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1、21.（本小题满分 13 分）已知函数 22()ln1).xfx(I) 求函数 的单调区间;f（）若不等式 对任意的 都成立（其中 e 是自然对数的底数）.(1)naeN*求 a 的最大值.解: （）函数 的定义域是 ，()fx(1,)2 22ln()ln1.()xxxf设 则2()1)l,gx()l().g令 则2n,hx2().1xh当 时， 在（-1，0）上为增函数，0x()当 x0 时， 在 上为减函数.,x,)所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 ，()gx函数 g(x)在 上为减函数.1,)于是当 时，0(0),gx当 x0 时， ().所以，当 时， 在
2、（-1，0）上为增函数.1(),fx()f当 x0 时， 在 上为减函数.()0,f故函数 的单调递增区间为（-1，0） ，单调递减区间为 .(,)（）不等式 等价于不等式 由 知，1()nae1()lna1n设 则（构造函数）.l(),0,lGxx22221(1)ln().()ln()Gxxx由（）知， 即22ln(1)0,x22(1)ln()0.xx所以 于是 G(x)在 上为减函数.)0,Gx,故函数 G（ x）在 上的最小值为11ln2所以 a 的最大值为 .ln221 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 ， 为常数1()l(1)nfxxNa（）当 时，求函数 的极值；2nf（）
3、当 时，证明：对任意的正整数 ，当 时，有 1an2x()1fx解：21 （）解：由已知得函数 的定义域为 ，()f|1当 时， ，所以 2n2()ln)1fxax23()()axfx（分类讨论）（1）当 时，由 得 ， ，0a()0fx12a21xa此时 123)()(f当 时， ， 单调递减；1x， )0fx()f当 时， ， 单调递增(， (（2）当 时， 恒成立，所以 无极值0a )fx()fx综上所述， 时，2n当 时， 在 处取得极小值，极小值为 ()f1a2211lnaf当 时， 无极值0a fx（）证法一：因为 ，所以 11()ln()fxx当 为偶数时， （分类讨论）n令 ，
4、1()ln()()gxx则 （ ） 1 12() 0)()n n 2x所以当 时， 单调递增，2x， (gx又 ，()0g因此 恒成立，1ln()(20()xxg所以 成立()f当 为奇数时，n要证 ，由于 ，所以只需证 ，()1fx 0()nxln(1)x（常用的不等式）令 ，()l()h则 （ ） ，120xx x所以当 时， 单调递增，又 ，2， ()1ln()h(2)10h所以当 时，恒有 ，即 命题成立x xx综上所述，结论成立证法二：当 时， 1a1()ln()fx当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，2x ()n故只需证明 （常用的不等式）1ln()1x令 ， ，()(l)2ln(1
5、)hx2x，则 ，1x当 时， ，故 在 上单调递增，2 ()0 ()hx，因此当 时， ，即 成立2x ()20hx 1ln()1x故当 时，有 1l()()n即 ()fx20 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋（07 湖北） （本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋设两曲线 ，21()fxax2()3lngxba()yfx有公共点，且在该点处的切线相同 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师
6、hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()yg（I）用 表示 ，并求 的最大值；ab（II）求证： （ ） 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()fxg 20 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋解：（）设 与 在公共点 处的切线相同 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教
7、师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()yf()0()xy， ，由题意 ， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()2fxa 23gx 00fg0()fg（方程的思想）即 由 得： ，或 （舍去） 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋2200013lnxxba， 2003ax0xa即有 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋（ ）222153lnlnb令 ，则 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特
8、 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋于是5()()htt()t当 ，即 时， ；13ln0tt13te)ht当 ，即 时， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()(故 在 为增函数，在 为减函数，ht130e，13e，于是 在 的最大值为 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()t)， 13h（）设 ， （构造函数）2( ln(0)Fxfgxabx则 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋(
9、)Fx23()()axa故 在 为减函数，在 为增函数，0，()，于是函数 在 上的最小值是 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()x) 00()()Faxfg故当 时，有 ，即当 时， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋(0fgx 22 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋（本小题满分 14 分）已知函数 ()exfkR，（）若 ，试确定函数 的单调区间；()f（）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数
10、 的取值范围；0kx)0fk（）设函数 ，求证： 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()(Ff12(12)(e)()nFnNL22 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋满分 14 分 207新 疆 奎 屯wxc
11、kt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋解：（）由 得 ，所以 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋ek()exf()ef由 得 ，故 的单调递增区间是 ，()0fx1()f )，由 得 ，故 的单调递减区间是 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋x(，（）由 可知 是偶函数 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()(fxf()f于是 对任意 成立等价于 对任意 成立 207新
12、疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋0R由 得 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋 （分类讨论）()exfk ln当 时， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋1， ()e()f此时 在 上单调递增 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋()fx0，故 ，符合题意 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小
13、屋当 时， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋(1)k， ln当 变化时 的变化情况如下表：x(f，x(0ln)k， lnk(ln)k，()f0x单调递减 极小值 单调递增由此可得，在 上， 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋0)， (ln)lfxfk依题意， ，又 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋lnke，综合，得，实数 的取值范围是 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83
14、王 新 敞源 头 学 子 小 屋（） ，()()FxfQ，1212121212121212() ()eeeexxxxxxx（基本不等式），1()n（赋值法，迭乘法）12e2().nFL由此得， 2 1()(1)(2)1()(e2)nFnFFLL故 207新 疆 奎 屯wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋(1)2enFN，（22） （本小题满分 14 分）设函数 .)( sin)(Rxxf（）证明 ,其中为 k 为整数；xkfksin22（）设 为 的一个极值点，证明 ；0x)(f 204201)(xf（）设 在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,f L,2na证明 ),( 21Lnan（22）解：（）证明：由函数 的定义，对任意整数 ，有（验证法）)(xfk()si(2)sifxkfkx(2)nnxxk（）证明：函数 在定义域 上可导， fRxfcossi)(令 ，得 0)(
