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1、复变函数与积分变换考试大纲20112012 第一学期一、需掌握内容（一）复数与复变函数1. 理解复数的各种表示法2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算3. 理解区域的有关概念（二）解析函数1. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析2. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，的定义，及它们的解析性质、运算性质（三）复变函数的积分1. 理解柯西基本定理，掌握积分与路径无关的条件2. 理解复合闭路定理（四）级数1 复数项级数的绝对收敛、条件收敛、发散。2. 理解复变函数展开式成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数（ ，1z， ， ， ）的泰勒展开式1zesinzco3
2、. 理解洛朗级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛朗级数（五）留数1. 了解孤立奇点及其分类，掌握其判断方法2. 掌握留数定理（八）傅里叶变换：1. 知道周期函数的傅里叶级数及其复数形式2. 理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换3. .熟悉单位冲激函数、单位阶跃函数、矩形脉冲函数等常见函数的变换4. 掌握傅里叶变换的性质5. 掌握卷积定理（九）拉普拉斯变换1. 理解拉式变换的概念 2. 掌握求拉式变换的方法3. 掌握拉式变换的性质4. 掌握卷积、卷积定理，能熟练应用拉式变换求解微分方程二、期末考核模拟试题一填空题（本大题共 12个空，每空
3、2分，共 24分。将答案写在答题纸上）1复数 的模为_，辐角为_.iz1322 ；且 所表示的平面点集是区域吗？_是单连3arg4z3|z通域还是多连通域？_.3、函数 何处可导？ ，何处解析？ 2()fzxyi4. 31sinzed5将函数 展开为 的幂级数： zf2si6. 函数 有什么弧立奇点 ， 是何种类型的奇点 23in()1)fz0z7.积分 的值为_ _，1|zde8已知 则它们的卷积 _. 12,tfeuftut12ft二单项选择题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。将答案写在答题纸上）1、复数 的主辐角为 ( )i3A. ； B. ； C. arctn3arctna
4、rctn2 的辐角主值为( )i（A） （B） （C） （D）012e2e3、级数 ( )1)niA. 绝对收敛； B. 条件收敛； C. 发散4 在复平面上( )ze（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析5.当 时， 的值等于（）iz150710zz（A） （B） （C） （D）i11三计算题（本大题共 2小题，每小题 7分， 共 14分）1 ，设 C 为正向圆周 。Czde2sin2|iz2 ，C 为正向圆周 。zde121|z四解答题（本大题共 5小题，每小题 7分， 共 35分）1.验证 是一调和函数，并构造解析函数 满足条件2,vx
5、yyxfzuiv.fii(类型题)设 a、b 是实数，函数 在复平面解析. 求出iybxazf)()(2a、b 的值，并求 .)(zf2把函数 在复平面上展开为 的洛朗级数.21fzzi3. 求函数 f(t)=1 和函数 的傅里叶变换.02()jwtfte4.求函数 f(t)=1 和函数 拉普拉斯变换.2()tfe5. 求函数 的傅里叶变换.0()e(2)jtftu五、综合题（12 分）(电信专业不要求)用 Laplace 变换求解常微分方程： 2)0(,1)(03yy答案：一填空题1 , 2.是，单连通 3. y=0，处处不解析25/124. 0 5. 24621()()()sin!nnzz
6、zLL6. 为可去奇点， 为三级极点. 7. 8、z1i2te二 选择题1.C 2.A 3.B 4.A 5.B三计算题1. 2i2. 1|2(1)zedie四解答题1. ，故 为调和函数。0,4, yxyx vv),(yxv， )(cuxy)(41,)1( yxvyx ccyc( cxu,由于 ，得 ，if2)(1 )2()14() xyiyzf(类型题) 解： 是复平面上的解析函数，则zfQ在平面上满足 CR 方程，即：2),(),( ybxvaxyuyu故 对 成立，x2y,ixzfba)()(,1, 2izyziyviuzfx)( 2. 在复平面内有两个孤立奇点)(zf 在 与 内解析2|0iz|iz当 时，|iz iziif 211)( 110011()()()22nnnziiziii 当 , =|iz iziziizf 21)(21)(=（11 分）nniziz)(1)(02 20)(nnii3. 课本 P1944. 课本 P213，P2145. 001()()2i五综合题解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 )0()(3)0()0()( 223 ySYySySY Y1 )3()(2)(3(23 S1453S2)1(21S即 )1(2)SSY故 tetyL
