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1、高等数学教案 4 不定积分1第四章不定积分知识结构图： 分 部 积 分 法第 二 换 元 积 分 法第 一 换 元 积 分 法直 接 积 分 法求 不 定 积 分 基 本 公 式性 质几 何 意 义定 义不 定 积 分原 函 数教学目的要求：1理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。2理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元） 、分部积分法求不定积分。3了解不定积分在经济问题中的应用。教学重点：1原函数与不定积分的概念2不定积分的性质与基本积分公式3直接积分
2、法4换元积分法5分部积分法教学难点：1不定积分的几何意义2凑微分法、分部积分法求不定积分第一节不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。【教学重点】1原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。【教学难点】1理解不定积分的几何意义；2记忆不定积分公式。【教学时数】
3、2 学时【教学进程】高等数学教案 4 不定积分2一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：已知曲线上任意一点 p(x,y)处的切线斜率为 ,求此曲线的方程。xk2已知某产品的边际成本 ，要求该产品总成本的变化规律 MC()Cq原函数定义定义41 设 是定义在区间 内的已知函数如果存在可导函数 ，使对于)(xfI )(xF任意的 ，都有Ix或)(xfF dxfdF)(则称函数 是函数 的一个原函数。)(xF)(xf例 1 指出下列函数的原函数: fcos)(23)(fxaf)
4、(xf1)(教师将举例分析：如 ，则 是 在 R 上的一个原函数。csinxcosin，则 是 的一个原函数。2()2x教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，我们不作讨论我们只给出一个重要的结论结论：如果函数 在某区间上连续，则其原函数一定存在()fx（2） 是不是 在 R 上的一个原函数呢？学生回答：是5x2（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入2.原函数个数定理 41如果函数 是 的一个原函数，则 也是 的原函数，()Fxf ()FxC()fx且 的所有原函数都具有 的形式（ 为任意常数） ()fxC(二)不定积分的概念教师指出：在以上的分
5、析中我们看到一个函数 有原函数存在，则有无数多个，()fx它们都可以表示为 的形式，我们把它叫做 的不定积分。()Fx不定积分定义定义42 如果函数 是 的一个原函数，则称 的全体原函数()Fxf ()fx（ 为任意常数）为 的不定积分，记作()FxCf高等数学教案 4 不定积分3CxFdf)()(其中 称为积分号， 称为被积函数， 称为积分表达式， 称为积分变()fxf x量， 称为积分常数C例 2 求下列函数的不定积分: xf)(xef)( xf1)(2不定积分几何意义提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？观察图 4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：结论： 表示的是一族曲
6、线，其中任意一条曲线都()FxC可以由曲线 沿 轴上、下平移得到这积()yx分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图 4-1 所示） 。例 3 已知某曲线上一点（1，2） ，且过曲线上任意一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程课堂练习(一)：求下列函数的一个原函数与不定积分: 3()4fx2()csfxxf2)(3不定积分的性质提问：若对于任意的 , ，那么 ， xI()fgx ()?fxd()?fxd性质 1（积分运算与微分运算互为逆运算）或 ()()fdf()()ff或 xCdxC性质2 （不定积分的运算法则）两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的
7、代数和，即 dxgxfdgxf )()()(推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即 dxfffffxf nn )()()()()( 2121性质3 （不定积分的运算法则）被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即高等数学教案 4 不定积分4( )()kfxdfx0k4不定积分的基本公式设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的，师生配合，根据导数基本公式，以及例 1、2 和课堂练习（一）得如下不定积分公式：1. 2. 0dxC 1xdxC(1)3. 4. 1lnlnaxxed5. 6. sicosx c
8、osix7. 8. 2etadC2ctdxC9. 10. 2rcsin1xx 2artn1x11. 12. setaedcsotcsdx利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法例 4求 221(35)xed解 2135xedxarctnxC例 5 求 (35sin)xed解 35sixexd()inx(3)5coslxeC例 6 求2(1)xd解2()1xdx12xdx4lnC高等数学教案 4 不定积分5例 7 求21xd解 222()1xddxxarctnC例 8
9、 求 2td解 22an(se1)secxxxdtanxC例 9 求 2co解 ss cos2dxdxx1si2x例 10 求 21inco解 2sidx22sincoxd221cosindxxtatC课堂练习（二）：求下列不定积分 dxdx21 )1(29本堂课小结：主要内容：原函数、不定积分的概念；不定积分的性质与运算法则；直接积分法。重点：不定积分性质与基本公式，直接积分法。难点：经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。第二节换元积分法【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法，熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）
10、 ，知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型，掌握第二换元积分法步骤。【教学重点】1.第一类换元积分法；2.第二类换元积分法。【教学难点】1.积分方法的合理选取；2.凑微分法【教学时数】3 学时【教学进程】导入新课：高等数学教案 4 不定积分61. 不定积分与导数运算是互逆运算；2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分；3. 复习复合函数的导数法则，引入新课。一、第一类换元积分法教师举例分析不定积分： 的计算过程，导入第一类换元积分法。xd2cos（一）第一类换元积分公式如果 都是连续函数，并且容易求得 的一个原函数 ，则)(),(xuf和 )(uf)(uF有如下公
11、式： )()( xdfdf凑 微 分 C)(F)( 回 代令 xuxu 利用复合函数的求导法则，可以验证上式的正确性用这种方法的计算程序是先“凑”微分式，再作变量置换，因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法例 1 求下列不定积分（第一小题写出中间变量，以后逐步脱离中间变量的设置）（1） （2）xddx4)12(（3） （4）ex常见类型一：通常形如： 令 进行换元积)0()(1)( abdafdxbaf ubx分。课堂练习（一）求 ；除了用上述方法以外还可以怎样做呢？2sin若 , 求 。cxdfi)(dxbaf)( 12x例 2 求下列不定积分（1） （2） （3）
12、dxe2 d2 dx23教师小结：1. 例 2 所出现的常见类型小结常见类型（二）通常形如： 令 进行换元积分；一般)(21)(2xfxf u，则令 进行换元积分；1)(1 nnddxf tn高等数学教案 4 不定积分72.积分方法的选取应该根据什么？应该根据经过换元后便于利用积分公式；课堂练习（二） dx21dx52)1(dxa2例 3 求下列不定积分教学方法：指出这三个题分别是属于常见类型，为常见凑微分类型小结作准备（1） （2） （ 3）dxsindxlndxe21（二）常用凑微分法公式的被积函数类型1. （ ）)()(1)( baxdfadxbf 0特别 f2. 3. )(1)(1 nnxdfxf )(2)(1xdfxf4. 5. )(xxefdef ln)(lnfdfx6. 1)1(27. 或)(coscosindxfxf )(sii)(sicxdfxf8. 或tant)(tae2d cottot2d9. )(rcsi)(rsircsin12 xdfxfx或 )(arcos)(rs)(aro12 xdffx10. ctn)(rt)(arctn12 xdfdxfx或 )cot()t()o12 xardrcfafx例 4 求下列不定积分 2axd2xad62xd高等数学教案 4 不定积分
