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1、shi本 科 毕 业 论 文题 目 名 称 关 于 多 元 复 合 函 数 求 导 的 树 形 图 方法 学 院 ： 数 学 学 院 专 业 年 级 ： 学 生 姓 名 ： 班 级 学 号 ： 指 导 教 师 ： 程 荣 福 二 O 年 月日 I摘 要对多元复合函数求导问题历来是教学中的重点同时也是难点,如何把握重点,化解难点是本文所要达到的目的.本文详细地介绍了如何用图示方法协助链导法则解决对多元复合函数求导的问题.同时根据多元复合函数结构及其求导链锁过程的复杂性,提出一种现象直观的树形图上求导法: 根据多元复合函数各变量之间的内在关系,分析并构建树形结构示意图,以简明的方式揭示函数的结构和
2、图上求偏导的链锁规则.关键词:复合函数；树形图；链锁规则；偏导数；路径图IIAbstractMulti-function derivation of the compound the problem has always been the focus of teaching is also difficult to grasp the key points，this article is to resolve the difficult to achieveThis paper describes in detail how to assist the chain differentiati-
3、 on rule-mapping methods to solve complex multi-function derivation of the prob- lemAt the same time under the multi-composite structure and its derivative function of the complexity of the process chain is presented on the phenomenon of intuitive derivation tree：According to multiple complex functi
4、ons inherent relationship between variables to analyze and construct the tree diagram to reveal the simple way to map the structure and function of the partial derivative of the chain rule. Keywords: Composite Function；Tree；Chain Rules； Partial Derivatives； Road Map.III目 录中文摘要英文摘要目 录1.引 言12.主要结果4 3.
5、应用举例18致 谢 19参考文献2011. 引 言高等数学中,微分法的研究是微分学的基本内容之一,其中复合函数的求导问题尤为重要,同时又是非常重要的题型.当建立起偏导数概念以后,求已知多元函数的偏导数并不用任何新的方法,但对多元复合函数而言,就不象一元复合函数那么简单了.由于多元复合函数的复合结构复杂,怎么正确掌握求导法则是我们教学要达到的目的之一.多元复合函数求导的方法有多种,如链导法则、全微分形式不变性、隐函数的微分法和向量植函数的 Jacobi 行列式等等.由于涉及的理论的多少,一般的高等数学教材只介绍前几种,由以链导法则为主.但是在介绍此法则时一般采用的是先理论上证明,给出公式,然后举
6、例直接套用公式.这种叙述方式很大程度是常常因记不住公式或搞不清楚复合函数的复合结构关系而出错,使本来比较简单的问题复杂化.我们先来分析一元复合函数,如 ,此时 y 是 x 的复合函数,于)(),(xufy是 y 对 x 的导数就是 .这是实际上有一条链: ,指 y 到 x 只xuyu有一条路径,其中路径中每一个箭头表示前一个变量对后一个变量的导数,两个箭头即两个导数相乘.这条链较清晰地表明函数的复合关系,且求导式由路径立即得出.教学中一般均未体积这条链,在此抛砖引玉,对于理解下面链导法则的路径图有帮助.熟练掌握多元复合函数的求偏导数方法,是高等数学课程教学的基本要求.在多元复合函数中,由于其复
7、合结构繁多,中间变量及自变量都可能不只一个,且中间变量的层数亦不一定为单层,因此在实用链导法则时,极易出错.此时的关键是弄清楚函数的复合结构,哪些是中间变量,哪些是自变量.虽如此,但实际操作时仍易出错.倘若能仿上述一元复合函数的作法,加上适当的图形,直观地表明有关函数、中间变量、自变量之间的复合关系及依赖关系,将能更好地理解及运用链2导法则,且求导式不易出错.这里的图形,称为路径图.其原则是如果函数到某最终变量（自变量）的路径有几条,则函数对该自变量的导函数或偏导数的表达就为几项之和,且每一项分别由路径中几个箭头的乘积构成,没个箭头表示前一变量对后一变量（箭头指变量）的偏导数.如 分别表示为
