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1、习题 211、若自然数 不是完全平方数，证明 是无理数。nn证明：若 不是无理数，设 ，于是,pqNp且 互 质22 2nn而 ，故 不整除 整除 ，记 ，故,pq互 质 pqpnpsNps，即 为完全平方数，矛盾。假设不成立。 22nssn2、设 是两个不同的实数，证明 之间一定存在有理数。,ab,ab证明：不妨设 ，则存在 ，使得mN111mba又因为存在整数 ，使得 nan由 ， 是有理数。,1bmNnZ 3、设 为无理数，证明存在无穷多个有理数 ，使得 ，x ,0pq21pxq证明：假设只有 个有理数满足 ，设为 其中 为有n21xq12,na,ian理数，且 对于区间 显然 ，而 为
2、有理12,naa1,i1iii i12ii数，且 122iiinax axq q满足要求，故假设不成立。12iia习题 221、求下列数集的上，下确界上确界为 1（不达到） ，下确界为 0（达到）n上确界为 （不达到） ，下确界为 2（达到）12nNe上确界为 1（不达到） ，下确界为-1（不达到）13nn上确界为 1（不达到）下确界为 0（达到）24,yx2、 设 验证2,ExQ2infE证明： ，即 是 的一个下界1若 ，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在 ，2 2,x且 为有理数，于是 ，即存在 不是x 22xx2,E故的下界。E3、用定义证明上（下）确界的唯一性证明一：假设 均为下确
3、界，且 ，不妨设 。由于 是下确界，则对12,12121，必存在 ,使得 ，这与 是下确界矛盾。20xE24、试证收敛数列必有上确界和下确界，且上、下确界至少有一个属于该数列，趋于的数列必有下确界，趋于 的数列必有上确界。证明： 由于收敛数列必定有界。根据确界存在原理，该收敛数列必有上确界和下确界。1若 ，则对于各项均为常数 的数列，其上下确界显然均属于该数列。2limnxAA对于各项不恒为常数的数列，记 ，则或 存在 或 存在 或linx1,ix2,jxA这种 都存在。作 的充分小的邻域使它不包含 或不包含 ，或 均不在3,ijxA,ij,ij此邻域内。 在这三种情况下，这个邻域的外部都只有
4、 中的有限个元素，则 将达到nx1上确界， 将达到下确界， 上下确界均可达到。由 ， 可得，上下确界将至少有2312一个属于该数列。设 ，则 ，当 时， ，取3 nxNn1nx，则 。12min,nx1minifnx若 时， ，于是取 ，则,N12,nmax。supnnaxx5、 证明：单减有下界的数列必有极限。证明：设数列 单减有下界，由确界存在原理，必有下确界，设 ，由下确ny infy界定义可知：， 对 ，使得 。因 单减，故当 时，1n20,NynyN，即 ，即 。nNyNny习题 231、 用区间套证明：有下界的数集必有下确界。证明：设 是 的一个下界，而 不是 的下界EE令 ，若
5、是 的下界，则取12C1C1,Cb若 不是 的下界，则取 1令 ，若 是 的下界，则取21ab2E22,a若 不是 的下界，则取C1bC重复上述步骤，得到一闭区间套 满足： 是 的下界， 不是 的下界。,nbnEnE由闭区间套定理， ，且 。,nalimlia下证 。infE 对 ，由于 是 的下界推出 ，而 。xnnxlina把 视为常数列，由极限的单调性知 ，即 是 的一个下界。E ，即 ，当 充分大时， ，而 不是 的下界，故 limnbnbnE也不是 的下界。由 的任意性知，任何比 大的数均不是 的下界。E综合， 是 的下确界。2、设 在 上无界，证明必定存在 ，使得 在 的任意邻域内
6、无fx,ab0,xabfx0界。证明：反证法，若 ，存在 的某一邻域，使得 在此邻域内有界，对,xab于 ，由于在 的某一邻域内有界，故在该邻域内取 ，使得 ，于是在1x1ab内 有界。对于 由于在 的某一邻域内有界，故在该邻域内取 ，使1,afxx1x得 ，于是在区间 内 有界。b1,bf重复上述步骤，得到一区间套 满足： 在 及 内有界。由区间套nafx,na,b定理，存在 ，故 在 上有界，对于 点，,nafx,bx， 在 的某一邻域内也有界，从而 在整个区间 上有,nbf,ab界，矛盾。3、设 ， 在 上满足 ，若 在 上连续fxg0,10,10ffgx0,1在 上单增，证明存在 ，使
