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1、12012 年 10 月 8 日星期一,第七周一、倒数方程例题 1. 解方程:解:原方程属于奇次倒数方程,可以分解为显然有一根 ,为求出其它根,要解方程 1因 ,以 除 的两端,整理得 1 2令 ,则 ,代入 ,得 2解之,得 ,再据此求 :由 , 得 ;由 ,得 ;所以,原方程有 5 个根: .例题 2解方程: 。解:显然, .因此可在方程两端同除以 ,得令 ,则 ,故有由 ,得 ;由 , 得 .所以,原方程的根为 .二、含有参数的方程例题 3在复数集内解方程: ,其中 a,b 为参数,a,b R 。解:原方程即 1(1) 当 时,方程 可化为 1 2这是如果 a=0,则 为矛盾方程;如果
2、,可将 去分母得 2 2,将 代入 ,分母不为零,是原方程的根。 2(2)当 即 时,将方程 变形为 1 3如果 ;则 a 和 b 之中有且只有一个为 0,不妨设 b=0, ,方程 变形为 3 4方程 无解。 4如果 ,则 a,b 均不为 0,将方程 去分母,得 32即此时 的分母不为 0,所以是原方程的解。 4因此,当 时,原方程有两解: ;当 时,原方程无解;当且 时,原方程有四解: , ;当 且时,原方程无解。例题 4解关于 x 的方程: 1解 : x 应满足 . 2将 两端平方,得 1即 3由 可知, , 3即 . 4将方程 的两端平方,整理得 3. 5由 可知, ,因而 ,所以 5.
3、由 , , 三式可知 2 4 5 6解不等式组 ,得参数 a 的取值范围是 . 6经检验得知原方程的解是三、二元一次不定方程例题 5求方程 的正整数解.解 用 y 表示系数较小的 x,得 1以为 x,y 是整数,所以 也是整数.令,即 .用 u 表示系数绝对值较小的 y,得. 2以为 y,u 是整数,所以 也是整数.令,即 ,. 3再令 ,t 是整数,于是得 .代入 ,得 ,代入 ,得 .将 3 2y 值代入 ,得 1所以原方程的通解是3为了求正整数解,还必须解不等式组:得 所以 .代入通解得所求的正整数解是和 2012 年 10 月 10 日 星期三 例题 1设 ,证明:方法 一、方法 二、
4、 方法三、 显然存在非零解 行列式 即例题 2 已知 ,求证证明:方法一、因为4所以 令原式可化为 方法二、设显然 A 点在单位圆 上,下面求过点 A 的切线,切线斜率为所以切线方程 为 即:显然点 B 在切线和单位圆上,即 A,B 重合所以,例题 3 解方程:解:记 ,原方程变形为:所以,即, 或例题 4 解方程:5解: 将原方程变形为 1令 ,则方程 可化为 1所以, 或即 或 由于 ,带入上式,得原方程的解,例题 5解方程: .解:原方程即分别解 得原方程的解:例题 6解方程:解: 1方程两边同时除以 (暂时设 ) ,得6.即 2由 由 解题过程中,在方程 到 这一步可能失根,为此,须将
5、 的解 带入 1 2原方程检验,显然不适合(如果适合,则须补回此失根) 。因此原方程的解是2012 年 10 月 12 日,星期五例题 1、解方程:解:原方程即即 1因为 ,所以要是方程 成立,必须 1所以, 所以,因为 ,所以因此,原方程的解为 7例题 2、解方程:解:例题 3、解方程: 1解:因为 2+ 得, , 1 2所以,经验算知, 是元方程的跟.例题 4、解方程组: 解:将方程 做因式分解的 ; 、 联立得 1 3 3 2(1)的解集等于方程组(2)和(3)的解集的并集:解(2)得8解(3)得因此原方程组的解有四个:例题 5、解方程组: 解:本题显然是对称方程组。令 代入 , 得 1
6、 2+ ,得 解得 ,代入 得 3 4 4这样原方程组归结为:由此原方程的解为 。例题 6、解方程组: 解:该方程组为对称方程组, + ,得 1 2- 得, 1 2于是原方程组化为 将方程 , 搭配的到下列四个方程组: 3 49显然它们都是易解的二元二次方程组,分别解之,原方程组共有 9 组解:例题 7、解方程组:解:原方程组可以变形为: , , 相乘得: 1 2 3 4将 两边开平方得: 4 5 6将 , , 分别代入 得: 1 2 3 5将 , , 分别代入 得: 1 2 3 6因此,原方程组的解是(4, 3,2)和(-4,-3,-2 )例题 8、解方程组: 解:方程 两边同时乘以 ,得
7、1 310将 代入 得, 3 2所以,原方程组的解集等于以下两个方程组的并集:和 即 和 因此原方程组的解集是例题 9、解方程组: 解:利用降次公式, 即 2 3将 代入 化简得, 1 2 4、 解得, 1 4经检验,以上两组解都是原方程组的解。例题 10、解方程组: 11解: + 得 1 2 3因为将两式代入 ,整理得, 3 4再将 代入 得 . 4 2所以原方程组的解是2012 年 10 月 15 日星期一例题 1、解不等式:解:记原不等式可化为:12所以:即例题 2、解不等式:解:记 ,所以原不等式可化为:所以:记, ,易证 u 在 R 上单调递减。又: 所以,所以,所以,例题 3、已知
