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1、1北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*-课程编号：00131700 课程名称：数学分析课程类型：必修课 每周 4+1 学时，5 学分先修要求：高等数学（两学期）基本目的：1. 实数与极限的理论、函数的可积性、数项级数，函数列与函数级数一致收敛性的基本知识。2. 培养学生的抽象思维和推理能力，加深学生对微积分的理论基础的了解，为进一步学习后续数学课程作必要的理论准备。内容提要：一. 实数与极限的理论1.实数理论初步及序列极限。2.确界存在定理，区间套定理，聚点。3.紧性定理（序列紧，有限覆盖，一致连续） 。4.完备性（哥西基本列，实数的另一种定义） 。5.上极限与下极限。二连续函数1. 连续函
2、数的基本性质2. 闭区间上连续函数的性质3.一致连续。三. 定积分的理论基础1.定积分的概念与微积分基本定理2.达布和，上积分与下积分。23.函数可积性问题与可积函数类。北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*-四数项级数1.数项级数的概念。2. 正项级数。3. 任意项级数。4. 级数的性质。5. 无穷乘积。五. 函数列与函数级数的一致收敛性1. 基本问题2. 一致收敛的概念及其判别法3. 一致收敛函数列与函数项级数的性质。教学方式：课堂讲授教材或参考书：1.教材：数学分析 第一册 第二册 伍胜健， 北京大学出版社。2.参考书：数学分析简明教程 邓东皋等， 高等教育出版社成绩评定办法：平时成绩
3、20%，期末考试 80% 。课程编号：00131710 课程名称：高等代数课程类型：必修课 每周 4+1 学时，5 学分先修要求：线性代数基本目的：1.高等代数是学习和研究近代数学的重要基础，在自然科学、社会科学、经济领域都有重要应用。本课程使学生学习和了解多3项式、线性空间和线性变换等基本知识。北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-2.培养学生具有数学的思维方式、创新精神，以及解决实际问题的初步能力。内容提要：一. 多项式环1. 基本概念。2. 整除性，带余除法，最大公因式。3. 不可约多顶式，唯一因式分解定理。4. 重因式。5. 多项式的根。6. 复数域、实数域上的不可约多项式。7. 有
4、理数域上的不可约多项式。8. 多元多项式。9. 对称多项式。二. 线性空间1. 基本概念。2. 子空间及其交与和，维数公式。3. 子空间的直和。4. 商空间。三. 线性变换1. 基本概念。2. 线性映射的核和象。43. 线性映射的矩阵表示。4. 线性变换可对角化的条件。北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-5. 不变子空间。6. Hamilton-Cayley 定理，最小多项式。7. Jordan 标准型简介。四具有度量的线性空间1. 双线性函数。2. Euclid 空间。3. 正交变换和对称变换。4. 酉空间。教学方式：课堂讲授教材：高等代数 (第二版) 下册，丘维声 高等教育出版社 20
5、03 年学生成绩评定：作业成绩（20%）期末考试成绩（80% ）课程编号：00136360 课程名称：实变函数与泛函分析课程类型：必修课 每周 4+1 学时，5 学分 先修要求：数学分析基本目的：学习 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分的基本理论，学习 空间的基础知识，学习 Hilbert 空间和 Banach 空间的一般理论。为学生提供实分析和泛函分析的基础知识和基本训练，提高分析论证能力，培养以抽象空间为工具研究和解决实际问题的能力，学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法。5内容提要：一、集合与点集（8 学时）1.1. 集合及其运算北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-1.
6、2. 映射1.3. n 维欧氏空间 二、Lebesgue 测度（8 学时）2.1. 外测度与可测集2.2. 可测函数2.3. 可测函数列的收敛性三、Lebesgue 积分（12 学时） 3.1. 可测函数的积分3.2. Lebesgue 积分的极限定理3.3. 重积分与累次积分 四、 空间（8 学时）1. 空间2. 空间2五、Hilbert 空间（12 学时）1. 距离空间2. Hilbert 空间3. Hilbert 空间上的有界线性算子六、Banach 空间（12 学时）1. Banach 空间2. Banach 空间上的有界线性算子63. Banach 空间上的连续线性泛函教学方式：课堂
7、讲授教 材：实变函数与泛函分析 郭懋正 北京大学出版社北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-成绩评定办法：作业与期中考试成绩（40%） ，期末考试成绩（60%） 。课程编号：00136250 课程名称：近世代数课程类型：必修课 每周 4+1 学时，5 学分先修课要求：高等代数基本目的：本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念，主要是群、环、域的概念，以及有关群、环、域的基本理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，为学习现代数学、物理或其他科学提供基础。内容提要：一、引论1. 本课程的研究对象2. 域、环、群的定义与简单性质二、群1. 群的例子2. 子群，同构，同态3. 群在集
