《【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习（含答案）（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学备课大师 免费】：纪荣强 北京四中数学教师题一：用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为 f(n) n(n3)(n3)12题二：求证： 6)12(212题三：用数学归纳法证明不等式：1 2 (nN*) 12 13 1n 数列a n满足 a na n1，n1,2，3，2n(1)当 时，求 a2，a 3，a 4，并由此猜想出 一个通项公式；(2)当 时，证明对所有的 n1，有 ann2题五：在数列 中， ，求数列 的通项公式n 3,11n列a n 满足 na n(nN *)(1)计算 a1，a 2，a 3，a 4 并由此猜想通项 表达式；(2)用数学归纳法证明(1) 中的猜想题七：设数列
2、a n满足 ，a n1 a n (n1,2，)1)证明：a n 对一切正整数 n 都成立；2n 1(2)令 (n1,2，)，判断 的大小，并说明理由列 中， ，n )(2,511(免费】：设数列 a1，a 2，a n，中的每一项都不为 0证明：a n为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN *，都有 11 1题十：是否存在常数 a、b、c，使等式对一切正整数 n 都成立？222()13()证明你的结论数学备课大师 免费】： 见详解详解：证明：(1)三角形没有对角线，n3 时，f (3)0，命题成立(2)假设 nk (k3) 时，命题成立，即 f(k) k(k3)，则当 nk1 时，凸 k 边形
3、由原来的 k 个顶点变为12k1 个顶点，对角线条数增加 k 1 条f (k1) f (k)k1 k (k3)k1 (k1)12 12当 nk1 时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何 nN 且 n3，命题恒成立题二： 见详解详解：(1)当 n=1 时，左端=1 ，右端= ，左端= 右端，等式成立；16)(2)假设 n=k 时，等式成立，即 ，则)2(21261)(2)1()()(212 k以，当 n=k+1 时，等式仍然成立由(1)(2)可知，对于 等式依然成立*见详解详解：证明：当 n1 时，左边1，右边2左边右边，所以不等式成立，假设 nk (kN *)时，不等式成立，即 1 2 12
4、 13 1k nk1 时， 1 12 13 1k 1k 12 1 21 1k 1 2 k (k 1) 1k 1 2(k 1)k 1 k 1这就是说，当 nk1 时，不等式成立由可知，原不等式对任意 nN *都成立题四： （1）a 23，a 34，a 45，a nn1(n1) ；（2）见详解详解：(1)由 ，得 a2a 12a 113，由 ，得 a3a 222a 214，由 ，得 a4a 323a 315，由此猜想 一个通项公式：a nn1(n1) (2)证明：用数学归纳法证明：当 n1 时，a 1312，不等式成立假设当 nk 时不等式成立，即 akk2，那么，a k1 a k(akk) 1(
5、 k2)(k2k) 1k3，也就是说，当 nk1 时，a k1 (k1) 2根据和，对于所有 n1，都有 ann2题五： 53免费】： 猜想 ,73,6212a,93,821）当 n=1 时， ，猜想成立11（2）假设当 n=k 时猜想成立，则 133()55当 n=k+1 时猜想也成立综合（1） （2） ，对 猜想都成立*(1)，a 2 ， ，a 4 ，猜想 (nN *)；（2）见详解32 74 158 2n 12n 1详解：(1)a 11，a 2 ， ，a 4 ，由此猜想 (nN *)32 74 158 2n 12n 1(2)证明：当 n1 时，a 11, 结论成立假设 nk(kN *)时
6、，结论成立，即 ，2k 12k 1那么 nk1(kN *)时，a k1 S k1 S k2(k1) a k1 2ka k 2a ka k1 a k1 ，这表明 nk 1 时，结论成立2 2k 12k 12 2k 1 12)和(2)，可知猜想对任何 nN * 都成立a n (nN *)2n 12n 1题七： （1）见详解；（2）b n1 b n详解：(1)证明：当 n1 时，a 12 ，不等式成立21 1假设当 nk(kN *)时，a k 成立2k 1那么当 nk1 时， 2a 22k 3 2(k 1)1 1 nk1 时， 成立2(k 1) 1综上， 对一切正整数 n 都成立2n 1(2) 11
7、n 11 11 (1 12n 1) 1 2(n 1) n(2n 1) n 1 12n(n 1)2n 1(n 12)2 14n 12故 b n题八： 见详解详解：(1) 当 n = 1 时， ，不等式成立25a(2)假设当 n = k 时等式成立，即 ，)(免费】， 2)1(21(2n = k+1 时， 不等式也成立综合（1） （2） ，不等式对所有正整数都成立题九： 见详解详解：证明：先证必要性设数列a n的公差为 d若 d0，则所述等式显然成立若 d0，则 11 1d( 1 1) 1d(11 (11 (111) 1d(111) 1d 1 1 1再证充分性(数学归纳法) 设所述的等式对一切 n
8、N *都成立首先，在等式 1得 a1a 32a 2，所以 a1，a 2，a 3 成等差数列，记公差为 d，则 a2a 1d假设 k1)d，当 nk1 时，观察如下两个等式 ，11ak k 1 ，111 1将代入，得 ，在该式两端同乘 ，得(k1)a k1 a 1ka kk 11 1将 aka 1(k1)d 代入其中，整理后，得 a 1数学归纳法原理知，对一切 nN *，都有 ana 1(n1) d所以a n是公差为 d 的等差数列题十： 存在 a=3，b=11 ，c=10 详解：把 n=1, 2 , 3 代入得方程组 ，解得 ，249370310猜想：等式 对一切 都成立，下22()1(1) ) N面用数学归纳法证明：(1) 当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立(2) 假设 n=k 时等式成立，即 则222(1)3()310)2 213(1)() (k 2()52k()5)1()()012k所以当 n = k+1 时，等式也成立数学备课大师 免费】（1） （2） ，对 等式都成立