8、,不等式 的解集为(0,2 )求 a 的值。13解: ,所以1、若 则原不等式的解集为 ,舍去。2、 ,由于不等式的解集为( 0,2)由 得即, ,所以一元多次、分式不等式例题 4、解不等式:解:原不等式变形为:将零点 在数轴上标出-3 -1 3所以原不等式的解集为例题 5、解不等式解:原不等式中 为既约二次因式,必须为正,弃去,奇次重因式改为一次单因式,偶次重因式弃去,则原不等式可化为-14所以原不等式的解集为:例题 6、解不等式:解:定义域为 。因式分解得即,所以,原不等式的解为2012 年 10 月 17 日星期三不等式的证明例题 1、已知证明:因为 所以 1即 2由 、 知 是方程 的
9、两根 1 215因为所以 解得例题 2、已知 ,求证:证明:(分析法)因为所以即 例题 3、16已知 .证明:所以所以即例题 4、证明:证明:当 时,原不等式等价于因为即 成立当 时 原不等式等价于 因为所以 即原不等式得证例题 5、已知 求证:17证明:1、记由因为即即182012 年 10 月 19 日星期五不等式的证明例题 1、试确定 x 的范围,使不等式 恒成立。解:如图可知 x 的范围是例题 2、n 为正整数,试证明证明:记因为所以所以因为 A0所以例题 3、已知 且 证明19证明:原不等式可化为:即令 则上式可表示为点 及点到原点的斜率,因为 nm 所以即例题 4、若 ,且 不等式
10、 恒成立,求实数 x 的取值范围。解:原不等式可化为令因为 要使只需 所以2012 年 10 月 22 日星期一例题 1、设 A、 B 是椭圆 上任意不同的两点,A 、B 的20中垂线与 x 交于 P(x 0,0 ) ,求证:证明:设 为椭圆 上任意一点记设则所以 在 上不单调令即所以例题 2、已知 ,求证:证明:原不等式等价于21例题 3、a、b 均为正数,求证:不等式 成立的充要条件是 ,有证明: ,有令 ,则2012 年 10 月 24 日星期三例题 1、设 为正实数,求 的最小值.解:设22解得则原式可化为所以 的最小值为当且仅当 且 时成立。例题 2、为正数,求证证明:记 假设即23
11、则所以假设不成立,即例题 3、设 为正实数,且 求 的值。解:原方程组可化为:AC120BO24所以2012 年 10 月 26 日星期五排列组合例题 1、六人,平均分成 3 组,每组两人,有多少种分法?解:例题 2、用 0 到 9 这 10 个数字能作成多少个没有重复数字的四位偶数?解:1、个位为 0:2、个位不为 0:即,共有 个没有重复数字的偶数例题 3、求方程 的所有解。解:原方程可看成关于 x 的一元二次方程25所以将 代入原方程解得所以原方程的解为2012 年 11 月 7 日星期三例题 1、在三角形 中, ,在 的外侧分别以为边作正 、 ,连结 交 与 ,求证 .AB CEDF证
12、明:证法一:构造全等三角形过 E 作边 AB 的垂线,交 AB 于 H,B CEDFH26即证法二、在 AB、AC 上分别取中点 M、N并连结 EM、MN、ND。如右图则有及所以所以 ADEM 为平行四边形所以 F 平分 DE,即例题 2、在三角形中,垂心到顶点的距离,是外心到对边的距离的 2 倍。已知 H 是三角形 ABC 的垂心,O 是外心。求证:在三角形 ABH 中,分别取 BA、BH 中点M、 N,则有AB CEDFM NAB CHODNM272012 年 11 月 9 日星期五例题 1、O 是三角形 ABC 内一点,且 .求解:如图分别取 中点,连结 1 2+ 得 1 2所以例题 2
13、、梅涅劳斯定理:设 分别是 的边 边上的点(即三点中或一点或三点在变得延长线上)则 三点共线的充要条件是证明:先证必要性即证:若 三点共线则、作 的延长线至 D 点,使得 连接28得 所以再证充分性:即证、若则 三点共线延长 AB至 则 三点共线,有必要性有所以由合比性质得即所以 与 重合,即 三点共线例题 3、已知正 中, , 连结 相交于点,连结 ,求解:以 ,设所以 所以29所以即例题 4、已知数列 为其前 n 项和,并且 ,p 为常数且 ,求证数列 为等差数列。证明: 所以若 p=1,则 ,再令 ,则 即 矛盾所以 再令 ,可得所以 两式相加的所以数列 为等差数列例题 5、求函数 的值域解:由 得, ,令所以 ,即 的值域等价于点 到点的斜率。即如图的两直线的斜率分别为最大与最小,即为函数的值域。30易求的函数 的值域为例题 6、求函数 的值域。易求函数的定义域为 ,令即 所以 u,v 如右图椭圆的第一象限部分,股函数 的值域为两直线的纵截距,