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1、ABMPOlxym解析几何的解题策略选择吴江高级中学 陈群峰一、复习要点解析几何中，一类与两直线斜率有关的圆锥曲线综合问题求解的基本策略.二、基础训练1. 过原点 作直线与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上一点，且直线 斜率均存在，则 .O2:1xTy,ABPT,PABPABk2. 过原点 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 交于 与 ，则四边形 面积的最小值为 .2:1xTy,AC,BDC三、典型例题例 1 （2013 苏北四市期末 18 题）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 2，且过点xOy )0(1:2bayaxE.)26,(（1） 求椭圆 的方程；E（2） 若点 ， 分别是椭圆 的
2、左、右顶点，直线 经过点 且垂直于 轴，点 是椭圆 上异于 ， 的任意一点，ABElBxPAB直线 交 于点Pl.M（）设直线 的斜率为 直线 的斜率为 ，求证： 为定值；O,1kBP2k21k（）设过点 垂直于 的直线为 .求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.m详细答案附后例 2已知中心在原点的椭圆 过点 和点 ,C(2,1)P6()2Q（1）求椭圆 的标准方程（2） 是椭圆 上的两个动点,若直线 的斜率存在,且和为 ,求证:直线 过定点.,ABAB1AB例 3（2013 常州期末 18 题）如图，在平面直角坐标系中，已知 分别是椭圆 E: 的左、右焦点，12,F21(0)xyabA，B
3、分别是椭圆 E 的左、右顶点，且 . 250AFBurr（1）求椭圆 E 的离心率；（2）已知点 为线段 的中点，M 为椭圆 上的动点（异于点 、 ） ，连接 并延长交椭圆 于点 ，连接1,0D2OEAB1MFEN、 并分别延长交椭圆 于点 、 ，连接 ，设直线 、 的斜率存在且分别为 、 ，试问是否存在常MNEPQMNPQk2数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.12k四、巩固习题1.已知椭圆 的离心率 ， 是椭圆的左、右顶点， 是椭圆上不同于 的一点，直线21(0)xyab32e,ABP,AB斜倾角分别为 、 ，则 = ,PABcos()2. （2013 南通期末）已
4、知左焦点为 F(1，0) 的椭圆过点 E(1， )23过点 P(1，1) 分别作斜率为 k1，k 2 的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点（1）求椭圆的标准方程； （2）若 P 为线段 AB 的中点，求 k1；（3）若 k1+k2=1，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标3.（2013 南京市、盐城市高三期末）如图, 在平面直角坐标系 xOy中, 已知椭圆2:1(0)xyCab经过点 M(32,),椭圆的离心率23e, 1F、 2分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆 C的方程；(2)过点 M作两直线与椭圆 分别交于相异两点 A、 B. 若 M的平分线与 y轴
5、平行, 试探究直线 AB的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由.4.（2012 镇江高考模拟）已知椭圆 G：21xyab(ab0)的离心率为 2，右焦点 F(1,0)过点 F 作斜率为 k（k0）的直线 l，交椭圆 G 于 A、B 两点，M（2,0）是一个定点如图所示，连 AM、BM，分别交椭圆 G 于 C、D两点（不同于 A、B） ，记直线 CD 的斜率为 1k()求椭圆 G 的方程；()在直线 l 的斜率 k 变化的过程中，是 否存在一个常数 ，使得 1恒成立？若存在，求出这个常数 ；若不存在，请说明理由五、参考答案例 1 解：由题意得 ，所以 ，又 ， 2c1c231
6、ab+消去 可得， ，解得 或 （舍去） ，则 ，a4530b24a所以椭圆 的方程为 E21xy（）设 ， ，则 ， ，1(,)0P0(,)M012yk12yx因为 三点共线，所以 ， 所以， ，因为 在椭圆上，所以,APB1042yx2011124()()yykx1(,)Pxy，故 为定值22113(4)yx21123(4)k（）法一:直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ,BP12ykxm12mxky则直线 的方程为 ，m10()y1111022()4() 2xxxyyy22111(4)xy= = ，22111(4)3xy11xy1()x所以直线 过定点 m(,0)法二：直线 方程为 则 .
