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1、2005 年普通高等学校全国统一招生（全国卷 2）数学（文科）一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数 的最小正周期是()|sinco|fxxA. B. C. D.2422.正方体 中, 分别是 的中点.那么正方体1ABCDPQR、 、 1ABDC、 、的过 的截面图形是PQR、 、A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形3.函数 的反函数是)0(2xyA. B.1)1(xyC. D. 04.已知函数 在 内是减函数，则tanyx(,)2A. B. C. D.010115.抛物线 上一点 的纵坐标为 4，则
2、点 与抛物线焦点的距离为42AAA.2 B.3 C.4 D.56.双曲线 的渐近线方程是9yxA. B. 32xy94C. D. xy7.如果数列 是等差数列，则naA. B.54815481aaC. D.8. 的展开式中 项的系数是0)2(yx46yxA.840 B.840 C.210 D.2109.已知点 .设 的平分线 与 相交于 ,那么有3,1(,)3,0)ABCBAEBC,其中 等于BCEurA.2 B. C.-3 D.21310.已知集合 2|47,|60,MxNxMNI则 为A. B.3| 或 724xx或C. D. 或 |或11.点 在平面上作匀速直线运动,速度向量 （即点 的
3、运动方向与 相同,P(4,3)vrPvr且每秒移动的距离为 个单位）.设开始时点 的坐标为 ,则 5 秒后点 的|vr (10)P坐标为A.（-2，4） B.（-30，25） C.（10，-5） D.（5，-10）12. 的顶点 在平面 内， 在 的同一侧， 与 所成的角分别ABCAC、 ABC、 是 和 .若 ，则 与 所成的角为3053,42,BA.60 B.45 C.30 D.15第 II 卷二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13.在 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 .2738和14.圆心为（1，2）且与直线
4、 相切的圆的方程为 .51270xy15.在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有 个.16.下面是关于三棱锥的四个命题:底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是_.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知 为第二
5、象限的角， 为第一象限的角， 的值.,53sin5costan(2)13.求18.（本小题满分 12 分）甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6 .本场比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.前三局比赛甲队领先的概率；本场比赛乙队以 3:2 取胜的概率.19.（本小题满分 12 分）已知 是各项均为正数的等差数列, 成等差数列. 又na124lgla、 、21,3.nb证明: 为等比数列;如果数列 前 3 项的和等于 ,求数列 的首项 和公差 .n724na1d20.（本小题满分 12 分） YCY如图,四棱锥 中,底面
6、 为矩形, 底面PABCDPD. , 分别为 的中点. EF、 B、（1）求证: ;平 面（2）设 ,求 与平面 所成的角的大小.2AE21.（本小题满分 12 分）设 为实数，函数 .aaxxf23)(求 的极值；)(xf当 在什么范围内取值时，曲线 轴仅有一个交fy与)(点.22.（本小题满分 14 分）四点都在椭圆 上, 为椭圆在 轴正半轴上的焦点.已知PQMN、 、 、 12xFy与 共线 , 与 共线,且 .求四边形 的面积的最小值和FF0PMurPQN最大值.参考答案一. 选择题：1. C 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C7. B 8. A 9. C 10. A 1
7、1. C 12. C二. 填空题：13. 216 14. 4)2()1(2yx15. 192 16. ，三. 解答题：17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力。满分 12 分。解法一： tan21t)2tan(为第二象限的角， ，所以53si4cos2inta所以 7ta122为第一象限的角， ，所以135cos2tn,sin2所以 53041)7(4)ta(解法二： 为第二象限角， ，所以sin54si1cos2为第一象限角， ，所以13cossin2故 54ci257sin12cos32504sinco)in( scocs所以 )2(in)2ta
8、(18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 10.60.4（I）记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则216.0.)(3AP43.CB所以，前三局比赛甲队领先的概率为 648.0)(P（II）若本场比赛乙队 3：2 取胜，则前四局双方应以 2：2 战平，且第五局乙队胜，所以，所求事件的概率为 13.6.04219. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12 分。（1）证明：成等差数列42lgla、Q，即1412a又设等差数列 的公差
9、为 d，则n)3()(21da这样 1从而 01adQnnbdnn2)(2这时 是首项 ，公比为 的等比数列db12（II）解： 47)1(321 Q3d所以 31da20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分 12 分。方法一：（I）证明：连结 EPDE 在平面 ABCD 内ABCD，P底 面Q，又 CEED，PDADBCERtt为 PB 中点FPB由三垂线定理得 A在 中 ，又RtFEABPEFPB、FA 为平面 PAB 内的相交直线Q平面 PAB（II）解：不妨设 BC1，则 ADPD13,2AC，
10、PAB为等腰直角三角形，且 PB2，F 为其斜边中点，BF1，且 PBAF与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直平面 AEF连结 BE 交 AC 于 G，作 GH/BP 交 EF 于 H，则 平面 AEFG为 AC 与平面 AEF 所成的角AH由 可知BEC 32,31,2ACEBE由 可知FF63sinAG与平面 AEF 所成的角为AC63arcsin方法二：以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系（1）证明：设 E（a，0，0），其中 ，则 C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），aP（0，0，1），F（a， ， ）21 )0,2(),2
11、(),( aABaPBEFBEAA0又 平面 PAB， 平面 PAB，PABI平面 PAB （II）解：由 ，得BC22a可知 )1,(),01(PA63|,cosB异面直线 AC、PB 所成的角为 arcos)21,(AFAFPB0又 ，EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线EPB平面 AEF与平面 AEF 所成的角为AC)63arcsin(arcos2即 AC 与平面 AEF 所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，63in应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分 12 分。解：（I） fx()321若 ，则0，当 x 变化时， 变化情况如下表：)(,fx (，13
12、()13，1 ()， f) 0 0 极大值 极小值 所以 f(x)的极大值是 ，极小值是fa()13527fa()（II）函数 fxxx()()211由此可知 x 取足够大的正数时，有 ，x 取足够小的负数时有 ，所f0fx()0以曲线 与 x 轴至少有一个交点。y结合 f(x)的单调性可知：当 f(x)的极大值 ，即 时，它的极小值也小于 0，因此5270a()， 527曲线 与 x 轴仅有一个交点，它在 上；f() 1， 当 f(x)的极小值 ，即 时，它的极大值也大于 0，因此曲线1，与 x 轴仅有一个交点，它在 上y()， 3所以当 时，曲线 与 x 轴仅有一个交点。a()， ，527
13、Uyf()22. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1）且，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k。又 PQ 过点MNPQF（0，1），故 PQ 方程为 ykx1将此式代入椭圆方程得 012)(kx设 P、Q 两点的坐标分别为 ，则),(,21yx221,kx从而 2211 )(8)()(| yx亦即 2|kPQ（i）当 时，MN 的斜率为 ，同上可推得0k12)1(| kMN故四边形面积 |21NPQS)12(4k225)1(4k令 ，得21u)5(5)(4uS因为 2k当 时，1916，S且 S 是以 u 为自变量的增函数所以 296（ii）当 k=0 时，MN 为椭圆长轴， 2|2| PQ，MN|1PQS综合（i），（ii）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 916
