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1、第4节广义坐标形式的静力学普遍方程,静力学普遍方程的特点,作为对比,单个质点平衡时F=0,在质点系中,通常受某些约束,各点的虚位移不独立,因此, 若坐标独立,其虚位移(变分)是否独立?,今天的课堂内容,就是解决这样几个问题:,广义坐标的概念,自由度的概念,如果虚位移都是独立的,会有什么结果?,怎样选取独立的坐标?,广义力的概念,不独立,能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标。,广义坐标数为:,根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独立参数 作为广义坐标,它们可以是距离、角度、面积等。,广义坐标,空间质点系,平面质点系,N质点的数目;r约束方程的个数,空间刚体系,平面刚体系,N刚体
2、的数目;r约束方程的个数,实例分析,利用广义坐标描述质系运动,几何约束自然满足,把A、B看成是两个可运动的质点,,广义坐标数为:,N = 2,OA、AB长度为约束,B点上下运动也受约束,共有3个约束方程,r = 3,如果考虑系统有A、B、O共3个质点,N3,则约束也增加,r5,广义坐标数k2Nr1,因此,在考虑广义坐标系时,只需考虑运动的质点,另一个问题:广义坐标独立,但是其变分是否独立?,如果把杆OA、杆AB、滑块B看成是刚体,则原先的A、B、O点看成是约束,广义自由度该如何计算?,3个刚体,N3,约束方程:每个平面铰链有2个约束方程,共6个;对滑块B,不能转动,不能上下运动,有2个约束方程
3、;r = 6 + 2 = 8,广义坐标数目K = 3N r = 9 8 = 1,广义坐标的计算有不同的方法,结果都应该相同,独立的虚位移数就是质系的自由度。,自由度,N 质点总数 r 完整约束的总数; s 非完整约束的总数;,自由度数目,比较:,广义坐标数为:,如果是完整约束,kn如果是非完整约束,kn,完整约束的例子,广义坐标数目为1,自由度数为1,广义坐标数目为1,自由度数为1,广义坐标数目为2,自由度数为2,为了描述圆球在水平面上作纯滚动,独立的参数为,非完整约束的例子,独立的广义坐标数为5;自由度为3。,广义坐标形式的静力学普遍方程,Qj 称为对应于广义坐标 qj 的广义力。,广义力是
4、广义坐标和时间的函数。,广义力是主动力的某种代数表达式,但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。,广义力与真实力相比,数目大为减少。,具有完整理想约束的质系,其平衡的充分必要条件是:所有的广义力等于零。,静力学普遍方程,上述结论的条件是什么?广义坐标独立,与广义坐标的变分独立,是否是一回事?,例1,惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成,长杆长2a,短杆长a,各杆之间用铰链相连。它在顶部受力P的作用,问下部力Q的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角。,解,取为广义坐标,例2,均质杆OA和AB用铰A连接,用铰O固定。两杆的长度为 和 ,重量为均为P 。在B端作用一
5、水平力 ,求平衡时两杆与竖直方向夹角,取a、b 为广义坐标,解 解析法,解 几何法,首先取,再取,例3,已知: m1, m2, M, , , 且接触面光滑。求:平衡时, m1, m2, M 的关系。,解,二自由度的平衡问题,选独立的广义坐标 x1, x2,第5节主动力有势情况下的静力学普遍方程,力场,若在空间某区域,质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间,而与其速度无关,则称该空间区域存在力场,如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。,若存在标量函数V,只依赖于质点Pi的坐标xi、 yi、 zi,并且质点Pi在力场中所受的力等于,则称力场有势,函数V为势能,Fi为有势力。,主动力有势情况下的静力学普遍方程,设质系所受的主动力有势:,质系的平衡方程,对主动力有势的质系,其势能在平衡位置取驻值。,拉格朗日定理:对完整保守系统若势能函数在平衡位置取孤立极小值, 则该平稳位置稳定。,结果与前相同。,已知: m1, m2, M, , , 且接触面光滑。求:平衡时, m1, m2, M 的关系。,例1,例2,已知:灯G的质量为m,A、C为铰链,B为套筒。杆的质量不计。当 = 180 时弹簧为原长。求:当 = 120 系统处于平衡时,弹簧刚度k应具有的大小,并讨论该平衡位置的稳定性。,解, 系统处于稳定平衡位置,作业515516525527,