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1、Ch2、3. 矩阵,1. 矩阵的定义,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵,2. 矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘：,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,A是n 阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵的行列式：三种基本计算方法,满足:,解,转置矩阵:,一些特殊的矩阵:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,伴随矩阵：,3. 逆矩阵,定义：,唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵
2、是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论：,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,满足规律：,逆矩阵求法：,（1）伴随矩阵法（2）推论法（3）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4. 分块矩阵,5. 初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换,矩阵的等价：,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作,初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.,与矩阵的相似、合同相互比较,定理：,左乘变行，右乘变列,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆),矩阵方程,解,、秩（A
3、）：A的不等于0的子式的最高阶数。,、秩的基本关系式：,、关于秩的重要结论：,6、矩阵的秩,、秩的求法：,1）初等变法：,2）若P可逆，则,4 ),当 时，,5 ),例题2,设 A、B 都是 n 阶方阵，则,e,解,解：,R(A)=2,例5,解,一. 向量组的线性相关性,1. 向量间的线性运算：加法、数乘。,2. 线性组合、线性表示,(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法,方法1：,ch4. 向量组的线性相关性,是否非零无要求,关键：存在某组 使上式成立，,(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论,结论1：,向量 可由向量组 线性表示,结论2：,方法2：,证下列非齐次线性方程组有
4、解,即：,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,3. 线性相关性的判别方法,(1) 一般方法：设数,求系数是有非零解还是只有零解的问题。,(2) 利用向量组的秩判断：,当 时， 线性相关；,当 时， 线性无关。,(3) 利用常用结论：,1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。,4. 最大无关组的选取或证明,(1) 初等变换法（最常用）,n1个n维向量线性相关。,部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。,短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。,解：,是一个极大无关组,并且,考虑：还有那些极大无关组？,二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后，看非零行的行数。,三. 关于向量组的秩、矩阵
5、的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理：,那么 线性相关。,(3)(三秩相等) 矩阵A的秩A的行秩A的列秩。,向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）； 求向量在给定基底下的坐标。,四. 向量空间,五. 正交化与正交矩阵,1. 正交化、单位化,2. 正交矩阵,的n个列（行）向量组为单位正交向量组,也是正交矩阵,是正交矩阵，则 也是正交矩阵,定理1 设有非齐次线性方程组(1),定理2 设有齐次线性方程组（2）,设r(A)=r,则,线性方程组的解法与解的结构,定理1 设有齐次线性
6、方程组（2）,方程组的通解、基础解系,定理2 设有非齐次线性方程组（1）,例7、,解,1）是；,2）,3）,由（2）即得条件,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,特征值和特征向量,3、对角化,看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。,充要条件:,充分条件:,有n 个不同特征值;或 A为实对称矩阵,填空题,已知三阶方阵的三个特征值为，则|A|（ ），的特征值为（ ），的特征值为（ ），的特征值为（ ）,设k=0，k是正整数，则的特征值为（ ） ,若，则的特征值为（ ） ,，-1/2, 1/3,，,4, 1, 16,0,0, 1,4设A是3阶方阵，已知方阵，都不可逆，则的特征值为（ ）,已知三阶矩阵A的特征值为，则（ ）。,1, -1, 3,-72,例8,（1）求,设,相似于,（1）由性质,（2）,（2）,解,例9,二次型,1、利用正交变换化为标准形的过程；,2、正定矩阵的判别方法： 定义法； 利用特征值全大于零； 顺序主子式全大于零。,二次型化为标准形,的矩阵 与对角矩阵 合同.,求正交变换,化二次型为标准形,找正交矩阵,使,
