与最小，即为函数的值域。30易求的函数 的值域为例题 6、求函数 的值域。易求函数的定义域为 ，令即 所以 u，v 如右图椭圆的第一象限部分，股函数 的值域为两直线的纵截距，