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1、的应用的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形三角形”和和“测量测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。分内容的一门数学分学科。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角在物理学中，有关向量的计
2、算也要用到解三角形的方法。形的方法。 我国古代很早就有测量方面的知识，公元我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦经取得了某些特殊角的正弦学习目标：学习目标：1、会运用解三角形的理论解决简单的实、会运用解三角形的理论解决简单的实际应用问题；际应用问题；2、培养将实际问题化归为纯数学问题、培养将实际问题化归为纯数学问题的能力。的能力。复习复习复习
3、复习1 1 1 1、请回答下列问题：、请回答下列问题：、请回答下列问题：、请回答下列问题：（1 1）解斜三角形的主要理论依据）解斜三角形的主要理论依据是什么？是什么？（2 2）关于解斜三角形，你掌握了）关于解斜三角形，你掌握了哪几种类型？哪几种类型？复习复习复习复习2. 2. 下列解下列解ABC问题问题, 分别属于那种类型？根分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？据哪个定理可以先求什么元素？ 第第第第4 4小题小题小题小题A A变更为变更为变更为变更为A=150A=150o o呢？呢？呢？呢？_余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出A,A,或先求或先求或先求或先求出
4、出出出B B正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出b b正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出正弦定理先求出B(60B(60o o或或或或120120o o) )无解无解无解无解（1 1）a a=2 ,=2 ,b b= ,= ,c c=3 + =3 + ；（2 2）b b=1=1，c c= = ，A A=105 =105 ；（3 3）A A=45=45，B B =60=60， a a=10=10；（4 4）a a=2 =2 ，b b=6=6，A A=30.=30.2 23 36 63 33 3_ _ _ _ _余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出余弦定理先求出a a
5、解斜三角形理论解斜三角形理论在实际问题中的应用在实际问题中的应用解应用题中的几个角的概念解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫方向角，如图 例例1海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛成岛成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛间岛间的距离是的距离是 。ACB10海里海里6075答：答：海里海里
6、基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式. . . .解：应用正弦定理，解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45BC=10sin60 /sin45基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式 练习练习1.如图如图,一艘船以一艘船以32海里海里/时时的速度向正北航行的速度向正北航行,在在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东200, 30分钟后航行分钟后航行到到B处处,在在B处看灯塔处看灯塔S在船的北偏在船的北偏东东650方向上方向上,求灯塔求灯塔S和和B处的距处的距离离.（保留到（保留到0.1）解：解：AB=16，由正弦定理知：，由正弦定
7、理知： BS/sin20=AB/sin45 可求可求BS=7.7海里。海里。 2.为了开凿隧道为了开凿隧道,要测量隧道口要测量隧道口D,E间的距离间的距离,为为此在山的一侧选取适当的点此在山的一侧选取适当的点C(如图如图),测得测得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得又测得A,B两点到隧道口的距离两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上在一直线上).计算隧道计算隧道DE的长的长ABCDE基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式基本概念和公式. . . . 由余弦定理可解由余弦定理可解AB长。进而求长。进而求DE。解略。解
8、略。析：析：4、计算要认真，准确计算出答案。、计算要认真，准确计算出答案。解斜三角形理论应用于实际问题应注意：解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。视角，仰角，俯角，方位角等等。3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。将已知和未知集中到一个三角形中解决。B B例例例例2 2 2 2 一艘渔船在我海域一艘渔船在我海域一艘渔船在我海域一艘渔
9、船在我海域遇险，遇险，遇险，遇险，且最多只能坚持且最多只能坚持且最多只能坚持且最多只能坚持45454545分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在A A处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出该渔船在方位角为该渔船在方位角为该渔船在方位角为该渔船在方位角为45454545o o o o 、距离为、距离为、距离为、距离为10101010海里的海里的海里的海里的C C处，处，处，处，并测得渔船以并测得渔船以并测得渔船以并测得渔船以9 9 9 9海里海里海里海里/ / / /时时时时的速度正沿方位角为的速度正沿方位角为的速度正沿方位角为
10、的速度正沿方位角为105105105105o o o o的方向航行的方向航行的方向航行的方向航行，我海，我海，我海，我海军舰艇立即以军舰艇立即以军舰艇立即以军舰艇立即以21212121海里海里海里海里/ / / /时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，险渔船所需的最短时间，险渔船所需的最短时间，险渔船所需的最短时间，能否营救成功？能否营救成功？能否营救成功？能否营救成功？解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用. . . .N NN N
