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1、精选高三年级第一学期期末试题数学(文科)第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1 )已知 是虚数单位,若 ,则实数 的值为A. B. C. D. (2 )已知 ,若 ,则A. B. C. D. (3 )执行如图所示的程序框图,输出的 值为A.4 B.5 C.6 D.7(4 )下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分,每道题5 分,共 8 道题): 已知两组数据的平均数相等,则 的值分别为A. B. C. D. (5 )已知直线 与圆 相交于 两点,且
2、 为正三角形,则实数 的值为A. B. C. 或 D. 或 (6 )设,则“ ”是“直线 与直线 平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,(7 )在 中, 是 的中点,则 的取值范围是A. B. C. D. (8 )已知正方体的 棱长为 2,点 分别是棱 的中点,点 在平面 内,点 在线段 上,若 ,则 长度的最小值为A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。(9 )已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则实数 的值为 .(10 )若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是 .(1
3、1 ) 中, 且 的面积为 ,则 .(12 )某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .(13 )函数 的最大值为 ;若函数 的图像与直线 有且只有一个公共点,则实数 的取值范围是 .(14 )某次高三英语听力考试中有 5 道选择题,每题 1 分,每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这 5道题的得分:1 2 3 4 5 得分甲 C C A B B 4乙 C C B B C 3丙 B C C B B 2则甲同学答错的题目的题号是 ,其正确的选项是 .三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15
4、 ) (本小题 13 分)已知等差数列 的前 项和 ,且 .()数列 的通项公式;()若 ,求数列 前 项和.(16 ) (本小题 13 分)已知函数 .()求函数 的定义域;()求函数 的值域. (17 ) (本小题 14 分)据中国日报网报道:2017 年 11 月 13 日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是 MIPS)测试 1 测试 2 测试 3 测
5、试 4 测试 5 测试 6 测试 7 测试 8 测试 9 测试 10 测试 11 测试 12品牌 A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌 B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设 分别表示第次测试中品牌 A 和品牌 B 的测试结果,记 ()求数据 的众数;()从满足 的测试中随机抽取两次,求品牌 A的测试结果恰好有一次大于品牌 B 的测试结果的概率;()经过了解,前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件,后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件. 请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.(18 ) (本小题
6、 13 分)如图,三棱柱 侧面 底面 , , 分别为棱 的中点.()求证: ;()求三棱柱 的体积;()在直线 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的长;若不存在,说明理由.(19 ) (本小题 14 分)已知椭圆 ,直线 与椭圆 相交于两点 ,与 轴交于点 ,点 与点 不重合.()求椭圆 的离心率;()当 时,求椭圆 的方程;()过原点 作直线 的垂线,垂足为 .若 ,求 的值. (20 ) (本小题 13 分)已知函数 .()求曲线 在点 处的切线方程;()求证:“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学(文科)一、选择题:本大
7、题共 8 小题,每小题 5 分,共40 分 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 A D B B D C A C二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30分.( 有两空的小题第一空 3 分)9. 10. 11. 或 12. 13.1 14.5 A三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.15(本题共 13 分)解:()设等差数列 的首项为 ,公差为 ,解得 , -3 分由 ,则 -5 分因此,通项公式为 .()由()可知: ,则 -7 分因为 ,-8 分所以 是首项为 8,公比为 的等比数列.-9 分记 的前 项和为 ,则-10 分-12 分-13 分16(本题共 1
8、3 分)解:() , -2 分解得: , -3 分所以,函数的定义域为 -4 分() -6 分-8 分-9 分因为 ,所以 ,所以 ,-11 分所以,函数 的值域为 .-13 分17.(本题共 13 分)解:() 1 2 4 6 2 4 4 2 1 6 4 7所以 等于 1 有 2 次, =2 有 3 次, =4 有 4 次, =6 有 2 次, =7 有 1 次,则数据 的众数为 4-5 分()设事件 D=“品牌 的测试结果恰有一次大于品牌 的测试结果”.满足 的测试共有 4 次,其中品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果有 2 次即测试 3 和测试 7,不妨用 M,N 表示.品牌 的测试结果
9、小于品牌 的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11,不妨用 P,Q 表示.从中随机抽取两次,共有 MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ 六种情况,其中事件 D 发生,指的是 MP,MQ,NP,NQ 四种情况.故 . -10 分()本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况,阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论,1 分,结合已有数据,能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2分.标准 1: 分别比较两种不同测试的结果,根据数据进行阐述标准 2:会用测试结果的平均数进行阐述-13 分可能出现的作答情况举例,及对应评分标准如下:结论一:,品牌 处理器对含有
10、文字与表格的文件的打开速度快一些,品牌 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。理由如下:从前 6 次测试(打开含有文字与表格的文件)来看,对于含有文字与表格的相同文件,品牌 的测试有两次打开速度比品牌 快( 数值小) ,品牌 有四次比品牌 快,从后 6 次测试(打开含有文字与图片的文件)来看,对于含有文字与图片的相同文件,品牌 有四次打开速度比品牌 快(数值小).结论二:从测试结果看,这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论:品牌 打开文件速度快一些理由如下:品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ,品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ,所以品牌 打开文件速度快一些
11、 .(且品牌 方差较小)其他答案情况,比照以上情况酌情给分.18.(本题共 14 分)()证明:三棱柱 中,侧面 底面 , ,又因为侧面 底面 , 底面 ,所以 平面 ,-3 分又因为 平面 ,所以 ;-4 分()解:连接 ,因为三棱柱 中,所以 .因为 ,所以 .又因为 ,且 .所以 是边长为 2 的正三角形.因为 是棱 的中点,所以 ,又因为 , ,所以 .因为 , 底面 ,所以 底面 .-6 分所以三棱柱 的体积为; 8 分()在直线 上存在点 ,使得 平面 .-9 分证明如下:连接 并延长,与 的延长线相交,设交点为 .连接 .因为 ,所以 ,故 -10 分由于 为棱 的中点,所以 ,
12、故有 -11 分又 为棱 的中点,故 为 的中位线,所以 .-12 分又 平面 , 平面 ,所以 平面 . -13 分故在直线 上存在点 ,使得 平面 .此时 , . -14 分19.(本题共 14 分)解:() , , ,-2 分,故 .-4 分()设 , ,得到 ,依题意,由 得 .且有 ,-6 分,-7 分原点到直线 的距离 -8 分所以 -9 分解得 1,故椭圆方程为 .-10 分()直线 的垂线为 ,-11 分由 解得交点 ,-12 分因为 ,又 所以 = ,故 的值为 1.-14 分 20.(本题共 13 分)解:()依题意, -1 分所以切线的斜率 又因为 ,-2 分所以切线方程为.-3 分()先证不必要性.当 时, ,令 ,解得 .-4 分此时, 有且只有一个零点,故“ 有且只有一个零点则 ”不成立.-