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1、精选高三年级第一学期期末试题数学（文科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ）已知 是虚数单位，若 ，则实数 的值为A. B. C. D. （2 ）已知 ，若 ，则A. B. C. D. （3 ）执行如图所示的程序框图，输出的 值为A.4 B.5 C.6 D.7（4 ）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5 分，共 8 道题）： 已知两组数据的平均数相等，则 的值分别为A. B. C. D. （5 ）已知直线 与圆 相交于 两点，且
2、 为正三角形，则实数 的值为A. B. C. 或 D. 或 （6 ）设，则“ ”是“直线 与直线 平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,（7 ）在 中， 是 的中点，则 的取值范围是A. B. C. D. （8 ）已知正方体的 棱长为 2，点 分别是棱 的中点，点 在平面 内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9 ）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 的值为 .（10 ）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 .（1
3、1 ） 中， 且 的面积为 ，则 .（12 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13 ）函数 的最大值为 ；若函数 的图像与直线 有且只有一个公共点，则实数 的取值范围是 .（14 ）某次高三英语听力考试中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 C C A B B 4乙 C C B B C 3丙 B C C B B 2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15
4、 ） （本小题 13 分）已知等差数列 的前 项和 ，且 .（）数列 的通项公式；（）若 ，求数列 前 项和.（16 ） （本小题 13 分）已知函数 .（）求函数 的定义域；（）求函数 的值域. （17 ） （本小题 14 分）据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试 1 测试 2 测试 3 测
5、试 4 测试 5 测试 6 测试 7 测试 8 测试 9 测试 10 测试 11 测试 12品牌 A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌 B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设 分别表示第次测试中品牌 A 和品牌 B 的测试结果，记 （）求数据 的众数；（）从满足 的测试中随机抽取两次，求品牌 A的测试结果恰好有一次大于品牌 B 的测试结果的概率；（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件. 请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（18 ） （本小题
6、 13 分）如图，三棱柱 侧面 底面 ， ， 分别为棱 的中点.（）求证： ；（）求三棱柱 的体积；（）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理由.（19 ） （本小题 14 分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 相交于两点 ，与 轴交于点 ，点 与点 不重合.（）求椭圆 的离心率；（）当 时，求椭圆 的方程；（）过原点 作直线 的垂线，垂足为 .若 ，求 的值. （20 ） （本小题 13 分）已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求证：“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大
7、题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 A D B B D C A C二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分.( 有两空的小题第一空 3 分)9. 10. 11. 或 12. 13.1 14.5 A三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15（本题共 13 分）解：（）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，解得 ， -3 分由 ，则 -5 分因此，通项公式为 .（）由（）可知： ，则 -7 分因为 ，-8 分所以 是首项为 8，公比为 的等比数列.-9 分记 的前 项和为 ，则-10 分-12 分-13 分16（本题共 1
8、3 分）解：（） ， -2 分解得： ， -3 分所以，函数的定义域为 -4 分（） -6 分-8 分-9 分因为 ，所以 ，所以 ，-11 分所以，函数 的值域为 .-13 分17.（本题共 13 分）解：（） 1 2 4 6 2 4 4 2 1 6 4 7所以 等于 1 有 2 次， =2 有 3 次， =4 有 4 次， =6 有 2 次， =7 有 1 次，则数据 的众数为 4-5 分（）设事件 D=“品牌 的测试结果恰有一次大于品牌 的测试结果”.满足 的测试共有 4 次，其中品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果有 2 次即测试 3 和测试 7，不妨用 M，N 表示.品牌 的测试结果
9、小于品牌 的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11，不妨用 P，Q 表示.从中随机抽取两次，共有 MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ 六种情况，其中事件 D 发生，指的是 MP,MQ,NP,NQ 四种情况.故 . -10 分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准 1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准 2：会用测试结果的平均数进行阐述-13 分可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌 处理器对含有
10、文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。理由如下：从前 6 次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌 的测试有两次打开速度比品牌 快( 数值小） ，品牌 有四次比品牌 快，从后 6 次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌 有四次打开速度比品牌 快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌 打开文件速度快一些理由如下：品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ，品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ，所以品牌 打开文件速度快一些
11、 .（且品牌 方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分.18.（本题共 14 分）（）证明：三棱柱 中，侧面 底面 ， ，又因为侧面 底面 ， 底面 ，所以 平面 ，-3 分又因为 平面 ，所以 ；-4 分（）解：连接 ,因为三棱柱 中，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，且 .所以 是边长为 2 的正三角形.因为 是棱 的中点，所以 ，又因为 ， ，所以 .因为 ， 底面 ，所以 底面 .-6 分所以三棱柱 的体积为； 8 分（）在直线 上存在点 ，使得 平面 .-9 分证明如下：连接 并延长，与 的延长线相交，设交点为 .连接 .因为 ，所以 ，故 -10 分由于 为棱 的中点，所以 ，
12、故有 -11 分又 为棱 的中点，故 为 的中位线，所以 .-12 分又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . -13 分故在直线 上存在点 ，使得 平面 .此时 ， . -14 分19.（本题共 14 分）解：（） ， ， ，-2 分，故 .-4 分（）设 ， ，得到 ，依题意，由 得 .且有 ，-6 分，-7 分原点到直线 的距离 -8 分所以 -9 分解得 1，故椭圆方程为 .-10 分（）直线 的垂线为 ，-11 分由 解得交点 ，-12 分因为 ，又 所以 = ，故 的值为 1.-14 分 20.（本题共 13 分）解：（）依题意， -1 分所以切线的斜率 又因为 ，-2 分所以切线方程为.-3 分（）先证不必要性.当 时， ，令 ，解得 .-4 分此时， 有且只有一个零点，故“ 有且只有一个零点则 ”不成立.-