7、OM1,ykx1(2,)k,则直线 方程为： ，12,3mBPkQm12()3ykx即 ， 直线 过定点 .12()3yx(,0)例 2 解：（1）设椭圆 方程： ，椭圆 过点 和点 ，C21(0,)mxnynmC(2,1)P6(,)2Q则 ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为432mn1,82C2.8xy（2）设直线 的斜率分别为 和 ( 且 ) ,则直线 的方程为,PABkm1kPA,设1()ykx12(,)(,)yx由 ,消去 得 ,248 224(168)1640kkxk由题意, ,2211 264884, 1kkkxx则 ,1 2()y 22(,)4A同理可求得, 2841)mB法一:取
8、 得 ,求得直线 方程为 ,0,k7(,)5BB32yx取 得 ,求得直线 方程为 ,123,()1AA14求得以上两直线交点为 .则02)D,22443188ADkkk.224()()1BDkk即点 共线. 直线 过定点 .,Ak,AB(0,2)D法二:22224441(1)1888ABmkmk22(4)(4)11kk（ ） （ ）（ ） -（ ）22(6)(8)(4)2()13684mmkk .24318ABkQ则直线 方程为 化简得 ,所以直线222438(1)(),841kkkyx 2438kyx过定点 .AB(0,2)例 3解：（1） ， . ，化简得 ，Q250AFBurr25AF
9、Bur5ac23ac故椭圆 E 的离心率为 .23（2）存在满足条件的常数 ， .点 为线段 的中点， ，从而 ， ，左焦点47l1,0D2OF2c3a5b，椭圆 E 的方程为 .设 ， ， ， ，则直线 的方程为 ，1,0F2195xy1,Mxy2,Nxy3,Pxy4,QxyMD1xy代入椭圆方程 ，整理得， . ， .从而 ，故点2195xy2114011351351395x.同理，点 . 三点 、 、 共线， ，从而 .从而1154,Px2294,5xyQ1FN12yx1212yy.故 ，从而存在满足条件的常数 ，1212121234 1212 759444yxyyyyx kk xx 2
10、07k.7l六、选题说明很多学生对于解析几何综合问题几乎到了谈虎色变的地步.究其原因，可以概括为三条：“想不到” ， “消不去”和“算不对”.“想不到”的客观原因是解析几何综合问题包含的信息量大，既有几何关系，又有代数关系，两个领域之间的联系隐藏性强；主观原因是学生没有掌握解析几何的思维特征与基本思想，对于题目中的几何关系、代数关系不能准确转化.解析几何很多问题的解题思路最终可归结为设点或设斜率，那么什么时候该设点，什么时候该设斜率？其实，原则上很多问题设点，设斜率都可行的.那么，怎样选择更适合一般学生的求解思路，让其能更快地找到解题的方向，看到解题的希望，这是我们应该探索的问题.本节课从两个
11、基础训练开始，基础训练 1 是用设点求解的典型题（当然也可以用特殊值法） ，基础训练 2 是用设斜率求解的典型题.归纳两题特点：基础训练 1 是探求斜率关系，设点以表示斜率；基础训练 2 中两直线斜率关系确定，设斜率以表示点.进而总结一般的设法策略.例 1 的第（2）小题的，是基础训练 1 的直接变式，第（2）小题的学生做时设点，设斜率都可以轻松解决，教师可对这两种策略进行比较，进而得出当斜率关系确定时，一般设斜率比较简单.例 2 的本质是求 两点，基本策略是设斜率，能让学生迅速找到解题方向，但随之而来的是计算上的困难.通过两种,AB方法求定点，让学生感受定点产生技巧和基本的运算技巧.例 3 是探求斜率关系，采取设点的策略，把探求斜率关系转化为探求点之间的关系.在探求点与点之间关系时，采取的是设斜率求点的策略.巩固习题 1 是基础训练 1 的变式，巩固习题 2，3 是例 2 的变式，巩固练习 4 是例 3 的变式.不足之处,敬请各位专家批评指正!