7、 =0。f证明：记 ，且有1,ab11,fafb令 ，若 ，则存在 ，使 ，得证。2c10fc0,c10fc若 ，则取10f2,b若 ，则取c1ac令 ，若 ，则原命题得证。2120f若 ，则取0fc3,cb若 ，则取22a重复上述步骤，得到一闭区间套 ，且具有一下性质：,n 0,nnfafb若在此过程中某一中点 ，使 ，结论成立。nc0f否则由区间套定理， ，使得 。,Eablimlinnab下证 0f， 在 上单增，nnabfxg0,1故 ，又nnfafbg0,nfa,nfb故 。 n ngf由归结原理 =limlinxg= =nb令 ，有 ，从而 。gfg0f习题 241 、证明下列数列
8、发散。 12nnx113nnyN解 当 为奇数时 ，当 为偶数时 ，lim02n 1lim22n奇子列和偶子列收敛于不同的数，故 发散。nx 为奇数时 n12111limli lim2nn nyn 当 为偶数时 lili lin n奇子列和偶子列收敛于不同的数，故 发散。ny2、证明单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。证明：仅证单调递增数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列。 单增数列收敛，其自身将是它的一个收敛子列，必要性得证 设单增数列 有一个收敛子列 因为子列 也是单增数列，所以它的极nxknxknx限即为上确界 limsupk ka下证 supnax ，若 ，则 ，而kknxs
9、upkknnaxxa由于 ， ，能找到 ，使得 ，而 ，即 ，有 。nNknkknxanxa 使 ，而 单增， ，有 ，0,knxkanxk由，可知 supn有 ，取 ，则 时有lim,knxaKknxakNnknknx于是 ，即 即 当 时， ，kn0,a故 ，充分性得证linx3、设 存在，证明 。sicosxabxab证明 存在，设为 ，由归结原理，当limsncoxxA32,2nnnxx时，且当 故sicosabAlimn22limsn2cos2n nAabn 33lis1cos1li 2n nab0Aba4、在 的某邻域内 且 ，证明：0xgxfhx00limlixxghA。0lim
10、xf证明 ，当0n0nx0000lilililimnnxxxxh充分大时， 将落在 的某个邻域之内，从而 。令 ，ngf由夹逼准则 ，再由归结原理有 。linnfA0limxfA5、设 在 的某个邻域 内有定义，若对任意满足下列条件的数列fx0 0,x，都有 ，100,nnnnxlimnnfxA证明 。0limxfAx证明 若 ，则 ， ，当 时，0limxfA00,x0x0fxA取 ，存在 ，当 时，1110x10fx取 ，当 时，202,x2020fAg取 ，当 时，10,nnx010nnxx0nf取 ，当 时，11 1xA继续下去可得数列满足 ，且 使得0limnx100nnx。这与 矛
11、盾。0nfxAfA6、证明： 的充要条件时：对每个严格单调递增的正无穷大的数列 都有lixf nx。limnxf证明：必要性。 当 时，li0,xfAXxfxA则对于 当 时有 ，故 ，即li,n,GXNnnGn。xf充分性。设 当 时，0lim,xfAxX0fxA取 11,X取 2220f取 110,nnnXxfxA继续下去可得到一严格单增的数列 , ,矛盾。,nx0nfxA习题 251、设 是有界数列，若 满足 ，证明存在 和子列 ，nanblim0nxabl,kknab使 。limlikknnab证明 因 是有界数列，由致密性定理，存在收敛子列 ，设 。因为knalimknl，故 收敛，
12、故必有界） ，因此存在收敛子列 ，再由li0nxna kb可得子列 满足 ，从而 。abknblim0knxblilikknna2 、有界数列 发散，证明：存在两个子列 收敛于不同的极限。nx 12,nnkk证明 由于数列 有界，于是必存在收敛子列。若 收敛于相同的极限，则 ,nnkkx将收敛，矛盾。 nx补充证明：若 为点集 的聚点，则 中含有异于 的数列收敛于S证明：根据聚点定义： ，则 中至少存在 中的异于 的一个点。0,US取 ，则1,111,xr取 ，则21min,222,xr取 ，则in,nrx,nnnxr得到 中的一个点列 满足条件：Sn110,nrxrrx在中令 ，有 ，即,0nrxnx即 中存在异于 的点列 收敛于 。S反之，结论也正确。证明： 中存在异于 的点列 收敛于 当 时，nx0,Nn，取 ，有 即 中至少存在0,nrx1N10,Nr,U中异于点 的点 ，由聚点的定义， 为点集 的聚点。S1NxS习题 261 、设 在 内有定义， ，若 ， 及 ，使f,abacdb,xcd0xMx得 ， ，有 。证明：x xxfxf，有 。0,M,c
