二项式定理习题精选精讲

《二项式定理习题精选精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理习题精选精讲（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、习题精选精讲1 1基本内容一、二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 的展开式nba)(1.项数规律：展开式共有 n+1 个项2.二项式系数规律：3.指数规律：（1）各项的次数和均为 n；（2）二项和的第一项 a 的次数由 n 逐次降到 0， 第二项 b 的次数由 0逐次升到 n.特别地: 1、把 b 用- b 代替2、令 a=1， b=x3、令 a=1， b=1（公式为 n 个（a+b）乘积的结果，利用计数原理分析所得结果，掌握递推法）二、杨辉三角：表中的每一个数等于它肩上的两数的和 rnrnrnCC11)( 110 NCbaCbaCba nrnrnnn LLnnn

2、n CC、 210习题精选精讲2 21、每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大，然后变小，回到 1。 2、第 n 行的数字个数为 n 个。 3、第 n 行数字和为 。 24、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、斜行数字之和 1+2+3+.+ = 即cn12 ccnn211321.1+3+6+.+ = 即n3 32141+4+10+ =14. ccrnrrr 121.6、第 n 行的第 1 个数为 1，第二个数为 1(n-1)，第三数为 1(n-1)（n-2）/2，第四个数为 1(n-1)（n-2 ）/2 （n-3 ） /3依此类推。三、二项式展开的通项（

3、第 r+1 项）四、二项式系数性质二项式系数的函数观点: 从函数角度看， 可看成是以 r 为自变量的函crn数 f(r) ,其定义域是： 图像：孤立的点定义域0,1,2, ,n rnCf)(1.对称性 mnnC在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值当 K 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小21的，且在中间取得最大值。当 n 是偶数时，中间的一项第 项， 取得最大时 12ncn2rnrrbaCT1,2,10L习题精选精讲3 3当 n 是奇数时，中间的两项第 项和第 项， 、12-n12ncn21相等，且同时取得最大值。cn21（当

4、为奇数时， 的展开式的中间项是 和 ；nba)(2121nnbaC2121nnba当 为偶数时， 的展开式的中间项是 。）n)( 2n3.各二项式系数和 nnnCL2102常见题型及解法一、求二项展开式1“ ”型的展开式nba)(例 1求 的展开式；4)13x解：原式= =(243(= )3()()() 4424314042 CCxxx = 581(23= 22x（直接展开也可以，但稍显麻烦）小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“ 先化简在展开 ”的思想在高考题目中会有体现的。2 “ ”型的展开式nba)(例 2求 的展开式；4)13x分析：解决此题，只需要

5、把 改写成 的形式然后按照4)13(x4)1(3x二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3二项式展开式的“逆用”例 3计算 ；cCnnn3)1(.279313解：原式= nnnn )2(31().)()( 310 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。习题精选精讲4 4例 1计 算 并 求 值 12()4nnCL532()01()xx解 :(2)原 式 045325C)51x例 计 算 并 求 值例 计 算 并 求 值解 原 式例 3若 ,(,nnNab()Znb,则 的 值 ( )A 一 定 为 奇 数C一 定 为 偶 数 B 与 n

6、的 奇 偶 性 相 反D与 的 奇 偶 性 相 同解 :2a012C()n3()nL024所 以 为 奇 数 故 选 (A)nb思 考 能 用 特 殊 值 法 吗 ?偶 偶奇A例 若则 的 值一 定 为 奇 数一 定 为 偶 数 与 的 奇 偶 性 相 反与 的 奇 偶 性 相 同例 若则 的 值例 若则 的 值一 定 为 奇 数一 定 为 偶 数 与 的 奇 偶 性 相 反与 的 奇 偶 性 相 同解所 以 为 奇 数 故 选所 以 为 奇 数 故 选思 考 能 用 特 殊 值 法 吗偶 偶奇 偶 偶奇习题精选精讲5 5二、通项公式的应用1确定二项式中的有关元素例 4已知 的展开式中 的系数

7、为 ，常数 的值为 9)2(xa3x49a解： 232991 )1( rrrrrr xaCCT令 ，即328依题意，得，解得49)1(8489a1a2确定二项展开式的常数项、有理项（常数项即 项. 有理项即整数次幂0x项）1、求常数项例 5 展开式中的常数项是 103)(x解： rrrrrr xCxCT6510310 )( 令 ，即 。656所以常数项是 2)(102、 求有理项例 10求 的展开式中有理项共有 项；3)(x解： 3410103101 )()(rrrrrr xTCQ当 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。9,6 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数

