《各有千秋，难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《各有千秋，难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数 丁有刚 “等差数列前，z项和”是数列中最重要 的内容之一本文从不同角度给出“等差数 列前 项和”的五种公式，供大家在解决“等 差数列前，z项和”问题时选择，以巧妙、灵 活、迅速地解决问题，体会数学解题的乐趣 公式：受高斯算法启发，利用倒序相 加法，可得S =(21 -an)?Z这里首尾相加， 我们称之为“首尾式” 公式：在公式中代人通项公式n 一 n +( 一1) ，可得S =t9(21+ d这 里用首项和公差，我们称之为“首差式” 公式：由2一，可得S 一a 一 d这里用末项和公差，我们称之为 “尾差式” 公式：将公式展开、整理，可得S 一 等 +fn 一 ) 当公差d不为0时，s
2、是 关于 的二次函数，我们称之为“函数式” 公式：当，z为奇数时，根据等差中项性 质 一 中，代入公式，可得s 一 下面举例说明如何恰当选择不同的公 式解题 1利用公式 例1 已知等差数列口 的前10项和 Sl。一310，前2O项和S2。一1 220，求前”项 和S 分析 要求S ，不知道n ，于是要求 公差d与“ ，然后利用公式写出S 的表 达式然而根据S 。一310，S 。一1 220，两相 对照，容易想到利用公式，可以很快求出 l+n1o与a1+20的值，得到口1o与a 2o的关 系，从而得到公差d，下面不难求出n 解S 。一竺 10310，S。一 20一i 220， 所以al+口lo一
3、62，口1+n2o一122，所以d 2262 一 而一。 于是2口1+9662，所以“ 一4， 所以n 一4+( 一1)66 一2， 所以S 一4+6 n一-2 一3 。+n 2利用公式 还是例1 分析 根据s 。一310，S 。一1 220，自 然想到利用公式列出关于公差d与n 的 方程组，求出公差d与n ，再代人公式，问 题就解决了 解s 。一10al+ d一 310，s 。一20X + 二 一1 220， 解得d一6，】一4，所以S 一”1+ ! d：=4 +3 (n-1)：3nz+” 3利用公式 例2(2008年安徽卷)在数列 中， n 一4n一 ，s 一日 +bn， N ，则ab f
4、 ) l 艇#聪 f f 稿 船鬻鞲 拣 ll 3 溅 苔 分析 知道了通项n ，也易得公差 ， 这就满足了公式的要求 解 由题意，知公差d一4，则S 一”“ 一堡 一”(4 一_耋_)一2 ( 一1)一2 2 一”，与S 一rail +bn对照，可得n一2，b一 一 1，所以6=一1 4利用公式 还是例2 分析 给出了“S 一鲫z+bn这一函 数形式，所以利用公式，方便形成对照 解 由题意，知“ 一要，公差d=4，则S 一导 +(“ 一导)”=2”2一 i”，与 n + bn对照，可得a=2，6一一，所以ab=一1 5利用公式 例3(2013年全国卷)已知等差数列 a 的前 项和S 满足S。
5、一0，S 一一5，求 (上接第17页) “ 的通项公式 分析 由S。-0，S 一-5，利用公式 容易求出n ，“。，进而可以求出公差d和“ ， 写出通项公式 解 因为S33a 20，Sj一5a3一一5， 所以n20，n 3一一1，所以d一1，n11，所 以“ 一“1+(r一1)d一1+1一 一2一n 1(20J3年全国卷)设等差数列n 的 前 项和为S ，若S一 一一2，S 一0，S一 一3，则 一 ( ) A3 B4 C5 D6 2在等差数列“ 中，口。+口5+2a1。一 4，求前13项和S 1C 提示：利用公式 213 提示：利用公式 例5 (2O11年江苏卷)设集合A一 (z， )I等(
6、 一2) + 2，z， R， B一( ， )I 2mz+ 2m+1， ，YR， 若AnB ，则 的取值范围是 分析 先由A n B ，可知A ， 所以 ，得到 或 0 再由AnB，可知圆心(2，0)到两条 平行线的距离至少有一个要小于或等于外 圆的半径I I，得 或2一 2+ 所以M 1，2+ * 3：； 罄彗 l “ t 托 v 妻琏 钳薅l 量矗 ? 雒； 船 有很多同学在解这道题时，未能考虑到 A ，从而忽略了 这一条件，得到 l o o l 了错误的结果I ，2+ 1 (三)培养良好的应试心态 考试心态对考试结果有着一定的影响 因此在考试时(包括练习时)，要有积极的心 态：面对困难时，要有战胜困难的勇气和信心 而不立刻缴械投降；遇到难题无法解决时，又 要能坦然面对而不顿时信心全无考试给我 们留下的遗憾，并不是难题做不出来，而是该 做对的题没能做对!因此在应试时，要记住 “不贪则好”，要学会舍弃；在很多时候，有所放 弃才会有更多的收获，人生也是如此!
