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1、应用题的本质是数学建模张奠宙摘要：数学有纯粹数学与应用数学两大部分。 小学数学有数与数的运算法则以及数学应用两大部分。小学数学应用题是相对独立的，其本质是数学模型的建立。“问题解决”的内容比较宽泛，它具有理念改革的指导意义， 却不能代替数学应用题的教学。小学数学应用题要有类型的区分，但不能“类型化”。儿童有丰富的想象力，模拟情景往往比真实情景更真切。应用题能够贴近学生生活的只能是少数，更多的是科学实践型、模拟情景型的题目。但是，我们应该更多开拓一些新型的应用题。本文提供了一些参考题。引言应用题的出现渊远流长。古埃及的纸草书、中国的算数书等古代数学典籍，都是应用题的汇编。从有历史的记载来看，算术
2、应用题一向是初等教育中的重要内容。直到第二次世界大战爆发前的 1930 年代， 世界各国的小学数学课程，大多包括算术应用题，并且成为小学数学最难学习的部分之一。20 世纪中叶以后， 小学数学应用题教学出现了两个重大的变化。首先是代数方法逐渐取代算术应用题。中学里学习的代数方法，较之笨重的算术方法，简单而有效，于是代数思想方法不断地渗透到小学数学中来，应用题的算术解法有所淡化。其次是问题解决口号的提出。1980 年， 美国提出“问题解决(Problem Solving)”的口号，认为解决非常规的数学问题，培育创新精神， 是数学教育的主要追求， 应该贯穿到数学教育的每一个环节之中。小学数学应用题的
3、僵化模式，成为改革的目标之一。1949 年建国以来， 我国大陆地区的小学数学课程一直把小学算术应用题的教学放在重要位置。但是，整体上也随着上述的两股思潮而发生渐进式的变化。在 21 世纪初实行的全日制中小学数学课程标准（实验稿）中， “数与代数“成为小学数学的基本学习领域。代数，从此正式进入小学数学范畴，数学应用题的教学也大量渗入代数方法。同时，应用题则不再成为独立的教学板块，而是贯穿在“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”各个领域之中。但是，用代数方法完全取代算术方法是不可取、也不可能的。算术方法有它独特的实用价值和思维训练价值。 数学问题的算术模型和代数模型， 各有所长， 应该相互融合，
4、而不是彼此排斥。同时，“问题解决”是一个宽泛的口号， 整个数学教学都是在“解决问题”。如果用“问题解决”来取代“算术应用题”，似乎偏离了“应用”的 本意。回避“应用题”带来的 问题， 并不利于“应用题”的教学改革。小学数学中文字型应用题的求解有其特殊的规律，适当的集中教学，是不可缺少的。时至今日， 用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的根本出路。一、 什么是 “小学应用题”数学的发展有两个原动力，一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学。这二者相辅相成，相互渗透，共同发展。不过，归根结底，社
5、会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源。小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则，属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学，体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。小学的“数学应用题”，可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。这里有三个要素：1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；数学应用是一个很大的学术领域。这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题。解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。2. 用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。这是小学数
6、学应用题的主要特点。西方有时把小学应用题称作“word problem”， 即用自然语言表达的数学问题。 3. 具有复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律， 在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。 例如，5 个学生每人有 3 本书，一共有几本书？ 答案只要写出 5 3 = 15 就是。 这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题。二、数学应用题教学的本质是数学
7、建模数学建模是 20 世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说，乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。就许多小学数学内容来说，本身就是一种数学模型：自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型。分数是平均分派物品的数学模型；元角分的计算模型是小数的运算。500 人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型叫做抽屉原理。鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；等等。更进一步，数学应用题教学，则是对一种比较复杂的特定情景给出一个具体的模型。例如，二元一次联
8、立方程， 是鸡兔同笼问题的数学模型。数学应用题教学的本质是“数学建模”。以下我们就建立数学模型的方法和步骤，与求解数学应用题的过程做一个比较。数学建模步骤 解应用题步骤 以行程问题为例背景考察搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征审题 对问题设置的情景仔细揣摩体察。弄清问题的目标。知道速度，位移，时间的关系；适度简化 ：如假定为匀速行驶在直线 型的道路上，等。构作模型根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构。列式将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段， 构成可以反映问题本质的算式。根据情景，