11、45454545o o o o105105105105o o o o10101010海里海里海里海里A AC C解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用. . . .解解：设设所所需需时时间间为为t小小时时，在在点点B处处相相 遇遇 （ 如如 图图 ） 在在 ABC中中 ， ACB = 120 , AC = 10, AB = 21t, BC = 9t（舍去）（舍去） 由正弦定理：由正弦定理： 由由余余弦弦定定理理：(21t)2 = 102 + (9t)2 2109tcos120 整整理得：理得： 36t2 9t 10 = 0 解得：解得：航向为北航向为北4545o o+22+2
12、2o o=67=67o o 东东时间时间40分钟能营救成功。分钟能营救成功。例例例例2 2 2 2 一艘渔船在我海域一艘渔船在我海域一艘渔船在我海域一艘渔船在我海域遇险，遇险，遇险，遇险，且最多只能坚持且最多只能坚持且最多只能坚持且最多只能坚持45454545分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在分钟，我海军舰艇在A A处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出处获悉后，立即测出该渔船在方位角为该渔船在方位角为该渔船在方位角为该渔船在方位角为45454545o o o o 、距离为、距离为、距离为、距离为10101010海里的海里的海里的海里的C C处，处，处，处，
13、并测得渔船以并测得渔船以并测得渔船以并测得渔船以9 9 9 9海里海里海里海里/ / / /时时时时的速度正沿方位角为的速度正沿方位角为的速度正沿方位角为的速度正沿方位角为105105105105o o o o的方向航行的方向航行的方向航行的方向航行，我海，我海，我海，我海军舰艇立即以军舰艇立即以军舰艇立即以军舰艇立即以21212121海里海里海里海里/ / / /时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，险渔船所需的最短时间，险渔船所需的最短时间，险渔船
14、所需的最短时间，能否营救成功？能否营救成功？能否营救成功？能否营救成功？10海里海里120解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用. . . . 练习练习1、我舰在敌岛、我舰在敌岛A南南50西相距西相距12海里海里B处，处，发现敌舰正由岛沿北发现敌舰正由岛沿北10西的方向以西的方向以10海里海里/时的时的速度航行，我舰要用速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的小时追上敌舰，则需要的速度大小为速度大小为 。A南南50 B10 C分析：分析：2小时敌舰航行距离小时敌舰航行距离AC=20，由，由AB=12，BAC=120，余弦定理可解我舰航行距离余弦定理可解我舰航行距离 BC。（
15、略）（略）解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：想一想： 如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？AB解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：想一想： 如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABC解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例想一想：想一想： 如何测定河两岸两点如何测定河两岸两点A、B间的距离？间的距离？ABCABCa简解：由
16、正弦定理可简解：由正弦定理可得得AB/sin=BC/sinA =a/sin(+)a例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例例例3、 如何测定河
17、对岸两点如何测定河对岸两点A、B间的距离？如图在河这边取一点，间的距离？如图在河这边取一点，构造三角形构造三角形ABCABC，能否求出，能否求出AB?AB?为为什么？什么？ABC解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用解三角形的应用-实地测量举例实地测量举例实地测量举例实地测量举例例例3、 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定1 1公里长的公里长的基线基线CD，并测得并测得ACD=90=90o o，BCD=60=60o o，BDC=75=75o o，ADC=30=30o o，求求A、B两点的距离两点的距离. .ABCDABCD1公里公里分析：在四
18、边形分析：在四边形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB长，只能去解三长，只能去解三角形，与角形，与ABAB联系的三角形有联系的三角形有ABCABC和和ABDABD，利，利用其一可求用其一可求ABAB。ACD=90=90o o，BCD=60=60o o，BDC=75=75o o，ADC=30=30o o，略解：Rt ACDACD中，中，AD=1/cos30AD=1/cos30o o BCDBCD中，中，1/sin45=BD/sin601/sin45=BD/sin60，可求，可求BDBD。由余弦定理在由余弦定理在ABDABD中可求中可求ABAB。练习练习1：海中有岛：海中有岛A，已知，已知A岛周围
19、岛周围8海里内有海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛岛在北在北75东，航行东，航行20 海里后，见此岛在北海里后，见此岛在北30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。触礁危险。ABCM北北北北解法一：解法一：在在ABC中中ACB=120BAC=45由正弦由正弦定理得：定理得：ABCM北北北北无触礁危险无触礁危险由由BC=20 ,可求可求AB 得得AM= 8.978解法二：解法二：在在RtABM中，中，AM/BM=tan15 在在Rt ACM中中 ，AM/CM=tan60 BM= AM/ tan15， CM=
20、 AM/ tan60 由由BC=BM-CM=20 可解出可解出AM= 8.978ABCM北北北北无触礁危险无触礁危险1、审题（分析题意，弄清已知和所求，、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；根据提意，画出示意图；2.建模（将实际问题转化为解斜三角形建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）的数学问题）3.求模（正确运用正、余弦定理求解）求模（正确运用正、余弦定理求解）4，还原。，还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤： 如图，要测底部不能到达的烟囱如图，要测底部不能到达的烟囱的高的高ABAB，从与烟囱底部在同一水平直，从与烟囱底部在同一水平直线上的线上的C C，D D两处，测得烟囱的仰角分两处，测得烟囱的仰角分别是别是=3512=3512和和=4928=4928，CDCD间的距离是间的距离是11.12m11.12m已知测角仪器高已知测角仪器高1.52m1.52m，求烟囱的高，求烟囱的高 试 试 看
