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1、1关于数学分析中极限求解的若干方法摘要： 在数学分析中,极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念,其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等.研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分、级数等等.因此,极限是数学分析中非常重要的一个概念.本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路关键词：函数；极限；方法Some Solutions of Getting Limit in Mathematical Analysis Abstract: Limit contains profo
2、und dialectical mathematical concepts, it contains constan- t and variable, limited and infinite, precise and approximate .In the mathematical analysis, it h- as a variety of forms of limits.This paper mainly discusses some ideas and methods in solving the limits of mathematical analysis , analysis
3、the solving process of a general limit,gives the g-eneral solution and skill of limit, and also reveals the thoughts of geting the limit,which is co-mbined with concrete examples. Key words: Function; Limit; Solution21引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.它把初等数学扩
4、展为一个新的阶段变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科.从不同的数学角度去体验和理解极限这一数学概念,对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结.2 数学分析中极限求解的方法2.1 利用定义求极限定义 1 设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义, 为定数.若对)(xf0 );(0xUA任给的 ,存在正数 ,使得当 时有00x，Af)(则称函数 当 趋于 时以 为极限,记作 )(xf0x或 .fx)(lim0 )()0xxf例 1 用极限的定义证明 .20210证 由于 , ,因此x10
5、.2020202 1xx 20201xx于是,对任给的 ,取)(不 妨 设,20x则当 时,有0x.102x注 用极限的定义时,只需要证明存在 ,故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过)(或N程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有 的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接n对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的 (或 )一N3致,最后结合在一起考虑.2.2 利用极限的运算法则求极限定理 1 已知 , 都存在,极限值分别为 , ,则)(lim0xf)(li0gAB(1) ；BAgfx)(li0(2) ；0(3) （此时需 成立).Bxgf)(li
6、m0 0例 2 求 .201lixx解 原式 )21(4li20xx)1)(lim220x)(1(li 20 xx.41注 1 对于和、差、积、商形式的函数求极限,可以采用极限运算法则,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注 2 运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在(对商,还要分母极限不为零)时才能适用.2.3 利用单调有界准则求极限定理 2 在实数系中,有界的单调数列必有极限. 1例 3 证明数列 （n重根式)的极限存在.nx33分析 显然 ,故数列 单调增加.下面证 有界
7、.由于数列由递推关系1xnx给出,解题时通常先估计出它的上下界 ,再用数学归纳法证明.下界显然是nnx1,取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界,可先假设极限存在,且设14,再由 ,易得 ,对其两边求极限得 ,解得Axnlimnnx31 321nx 32A,显然所有大于 的实数都是 的上界,为便于计算,取 的上界231 n nx为3,然后用数学归纳法加以证明.证明 (1) 显然 ,故数列 单调增加；nx1nx(2) 显然0 ,假设 ,则 ，3130301nnx再对式子 两边求极限得2nx, ,32A2从而. 21limnx注 利用单调准则证明极限存在,主要针对递推数列,必须验证数列两个方