9、寻找数量规律。 例如找出一些不变量，借以构成数学等式。根据问题内容，如相向而行，还是相对而行之类概念，例如 同时启动相对而行时，二者相 遇时所用的时间相同等。据此列出等式：ax+bc=d。模型求解采用各种数学方法，求得满足模型的解答。 求解对算式进行变换和计算，求得结果。用算术方法或者代数方法， 进行变换， 依照计算程序获得结果， 求得解答。 如X = (d-bc)/a。答案分析检验模型是否正确， 解答是否符合实际。验证验证解答是否正确， 能否符合题意。将 x 代入原式进行验算。模型改进对模型解答进行数学上的分析，反思考察解题过程中使用的 数学思想方法总结本题的思考方法， 对行程问题的 关节点
10、进行反思， 尤其是弄清在行驶变化过程中，哪些是变化的，那些是不变的。每一道小学数学应用题的教育价值，在于能将情景“数学化”；即将文字的表述，转换为数学符号或图像的表示； 将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。这些数学活动，为日后学习更复杂的 “数学建模”，做好必要的准备 。因此，可以说，小学数学应用题教学，乃是学习“数学建模”的基础。三、 “问题解决”与应用题教学改革1960 年代的美国新数学运动，到 1970 年代归于失败。当时提出的口号叫做“回到基础”。又过了 10 年，美国数学教育界觉得仅仅强调“打基础”是不够的，因而在 1980
11、年提出了“问题解决”的口号，意在提倡“探究”性的思考，发展学生数学思考的能力。2008 年， 美国总统授命组成的 “数学咨询委员会”， 又提出“成功需要基础（Foundations for Success）”的口号。这是美国式的“折腾”。 因此，“问题解决”，是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。说起来很简单，所谓“问题解决”， 专指解决“非常规问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。但是，问题解决并不神秘。实际
12、上，数学是问题驱动的，问题是数学的心脏，解题教学是数学教学的基本组成部分，学生要解题练习，考试用考题呈现，这些本来都是常识。常规问题也是重要的。没有常规，哪里来非常规？不会解常规题，怎会解非常规题？ 为了打基础， 不得不多次重复一些看起来简单的问题。所有的学问都有基本功。例如学英文， 要背单词；弹钢琴， 要先学练习曲；学舞蹈，要练功；要当兵，先得会立正、稍息、走步。 轻视常规问题， 想一步登天，是不切实际的幻想。 求解常规问题和非常规问题，要同样重视。以为解常规题的教学可以不必花力气的想法是不对的。 下面， 用数学问题解决的观念，来分析我国的应用题教学。我国在常规应用题的教学上，成绩很好。 例
13、如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得很不错。但是， 在提出问题， 发展问题， 灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点【2】。在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学经验。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。 但是， 总体上较窄、较难，较偏。 总之，“问题解决”作为一种数学教育理念，有助于应用题教学的改革。但是，用“问题解决”取代“应用题教学”， 就会失于偏颇。 正如， 学习了分数， 有助于理解自然数。 但是不能用分数教学取代自然数教学，道理是 一样的。在 “问题解决”口号的推动
14、下，国外有许多好的数学应用题。例如，弗赖登塔尔就有一个经典的“巨人手印问题”：“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印，今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？ 这个题目好懂、有趣自不必言，尤其是体现比例的思想， 通过测量两只手大小的比值，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度， 这是比、比例、相似等数学本质的体现。问题要求学生进行操作，测量， 更是一个绝好的数学活动。这样的问题， 我们还设计得太少。仅仅停留在行程问题等类别上， 我们的应用题范围就太窄了。新的课程标准实施以来，在这方面有许多改进， 应该继续努力。下文还会涉及。四、应用题要有类型，但是不要“类型化”
15、小学数学应用题可以有三种分类。1. 按数学模型分类； 随机模型，统计模型；四则运算模型； 分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程模型等等。2. 按情景熟悉程度分类。如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等3. 按特定情境的数量关系分类。如行程问题，工程问题， 流水问题，折扣问题等等，第一、第二两种分类待后文涉及。这一段，我们只讨论第三种分类。长期以来，为了强调某种数量关系的理解，我们常常强化某种类型问题的解题方法。行程问题，工程问题等等，弄得非常复杂，一直是小学数学的一个重点和难点，也一直为大家所诟病。近年来，则索性一刀砍掉，全盘否定。不过，进行这样的分类是正常现象
16、。在微积分课程里要讨论瞬时速度问题，切线问题， 曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程， 电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等。将一类情景中发生的问题给以特殊的名称。 未尝不可。 但是， 作为一个研究领域来说，上述的问题， 都只是一个名词， 便于称呼而已， 并非一个数学领域。比如行程问题，尽管题目花样翻新，也可以出得很难，但不过就是 s = vt 这样的数量关系的各种不同的变式而已。宏观地看， 没有单独设立一个数学课题的必要。淡化这样的分类，是必然的趋势。但是也不能走向另一个极端：不讲类型。有的地方不准叫“应用题”，今天学“铅笔有几枝”，明天学“燕子飞走了”，不做一些基本的分类和概括， 实际上是作茧自缚， 矫枉过正的表现。实行社会主义市场经济模式是中国的国策，让孩子们了解经济学的一些初级术语和规律，是小学数学课程的有机组成部分。诸如什么是利息、利润、速度、效率等概念，是小学数学的任务，责无旁贷。无论如何， 以下的 7 种类型是必须进行正面提出，让学生认真学习的1。
