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1、第一讲 随机事件及其概率1 第一讲 随机事件及其概率1了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式3理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.主要内容与典型例题一 随机试验与随机事件1.随机试验 随机试验满足以下三个特点：试验的所有可能结果（不止一个）是确定的；每次试验会发生什么结果是无法事先预知的； 试验可以在相同的条件下重复进行。但也有不少的
2、随机试验不满足这个条件.2.样本点与样本空间 试验的每一个可能结果称为样本点,用 表示。所有样本点组成的集合就是样本空间，用 表示。3.随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件: 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，用 A，B，C 等记之。由单个样本点构成的随机事件成为基本事件，样本空间 为必然事件，不含任何样本点的事件 称为不可能事件。二 事件的关系与运算1.包含关系:事件 A 发生必导致事件 B 发生,记为 。BA2.相等关系: 若 且 。概率统计考研讲义23.并事件: ， 。,至 少 发 生 一 个BAniA14.差事件: 不 发 生发 生 ，5.交事件: ， 。,同 时 发 生ni1
3、6.互斥事件: A 和 B 不同时发生。7.对立事件: ， .不 发 生 A8.事件的运算律: 交换律: , ；B结合律: ,)()(CCBA；A分配律: ， ；B)( )()()( CB对偶律: , ；A三 事件的概率及其性质1.定义:设随机试验的样本空间为 ，若对每个事件 A，有且只有一个实数 与之对)(AP应，并满足以下公理：（非负性） ； 1)(0AP（规范性） ；（可列可加性）对任意一列两两互斥事件 ，有 ；,21A11)()(iii AP则称 为事件 A 的概率。)(P2.性质: ； ；0)( )(1)(AP若 互斥，则 ；nA,21 niiniP11 ；)()()( BBP；)(
4、)()()( ABCPACPCC第一讲 随机事件及其概率3 若 ，则 ，且 ；BA)(BP)()(APB推广： )(A四 条件概率与事件的独立性1.条件概率: 设有两个事件 和 ， ，称已知 发生的条件下 发生的概率为B0)(PAB的条件概率，记为 ，且有 。B)(A)(B2.独立性: 若两事件 A 和 B 满足 或 ，则称 A 和 B 相)( )(P互独立。类似的还有 两两独立和相互独立的定义。n,213.简单性质: 在 和 ， 和 ， 和 ， 和 这四对事件中，只要其中有一对独BA立，则其余三对也独立。五 重要的概率模型1.古典概型: 古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个；各个可能结
5、果是等可能的；设试验一共有 个可能结果，而所考察的事件 含有其中的 个，则事件 的概率为nAkA样 本 点 总 数包 含 的 样 本 点 数nkP)(注 古典概率的计算难点在于 A 包含的样本点数的计算。在计算样本点数的时候，常用到以下排列组合公式：从 个不同元素取 的排列数为： ；nr)!(rnr从 个元素中有返回地取 个的排列数： ；从 个不同元素取 的组合数为： ；nr)!(rnCr2.几何概型：向某个可度量的有界区域 D 内随机地投掷一点，如果落在 D 内任何两个测度相等的子区域的可能性相等，则随机点落在 D 的子区域 A 内的概率为的 测 度的 测 度AP)(注 如果 D 和 A 是
6、数轴上区间（平面区域或立体区域） ，则测度就是区间长度（面积或体积） ；几何概率的计算关键是找出事件 A 所对应的子区域，并计算其测度。概率统计考研讲义43.贝努利概型：在 重贝努利试验中，事件n 恰好发生 次kAk)0(n的概率为： 。knnkpCP)1()(六 重要公式1.乘法公式： )()()( BAPBA)12112121 nnnP2.全概率公式：设事件 两两互斥，且 。事件 满足n,21 0)(iiBniiBA1则有。)()(1iniiPP3.贝叶斯公式：设事件 两两互斥，且 ， ,事nA,21 0iA)1(ni0(BP件 满足BniiB1则有。)()(1iniiiii ABPAP第
7、一讲 随机事件及其概率5 第二讲 随机变量及其分布1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布 、泊松 (Poisson)分布及其应用.3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用.4.会求随机变量函数的分布.主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1.随机变量 对于给定的随机试验, 是其样本空间,若对 ,有且只有一个实数与之对应,则称此定义在 上的实值函数 为随机变量。)(XX2.分布函数 设 是一个随机变量，称函数 )
