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1、第4节广义坐标形式的静力学普遍方程,静力学普遍方程的特点,作为对比，单个质点平衡时F=0,在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此, 若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？,今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：,广义坐标的概念,自由度的概念,如果虚位移都是独立的，会有什么结果？,怎样选取独立的坐标？,广义力的概念,不独立,能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标。,广义坐标数为：,根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独立参数 作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。,广义坐标,空间质点系,平面质点系,N质点的数目；r约束方程的个数,空间刚体系,平面刚体系,N刚体
2、的数目；r约束方程的个数,实例分析,利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足,把A、B看成是两个可运动的质点，,广义坐标数为：,N = 2,OA、AB长度为约束，B点上下运动也受约束，共有3个约束方程,r = 3,如果考虑系统有A、B、O共3个质点，N3，则约束也增加，r5，广义坐标数k2Nr1,因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点,另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？,如果把杆OA、杆AB、滑块B看成是刚体，则原先的A、B、O点看成是约束，广义自由度该如何计算？,3个刚体，N3,约束方程：每个平面铰链有2个约束方程，共6个；对滑块B，不能转动，不能上下运动，有2个约束方程
3、；r = 6 + 2 = 8,广义坐标数目K = 3N r = 9 8 = 1,广义坐标的计算有不同的方法，结果都应该相同,独立的虚位移数就是质系的自由度。,自由度,N 质点总数 r 完整约束的总数； s 非完整约束的总数；,自由度数目,比较：,广义坐标数为：,如果是完整约束，kn如果是非完整约束，kn,完整约束的例子,广义坐标数目为1，自由度数为1,广义坐标数目为1，自由度数为1,广义坐标数目为2，自由度数为2,为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为,非完整约束的例子,独立的广义坐标数为5；自由度为3。,广义坐标形式的静力学普遍方程,Qj 称为对应于广义坐标 qj 的广义力。,广义力是
4、广义坐标和时间的函数。,广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。,广义力与真实力相比，数目大为减少。,具有完整理想约束的质系，其平衡的充分必要条件是：所有的广义力等于零。,静力学普遍方程,上述结论的条件是什么？广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？,例1,惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力P的作用，问下部力Q的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角。,解,取为广义坐标,例2,均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为 和 ，重量为均为P 。在B端作用一
5、水平力 ，求平衡时两杆与竖直方向夹角,取a、b 为广义坐标,解 解析法,解 几何法,首先取,再取,例3,已知： m1, m2, M, , , 且接触面光滑。求：平衡时， m1, m2, M 的关系。,解,二自由度的平衡问题,选独立的广义坐标 x1, x2,第5节主动力有势情况下的静力学普遍方程,力场,若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与其速度无关，则称该空间区域存在力场，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。,若存在标量函数V，只依赖于质点Pi的坐标xi、 yi、 zi，并且质点Pi在力场中所受的力等于,则称力场有势，函数V为势能，Fi为有势力。,主动力有势情况下的静力学普遍方程,设质系所受的主动力有势：,质系的平衡方程,对主动力有势的质系，其势能在平衡位置取驻值。,拉格朗日定理：对完整保守系统若势能函数在平衡位置取孤立极小值, 则该平稳位置稳定。,结果与前相同。,已知： m1, m2, M, , , 且接触面光滑。求：平衡时， m1, m2, M 的关系。,例1,例2,已知：灯G的质量为m，A、C为铰链，B为套筒。杆的质量不计。当 = 180 时弹簧为原长。求：当 = 120 系统处于平衡时，弹簧刚度k应具有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。,解, 系统处于稳定平衡位置,作业515516525527,