8、式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3求单一二项式指定幂的系数例 6（03 全国） 展开式中 的系数是 ；92)1(x9x解： = =rrrrxTC)91 rr)1(289xrC3189)2(令 则 ，从而可以得到 的系数为：,383x， 填2)(91习题精选精讲6 6练习：试判断在 练习(1)：试判断在 的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312x(2)由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？103)2(x（ 共 17 项）7T三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例 7

9、 的展开式中， 的系数等于 5432 )1()()1()(1xxx 2x解： 的系数是四个二项展开式中 4 个含 的，则有2 20)3541303524130 CCC例 8（02 全国） 的展开式中， 项的系数是 ；72)(（解：在展开式中， 的来源有：x 第一个因式中取出 ，则第二个因式必出 ，其系数为 ；2 x67)2( 第一个因式中取出 1，则第二个因式中必出 ，其系数为3 4的系数应为： 填 。3x,108)()(4767练习、:求 例6:求 的展开式中 项的系数.5数四、利用二项式定理的性质解题1 求中间项例 9求（ 的展开式的中间项；103)x解： 展开式的中间项为,)(310rr

10、rrTCQ53510)(xC即： 。652x习题精选精讲7 72 求系数最大或最小项注意区别二项式系数与项的系数的概念：二项式系数为 ；crn项的系数为：二项式系数与数字系数的积（1） 特殊的系数最大或最小问题例 11（00 上海）在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数1)(x是 ；解： rrrxTC)1(1Q要使项的系数最小，则 必为奇数，且使 为最大，由此得 ，Cr1 5r从而可知最小项的系数为 462)(51（2） 一般的系数最大或最小问题例 12求 展开式中系数最大的项；84)2(x解：记第 项系数为 ，设第 项系数最大，则有rrTk又 ，那么有1kT182.rkkC.2.882即

11、)!8(2)!9.(1210.!)!( KK2解得 ，43k系数最大的项为第 3 项 和第 4 项 。257xT27xT（3） 系数绝对值最大的项例 13在（ 的展开式中，系数绝对值最大项是 ；7)yx解：求系数绝对最大问题都可以将“ ”型转化为 型nba)()(nba来处理，故此答案为第 4 项 ，和第 5 项 。437yxC527yxmmnn同 时 有 最 大 值 ，与若练 习 、 19.习题精选精讲8 8（4 或 5）五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和几个结论：1、a=b=1 ,或2、a=1、b=-1，倒序相加求和法 rnnnCCL10, nnnnnn CS 0)2()1( 1

12、0 L14若 ，432104)32( xaxax则 的值为 ；24)()a解： Q43210(令 ，有 ，x10)3( aa令 ，有1 )()(231424故原式= ).030a= 44.()(=在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：n210 2nnnn CCC 1-n31n20 nn CC-21nnn4. 012n1nn求 证 ：C3.12112 1nnnn 证例 求分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解013): (nnn设解 )(2 1210 nnnnnnC 12nnS习题精选精讲9 9特殊值在解题过程中考虑的比较多。0,1例 15设 ，

13、0156.)12( axax则 ；20.a分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解： rrrxTC)1(61Q65432020. aaaa = )()5310=0练习 的展开式的各项系数和为_nx)12(解 ： 设展 开 式 各 项 系 数 和 为 1注 意 ： 求 展 开 式 中 各 项 系 数 和 常 用 赋 值 法 ：令 二 项 式 中 的 字 母 为 1 naaaL210 上 式 是 恒 等 式 ， 所 以 当 且 仅 当 x=1时 ，(2-1)n= naaaL210 上 式 是 恒 等 式 ， 所 以 当 且 仅 当 时

14、 ， =（ 2-1） n=1naL210 （ ） nnnn axxx )(222)1(（-2 -1094 1093）7 2 701127135702464).(xaxaxaxaaa LL已 知则习题精选精讲10 10六、利用二项式定理求近似值例 16求 的近似值，使误差小于 ；698.001.分析：因为 = ，故可以用二项式定理展开计算。6)02.1(解： = =6. 621 )02.(.).(5.( ，6.5)(2223 CTQ且第 3 项以后的绝对值都小于 ，0从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。= =698.06)0.1().(98.1.小结：由 ，当 的绝对值与 1 相比很小且nnnn xxxC21很大时， 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽n,.32略不计，因此可以用近似计算公式： ，在使用这个公式时，要n)(注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式： 。2)1(1)(xxn利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所