8、合上的作用，定义与例子4. 群作用的轨道5. 陪集，Lagrange 定理，稳定化子，轨道长76. 循环群与交换群7. 正规子群和商群8. 同态基本定理三、域和环北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-1. 环的例子，几个基本概念2. 整数模 n 的剩余类环，素数 p 个元的域3. Fx模某个理想的剩余类环，添加一个多项式的根的扩域4. 分式域、素域5. 中国剩余定理6. 域的扩张，扩张次数，单扩张的构造7. 有限域四、有因式分解唯一性的环1. 整环的因式分解2. 欧氏环，主理想整环3. 交换环上的多项式环4. 唯一因式分解环上的多项式环教学方式：课堂讲授教材：近世代数初步 （第二版）石生明
9、高等教育出版社 2006 年学生成绩评定：作业成绩（20%）期末考试成绩（80% ）课程编号：00136350 课程名称：概率论课程类型：必修课 每周 4+1 学时，5 学分先修要求：微积分，线性代数（或相当高等数学）8基本目的：1. 本课程的目的是引导学生学习用数学的语言，来刻划、表达与抽象随机现象，着重在随机现象的“建模” 。同时，这一课程也使学生对已学过的集合论、微积分、高等代数等数学知识有运用的机会，北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-在提高学生分析问题，解决问题的能力方面是一个很好操练机会。2. 重点放在随机现象的刻划，形成概率空间的概念。例如在概率空间这一部份，重在由等可能性分
10、析过到一般的概率空间。对随机变量，重点也在要学生掌握它的统计特征的刻划方法。对于古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技巧。 内容提要：1. 随机事件及其概率1) 概率的素朴定义。2) 古典概型。3) 事件的集合表达，事件运算与集合运算的对应。4) 概率的加法公式。5) 概率的公理化定义及概率的主要性质。6) 条件概率（对正概率事件的条件概率）与全概公式。7) 独立性。2.随机变量1) 离散型随机变量及其取值机会的描述。2) 连续型随机变量及其取值机会的描述。3) 分布函数。94) 随机变量函数的分布（简单情形） 。5) 随机变量定义的抽象。3.n 维随机变量（向量）1) n 维随机向量统计特征的
11、刻划。2) 联合分布与边缘分布。北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-3) 独立性。4) 随机变量函数的分布（多维） 。5) n 维正态分布。6) 条件分布。7) 次序统计量。4.随机变量和随机向量的数字特征1) 期望（概率加权平均概念的抽象） 。2) 随机变量函数的期望公式。3) 方差、协方差与相关系数。4) 条件期望。5.概率极限定理1) 大数定律与切比雪夫不等式，强大数律（结果与概念） 。2) 中心极限定理。6.随机过程1）独立增量过程。2）马尔可夫链。3）分支过程。104）平稳过程。教学方式：课堂教学教 材： 概率与统计 陈家鼎 郑忠国 北京大学出版社（07、8）参考书: 概率统计讲
12、义 陈家鼎等编 高等教育出版社概率论基础教程 SMRoss 著，郑忠国等译人民邮电出版社 2007学生成绩评定：期末考试为主，期中考试与平时作业为辅。北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-课程编号：00136590 课程名称：复变函数课程类型：必修课 每周 4+1 学时 5 学分先修要求：数学分析、高等代数基本目的：理解和掌握复变函数的基本理论，通过学习进一步加强对数学逻辑推理和计算的训练，体会复变函数所表现的数学的优美之处，了解其相关的应用。内容提要：1.复数及扩充复平面。2.解析函数概念。3.Cauchy 定理和 Cauchy 公式。4.Laurent 级数。5.留数定理和辐角原理。6.
13、解析开拓。7.Riemann 映射定理简介。教学方式：课堂讲授11教材与参考书：1 复变函数简明教程 谭小江，伍胜健 北京大学出版社2 复变函数教程 方企勤 北京大学出版社3. Ahlfors,L.V.:ComplexAnalysis,3rded.MoGraw-Hill. NewYork. 1979成绩评定：平时作业20%，期中考试30%，期末考试50%北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-课程编号：00136840 课程名称：统计学课程类型：必修课 每周 4+1 学时 5 学分先修要求：概率论基本目的：数理统计学是研究如何有效地收集数据，如何对数据进行推理，以便对问题进行推断或预测，从而对
14、决策和行动提供依据和建议。数理统计学是应用广泛的基础性学科。通过教学，使学生掌握这门科学的基本概念和基本思想。基本的统计方法及有关的理论。使学生了解大量实际问题的类型及与数理统计学的联系。还要求学生能正确进行计算和使用统计表。内容提要：1.数理统计的研究对象。 数理统计的基本概念。2.参数估计的方法（最大似然估计，矩估计） 。 3.估计的优良性标准(均方误差，UMVU 估计 )。 4.估计的相合性和渐近正态性。5.置信区间。126.假设检验的提法与两类错误，NP 引理及似然比检验。 7.广义似然比检验和关于正态总体的检验。8.拟合优度检验。 9. 一元线性回归，多元线性回归（参数估计和检验）。
15、10.预测和控制。 11.变量选择和方差分析。12.统计决策与贝叶斯分析简介。北京大学数学科学学院*双学位招生简章*-教学方式：课堂教学教 材： 概率与统计 陈家鼎 郑忠国 北京大学出版社（07、8）参考书：概率统计讲义 陈家鼎 刘婉如 汪仁官 高等教育出版社学生成绩评定：期末考试为主，期中考试与平时作业为辅。课程编号：00136260 课程名称：常微分方程课程类型：必修课 每周 4+1 学时 5 学分先修要求：高等数学 线性代数基本目的：1.掌握几类一阶微分方程的初等解法。2.掌握高阶线性方程及线性方程组的基本理论及常系数高阶线性方程和线性方程组的解法。3.掌握微分方程的基本理论，如解的存在唯一性、解的延伸和
