2007年数学一试题分析、详解和评注

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1、2007 年研究生入学考试数学一试题一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当 时，与 等价的无穷小量是0xx（A） （B ） （C） （D） e1ln1x1cosx【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当 时， ， ，0xex: 2:，21cos:故用排除法可得正确选项为（B）.事实上， ，00 011lnln(1)l()1 2imi limxx xxx 或 .lnl(1)ln()()()()oxoxx :所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本

2、题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见数学复习指南 （理工类）第一篇【例 1.54】 【例 1.55】.（2）曲线 的渐近线的条数为1lnexy（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】 ，11limlilne,limlilne0x xxx xxyy所以 是曲线的水平渐近线；0，所以 是曲线的垂直渐近线；01lililnexxxy0x ，1 elneln1e1limli0imlixxxxx xy，所以 是曲线的斜渐近线.lilil0xxby故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的

3、水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意 当ex时的极限不同.,x类似例题见文登强化班笔记高等数学第 6 讲第 4 节【例 12】 ， 数学复习指南（理工类）第一篇【例 6.30】 ， 【例 6.31】.（3）如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直径为 1 的上、下半()yfx3,2,圆周，在区间 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设2,0，则下列结论正确的是：0()()dxFft（A） (B) 3()(2)4F5(3)(2)4F（C） （D） 【分析】本题实质上是求分段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得， ，221

4、3(3)8F21()F.0220201()ddfxfxfx所以 ，故选（C）.33()4【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. 类似例题见文登强化班笔记高等数学第 5 讲【例 17】和【例 18】 ， 数学复习指南 （理工类）第一篇【例 3.39】 【例 3.40】.（4）设函数 在 处连续，下列命题错误的是：()fx0（A）若 存在，则 （B）若 存在，则 .0limx()0f0()limxfx(0)f（C）若 存在，则 （D）若 存在，则 .()f 【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题

5、设条件的特殊函数 去进行判断，()fx然后选择正确选项.【详解】取 ，则 ，但 在 不可导，故选（D）.()|fx0()lim0xfx()fx0事实上，在(A),(B) 两项中，因为分母的极限为 0，所以分子的极限也必须为 0，则可推得.(0)f在（C）中， 存在，则0()lixf，所以(C) 项正确，故选(D)0()(),()mlixfff【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第 2 讲【例 2】 ，文登 07 考研模拟试题数学二第一套（2）.（5）设函数 在 上具有二阶导数，且 ，令

6、 ，则下列结论()fx0,)()0fx()nuf正确的是： (A) 若 ，则 必收敛 . (B) 若 ，则 必发散 12unu12un(C) 若 ，则 必收敛 . (D) 若 ，则 必发散. u【分析】本题依据函数 的性质，判断数列 . 由于含有抽象函数，利用赋()fx()nf值法举反例更易得出结果.【详解】选（D）.取 ， ， ，而()lnfx21()0fx1 2l0lnuu发散，则可排除（A ） ；lfn取 ， ， ，而 收敛，则可排除21()fx46()0fx124u21()fn（B） ；取 ， ， ，而 发散，则可排除2()f()f122()f（C） ；故选（D）.事实上，若 ，则 .

7、12u11(2)()0uff对任意 ，因为 ，所以 ，1,xfx 1()0xfc对任意 ， .2 12()()fx故选（D）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.类似例题见文登强化班笔记高等数学第 1 讲【例 24】 ， 数学复习指南 （理工类）第一篇【例 1.22】.（6）设曲线 （ 具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点 和第:(,)1Lfxy(,)fxy M象限内的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列小于零的是 NTLMN（A） . （B）(,)dTf (,)dTfxy（C） . （D） . ,xys,(,)dxyfx【分析】本题考查对弧长的曲

8、线积分和对坐标的曲线积分的计算.【详解】M 、N 点的坐标分别为 ，则由题设可知 .12(,)(,)xyN122,y因为 ， 表示 的横坐标；2(,)d0TTfxyx；1y的弧长0；(,)TTfxys.,d(,)0dxyTfxxy所以应选（B）. 【评注】本题属基本概念题型，注意求对坐标的曲线积分时要考虑方向，对于曲线积分和曲面积分，应尽量先将曲线，曲面方程代入被积表达式化简，然后再计算.其计算方法见数学复习指南 （理工类）第十一章第 1 节知识点精讲中对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分的相关性质，类似例题见文登强化班笔记高等数学第 12讲【例 5例 7】 ， 数学复习指南 （理工类） 【例

9、11.1】.（7）设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是123,(A) (B) 11231,(C) . (D) . 123, 2【分析】本题考查由线性无关的向量组 构造的另一向量组 的线性相关123, 13,性. 一般令 ，若 ，则 线性相关；若123, A02，则 线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性0A运算得到正确选项.【详解】由 可知应选（A）.12310或者因为，而 ，1231231,001所以 线性相关，故选（A）.1231,【评注】本题也可用赋值法求解，如取 ，以此TTT23,10,1求出（A） ， （B） ， （C ） ， （D）中的向量并分别组成一个矩阵

10、，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记线性代数第 3 讲【例 3】 ， 数学复习指南（理工类） 线性代数 【例 3.3】.（8）设矩阵 ，则 与 2110,ABAB(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似 .(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得 的特征值，并A考虑到实对称矩阵 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. A【详解】 由 可得 ，221(3)E123,0所以 的特征值为 3,3,0；而 的特征值为 1,1,0.B所以 与 不相似，但是 与 的秩均为 2

11、，且正惯性指数都为 2，所以 与ABAA合同，故选（B）.【评注】若矩阵 与 相似，则 与 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.AB所以通过计算 与 的特征值可立即排除（A ） （C）.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）第二篇【例 5.17】.（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第(01)p4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为（A） . （B） .3(1)p26(1)p（C） . （D） 2【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标，1223()3(1)pp故

12、选（C）.【评注】本题属基本题型.完全类似例题见数学复习指南 （理工类）第三篇【例 1.29】 【例 1.30】（10）设随机变量 服从二维正态分布，且 与 不相关， 分别表示,XYXY(),XYfxy的概率密度，则在 的条件下， 的条件概率密度 为,XYy|Y(A) . (B) . ()fx()Yfy(C) . (D) . XYfy()XYxf【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用 与 的独立性和公式可求解.| (,)()XYYfxfy【详解】因为 服从二维正态分布，且 与 不相关，所以 与 独立，所以, XYXY.(,)()XYfxyfy故 ，应选（A）.| ()(, ()XYXYfx

13、yff fx【评注】若 服从二维正态分布，则 与 不相关与 与 独立是等价的., Y类似例题和求法见文登强化班笔记概率论与数理统计第 3 讲【例 3】 ， 数学复习指南 （理工类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4） ，二（3）和【例 2.38】二、填空题：1116 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（11） =_.12edx【分析】本题为简单定积分的计算，利用牛莱公式和凑微分法求解.【详解】 .11112222eexxx【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第 5 讲【例 14】 ， 数学复习指南（理工类）第一篇【例 3.27】.（12） 设 是二元可微函数， ，则 _.(,)fuv(,)yxzfz【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解】利用复合函数的求导公式，可直接得出12ln.yxzffyx【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记高等数学第 9 讲【例 8】, 【例 9】 ， 数学复习指南 （理工类）第一篇【例 8.16】,【例 8.17】,【例 8.18】.（13） 二阶常系数非齐次微分方程 的通解为 _.243