8、()xPxF)为随机变量的分布函数。性质 （ ） ；1)(0x对任意两点 ，当 时，有 ；2,21x)(21xF ； ；)(limxFx )(liFx （ ） ；00 0 )()(abXaP注记 满足上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函数。概率统计考研讲义63.分布律 性质 ， 。10ipi4.密度函数 设随机变量 的分布函数为 ,若非负函数 ,对任意的 ，使得X)(xF)(xfxdtf则称 为连续型随机变量, 为 的概率密度函数 ,并称 的分布是连续型分布。X)(xf X性质 ； ；0)(xf 1)(df（满足上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数） baxfXaP)()( 是连续函
9、数 ,且在 的连续点处有 ；xF )(xfF对 ，有 ；Rc0)(c对任意的 ，有ba, badxfXaPbabXP )()()()()(二 重要的一维分布1.（0-1）分布 分布律为 ， 。p1012.二项分布 在 重贝努利试验中，事件 发生的次数 的分布为nAXknknCXP)()( ),20(n记作 。当 时，二项分布即为（0-1）分布。),pB13.泊松分布 分布律为 ，记为 。),210(!)( Lkek )(PX4.均匀分布 密度函数和分布函数分别为X 1x2ixP pip第一讲 随机事件及其概率7 和 otherbxabxf,01)( )(xFbxab,1,0记作 .),(aUX
10、5.指数分布 密度函数和分布函数分别为和 otherxxf,0)()(xF0,1xe记为 。EX6.正态分布 密度函数为 )0,(21)(2) 都 是 常 数 ，xexf记作 。当 时，密度函数为,2NX,021)(xexf称 服从标准正态分布，记为 。,0NX性质 标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有 ，其中 是)(1)(x)(x的分布函数。),(2N 若 ，则有 ，继而有),(2X)1,0(NX。)( abaP三 随机变量函数的分布1.离散情形 设离散型随机变量 的分布律为XX 1x2kxP pp则 的分布律为)(gYX )(1xg)(2)(kxgP pp概率统计考研讲义8其中 、 、
11、、具有各不相同的值。若 的值中有相同的，)(1xg2)(kxg)(ixg则应把那些相同的值分别合并，同时把对应的概率 相加。ip2.连续情形 设 的密度函数为 ,求 的密度函数的步骤为X)(xfX)(gY先求 的分布函数：Y)()()yPyFdxfyxgX)(再求 的密度函数： 。FfYY第一讲 随机事件及其概率9 第三讲 多维随机变量及其分布1.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度
12、，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数1.定义 设试验 的样本空间为 ，对于每一个样本点 ，都有确定的两个实数Ew与 之对应，称有序数对 为二维随机变量（或二维随机向量） ，)(wXY)(,(YX简记为 。并称 和 是二维随机变量 的两个分量。,Y2.分布函数 设 是二维随机变量，称二元函数),(，,yxFyxXP记 为,yYxXP),(yx为二维随机变量 的联合分布函数 。),(Y性质概率统计考研讲义10 ；且 ； ；1),(0yxF0),(limyxFyx 1),(liyxFyx对
13、任一固定的 ， ；,对任一固定的 ， ；0)(lixx 关于 和 是单调不减的。),(yxF 关于 和 均为右连续函数。 。,2121yYxXP),(2yxF),(21yx),(12yxF),(1x3.关于 的边缘分布函数： )Xlimy关于 的边缘分布函数：Y(Y),(xx4.独立性的判定 与 独立 。),yFXFY二 二维离散型随机变量1.定义 如果二维随机变量 所有可能取值只有有限多对或无穷可列多对，则称),(Y为二维离散型随机变量 。),(YX2.联合分布律 设二维离散型随机变量 的所有可能取值为 ，),(YX),(jiyx，且 取各可能值得概率为,21,ji),(YX， ， ,jiyYxPijp,21,或写成表格形式：YX 1y2 j1x2ixp1 jp122 j21ip2i ijp则称或为 的联合分布律。),(YX第一讲 随机事件及其概率11