8、, .xuz, xzu假定下面所涉及到的函数均满足相关条件,同时遵循一个原则:在多元复合函数的求导过程中,如果其中某一个中间变量是一元函数,则涉及到它的偏导数记号应改为一元函数的导数记号.2.主要结果多元函数的微分法,主要是掌握复合函数偏导数的求导法则.该法则又称链锁规则,表述为下述定理:定理若 ,在点（x,y）有偏导数,z=f(u,v),在对应点)(),(yxvyxu（u,v）有连续偏导数,则复合函数 ,在点（x,y）有对 x 及)(yxfzy 的偏导数:（1）xvzuxz（2）yvy公式（1） 、 （2）就是求其偏导数的链锁规则.这一规则又可叙述为“函数对其自变量的导数,等于函数对中间变量
9、的偏导数乘以中间变量对该自变量偏导数之和,函数有几个与该自变量有关的中间变量,及结果就有几项，函数有几次复合,没一项就有几个因子相乘.”如何正确理解和掌握函数偏导数的链锁规则.关键在于正确识别复合函数的中间变量和自变量,找出他们之间的内在关系,分析清楚其结3构,以更直观的方式表示函数偏导数的链锁过程.为此,使用多元函数的树形图上求导法,以树形结构示意图形象直接地表示因变量到达自变量的所有途径,并以路径中构成函数关系且相邻的两个变量间的“线段”上,标记左端变量对右端变量的导数,通过建立图上链锁合成规则,正确求出函数的偏导数.3.应用定理下面分类举例进行讨论，给出其相关的复合函数的微分法则3.1
10、中间变量为多个,最终变量为一个情形如 z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)其路径图为 : .tyxz它表明 z 最终为 t 的函数,z 到 t 有两条路径,每条路径有两个箭头.所以.tytxt类似推广 ,路径图为: nitxxfzinLL2,1)(),(21txzn2,特别,如 , , .路径图为:dtxzdtinii1 )(tyfz)(t)(ty.tyxz显然 z 是 t 的函数,z 到 t 有三条路径,其中一条路径为 只有一箭头.所以tz.tzytxt 4其中:右端 表示 z 对 t 的偏导数,即在 z=f(x,y,z)中固定 x,y 为常数而计dt算出来,左端 是 z 对 t 的
11、全导数,即在 的假设下计算出来.t )(),(tytx3.2.中间变量为一个,最终变量为多个的情形如 此时 z 为 st 的复合函数,是多元函数.路径图为:),()(tsxfz,tsxZ 到 s 有一条路径,路径上有两个箭头；Z 到 t 同理.所以 sxz.类似推广 ,路径图为:txzt ),(),(21nttxfzLnttxzM2则 nitxzti ,21L3.3中间变量为多个,最终变量为多个的图形如 路径图为:),(vufz),(yx),(yxv,yxvuzz 为 x,y 的多元复合函数.此时,z 到 x 有两条路径,路径上都有两个箭头；z 到 y同理.所以 ， .uzxv yuzvy类似
12、推广到 n 个中间变量,m 个最终变量: ,),(21nfL5，路径图为:nittumii ,21),(21L,mnmmttuttuttuzMM212121则 , .特别,如一 ， , jiniijdtuzt1mL,21),(vfz),(yxu)(xv路径图为:,xvyuz此时 z 仍为 x,y 的复合函数.z 到 x 有两条路径,但 z 到 y 只有一条路径.所以, .xuvxyuz再如 , , ,路径图为: ),(fz)(x)(yxv,yxvyuzz 为学 x,y 的多元复合函数,Z 到 x 有 3 条路径,其中一条是 z 直接到 x,z 到6同理.所以 , 上两式中 z 有xzuxvz
13、yzuyvz两种类型对 x 及 y 的偏导数.其中左端的 , 是把 z 看成具有中间变量及自变量 x,y 的复合函数时求其偏导数,右端的 , 是 z 将看成四个独立变量 u,v,x,yxy的函数时求其关于 x 及 y 的偏导数.为避免混淆,可以采用下标加以区分.可写成:,vuyx xzvzuz)()( ,vuxy ,)()(其中 同理，z=f(u,v),u= 都具有连续偏导数,求 , . vuxz,)( )(),(yyxzy因为 z 是关于 u,v 的函数,而 u,v 又是关于 x,y 的函数,所以 z 是关于 x,y的函数.这表明 z 是因变量,u,v 是中间变量，x,y 是自变量.它们之间
14、的关系可表示为图 1.图 1 图 2在图（1）中的左端始点 z 为因变量,右端终点 x,y 为自变量,中间的点 u,v 为中间变量,构成了多元复合函数 的树形图.若以连结两个变量的),(yxf线段上,标记以左端变量对右端变量的偏导数,见树形图（2）,则由始点 z 到达终点 x,y 的各条路径,获得一串导数导数链,为下一步链锁合成做准备.求 :由图（ 2）左端始点 z 出发,沿 路径线段上标记的导数依xz xuzyxvuzyxz yxvuz7次记录下来,并作乘法: ；沿 路径,可得 .由因变量 z 到达xuzxvzxvz自变量 x 只有这两条路径.将前边所得两个结果相加有:（3）xvzuz（4）yvy将公式（1） 、 （2）与公式（3） 、 （4）作比较,可见结果完全相同,这是因为例 1 就是关于多元复合函数求导法则的定理.但是后者是经过分析作图、标记路径、定导数链
