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1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,2RsinC,2RsinA,2RsinB,sinAsinBsinC,思考探究在ABC中，sinAsinB与AB间有何关系？,提示：在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件.因为sinAsinB abAB.,2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况,一解,两解,一解,一解,无解,1.已知ABC中，a ，b ，B60，那么角A等 于 () A.135 B.90 C.45 D.30,解析：根据正弦定理 得： sinA ，又ab，AB，A45.,答案：C,2.ABC
2、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c 成等比数列，且c2a，则cosB等于 (),解析：a，b，c成等比数例，b2ac，cosB,答案：B,3.已知ABC中，b2，c ，三角形面积S ，则 角A等于 () A.30 B.60 C.30或150 D.60或120,解析：由S bcsinA可得sinA ，A60或120.,答案：D,4.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB 1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 .,解析：如图所示，B60，AB1，BD2.由余弦定理知,答案：,5.ABC中，若acosBbcosA，则ABC的形状是.,解析：acosBbcosA sinA
3、cosBcosAsinB0sin(AB)0，又A、B为ABC的内角，AB0，即AB.ABC为等腰三角形.,答案：等腰三角形,1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、 无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是 根据图形或由“大边对大角”作出判断.2.应熟练掌握余弦定理及其推论.解三角形时，有时可用正 弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、 简捷.,3.三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.,(1)在ABC中，已知a ，b ，B45，求角A、C和边c的值.(2)已知ABC中，角A，
4、B，C的对边分别为a，b，c，且tanB 试求角B的大小.,思路点拨,课堂笔记(1)B4590，且asinBba，ABC有两解.由正弦定理，得即sinAA60或120.当A60时，C180(AB)75，此时c,当A120时，C180(AB)15，此时cA60，C75，c 或A120，C15，c,(2)由余弦定理，得cosB a2c2b22accosB.故由tanB 得B(0,180)，B60或B120.,若将例(2)中的“tanB ”改换为“4sin2 cos2B ”，如何求解？,解：4sin2 cos2B,21cos(AC)2cos2B1 ，则4cos2B4cosB10，解之得cosB ，又
5、0B180，B60.,依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因 式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状；2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而 判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这 个结论.,特别警示判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意，“等腰三角形”和“等腰直角三角形”的判定.,在ABC中，已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试
6、判断该三角形的形状.,思路点拨,课堂笔记法一：由已知a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsinA，由正弦定理，,sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，sin2Asin2B，A、B为三角形内角，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形.,法二：同上可得2a2cosAsinB2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形.,若
7、将条件改为“ ”，该三角形的形状又如何？,解：法一：(利用边的关系来判断)： acosAbcosB,a ba2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2)a4b4(a2b2)(a2b2)(a2b2)(a2b2c2)0a2b20，或a2b2c20ab，或a2b2c2，,ABC是等腰三角形或直角三角形.法二：(利用角的关系来判断)： sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B或2A2BAB或AB .ABC是等腰三角形或直角三角形.,1.三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求， 或三角形的哪个角的正弦值可求.2.在解决三角形问题中，面积公式S absinC bcsi
8、nA acsinB最常用，因为公式中既有边也有角， 容易和正弦定理、余弦定理联系起来.,(2009安徽高考)在ABC中，sin(CA)1，sinB(1)求sinA的值；(2)设AC ，求ABC的面积.,思路点拨(1)结合ABC，找出A与B的联系.(2)求出a，利用S absinC求解.,课堂笔记(1)由CA 和ABC，得2A B,0A .故cos2AsinB，即12sin2A ，sinA .(2)由(1)得cosA .又由正弦定理，得 ，所以SABC ACBCsinC ACBCcosA .,正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型多为选择题和解答题，主要考查利用正弦定理和余弦定理解三
9、角形以及三角形面积公式的应用，常与三角恒等变换结合.09年天津高考则以填空题的形式考查了正弦定理的推论 2R的应用，这是一个新的考查方向.,考题印证 (2009天津高考)如图，AA1与BB1相交于点O，ABA1B1且AB A1B1.若AOB的外接圆的直径为1，则A1OB1的外接圆的直径为.,【解析】ABA1B1且AB A1B1，AOBA1OB1，两三角形外接圆的直径之比等于相似比.A1OB1的外接圆直径为2.,【答案】2,自主体验 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16 ，则三角形的面积为 (),解析：圆的半径为4， 2R8又abc16 S,答案：C,1.(2009福建高考)已知锐角ABC的面积为3 ，BC4，CA 3，则角C的大小为 () A.75B.60 C.45 D.30,解析：由SABC BCCAsinACB3 ，得sinACB ，而ABC为锐角三角形，所以ACB .,答案：B,2.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c ， b ，B120，则a等于 () A. B.2 C. D.,解析：由正弦定理得sinC .又C为锐角，则C30，A30，ABC为等腰三角形，ac,答案：D,3.(2010黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的 顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆 1上，则 等于 (),