8、面的性质：单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性,一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项2.4 利用夹逼准则求极限定理 3 设 ,且在 某一空心邻域 内有1 Axhfx)(lim)(li00 0x);(0xU，)(gf则 .Axg)(lim0例 4 求 .xx1sinli20解 当 时,有,从而 2221sinsinxx,xxsi102由夹逼准则得5,01sinlim20xx所以.01sinli20xx注 1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小,而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注 2 利用夹逼准则求函数
9、极限的关键 ：3（1）构造函数 , ,使 ；)(xfh)(xfg)(xh（2） ,由此可得 .Axxlimli00 Axlim02.5 利用两个重要极限求极限两个重要极限:（1) ； (2) .1sinl0x exx1li根据复合函数的极限运算法则,可将以上两个公式进行推广:(1) ( )；1)(sinlm0xfx (,sin,)li0 xfuyxf(2) .egxx)(li0 )(,1,)(lim0 ggx例 5 .30sntalix求解 xxx cos1iltlim2030x sinsil20xxxxcos1lim2in1lisnlim0200 .2162.6 利用无穷小的性质和等价无穷小
10、代换求极限 定理 4 设函数 在 内有定义,且有1 )(,)(xhgf );0U.f(x(1) 若 ,则 ；Axhfx)(lim0 Ax)lim0(2) 若 ,则 .Bfx)(li0 Bghx)(li0性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.1定理 5 设 , 均为无穷小,且 , 且 存在,则lim.lilim例 6 计算 .30sintalxx解 由于 ,而)cos1(t x, , ，)0six)0(2)0(sin3x故有.21coslimsintal 3030 xxxx注 1 对于分子或分母中的两个无穷小之差
11、不能直接用无穷小代换.注 2 常用等价代换公式:当 时，, , , , , 等.xsinxarcsintaxrctane1axln2.7 利用连续性求极限定理 6 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续,即如果 是连续函数1 0的定义区间内的一点,则)(xf.)(lim00xfx7例 7 求 .xxcos)1ln(im20解 由于0在初等函数 的定义域之内,由 的连续性,有xfcos)1ln()2)(xf.x)l(i200(f2.8 利用罗必达法则求极限 42.8.1 型不定式极限 0定理 7 若函数 和 满足：1)(xfg(1) ；0lim)(li00 fxx(2) 在点 的某空心邻域 内两
12、者都可导,且 ；);(xU0)(xg(3) ( 可为实数,也可为 ),Axgfx)li0 则.)(lim0xgfAxf)(li02.8.2 型不定式极限 定理 8 若函数 和 满足：1f(1) ；)(lim)(li00xgfx(2) 在点 的某空心邻域 内两者都可导,且 ；);0U0)(xg(3) ( 可为实数,也可为 ),Axgfx)li0则 .)(lim0xgfAxf)(li0注 罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的,在同一运算过程中可连续使用,直到求出所求极限.但是，对于其他不定式的极限（如 等类型）如果无法,018判断其极限状态,则罗必达法则失败,但只需经过简单变换,它
13、们一般可以化为 型和 型的极限.0例 8 计算 .30)(arcsinlimxx解 这是一个 型的不定式极限,直接应用罗必达法则得:原式 202030 13lim31liarcsnli xxxxxx )(1lim220x.6例 9 .xxlni0求解 这是一个 型的不定式极限,用恒等变形 将它转化为 x1ln型不定式极限;并应用罗必达法则得到.xxlnim00)(lim1lii 0200 xx2.9 利用导数的定义求极限 5定义 2 设函数 在点 的某个邻域内有定义,若极限 1)(xf00)(lim0xfx存在,则称函数 在点 处可导,并称该极限为函数 在点 处的导数,记作 .)(xf0 )(
14、f0x)(0xf例 10 设 存在,求 . hffh()(li00解 ffh)()(lim00= hxffx)(000 = hfffh lim)(li 0= )00xff9= .)(20xf例 11 求 .,0)()(aff可 导 ，在设nnaf)(1lim解 这是 型极限,先转化成 ，1 naffneaf1)(l)(l)(1其指数是 型极限,由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知0，)()ln1)(l)(lnim时当 axfaff 因此由复合函数求导得原式= .时 ）当 axeeafxfnaffn ()(ln1)(l)(lim注 对于一般抽象函数求极限时,如果已知它的导数是存在的,则经常利用导数的定义求极限.2.10 利用微分中值定理求极限 62.10.1 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理）定理 9 (拉格朗日中值定理)若函数 满足如下条件：1 )(xf(1) 在闭区间 上连续；xfba,(2) 在开区间 上可导；)()(则在 上至少存在一点 ,使得,ba.abff)()(例 12 求 ,其中 .bxlim0解 由题意,可对 和 分别应用拉格朗日中值定理,则原式= bxbxbli10= )l
