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1、高等代数课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨目录摘要 1关键字 1引言1第一部分1基础知识1一、定义11、矩阵的定义12、逆矩阵的定义1二、逆矩阵的性质1三、逆矩阵的判断条件2第二部分 逆矩阵的求解方法2方法 1 定义法2方法 2 伴随矩阵法2方法 3 初等变换法3方法 4 用分块矩阵求逆矩阵5方法 5 解方程组求逆矩阵5方法 6 用克莱姆法则求解6方法 7 用行列式8方法 8 恒等变形法求逆矩阵9方法 9 用 Hamilton-Caley 定理求逆矩阵10方法 10 三角矩阵求逆法11方法 11 拼接新矩阵12第三部分 可逆矩阵的应用12一、数学中的应用13二、生活中的应用14总结17参考文
2、献17关于可逆矩阵及其应用的举例探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时在生活应用上，也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的种方法，以及其应用的举例。关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 逆矩阵应用的举例 引 言 矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩阵 E 相当于数的乘法运算中的“1” ，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法，以及应用例子进行探讨。第一部分 知识预备1、定义1、矩阵的定义矩阵 设 个数 排成
3、行 列的数表mn),21;,21(njmiaj LmmnmnaaLMM21 22 1用括号将其括起来, 称为 矩阵, 并用大写字母表示, 即nm, 简记为 .mnmnaaAL212211nmijaA)(2、逆矩阵的定义 定义：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵 .当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为 A-1.二、逆矩阵的基本性质：性设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则 （1） （A -1） -1 = A；1（2）若 k 0，则 kA 可逆，且（kA ） -1 = A-
4、1；1k（3）AB 可逆，且（AB） -1 = B-1 A-1；（4）A T 可逆，且（A T） -1 = （A -1） T；（5）A k 可逆，且（A k） -1 = （A -1） k；（6）| A -1 | = | A |-1；（7）如果 A 是 mn 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则 r（A）= r（PA）= r（AQ）= r （PAQ ）.2、矩阵可逆的判断条件（1）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 | A | 0（也即 r（A）= n） ；（2）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为 n 阶单位矩阵；
5、（3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的 n 个特征值不为零；（5）对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 AB = E（或 BA = E） ，则 A 可逆，且A-1 = B.第二部分 矩阵逆的求解方法方法 1 定义法：设 A 是数域 P 上的一个 n 阶方阵，如果存在 P 上的 n 阶方阵 B，使得AB = BA = E，则称 A 是可逆的，又称 B 为 A 的逆矩阵.当矩阵 A 可逆时，逆矩阵由 A 惟一确定，记为 A-1.例 1：设 A 为 n 阶矩阵，且满足 ，求 A-1.2 -3+ 5E
6、=0【解】 2 -1- 3 A =E523(-) -= E5 Q可 逆 且方法 2 伴随矩阵法：A -1 = A*.1|A|2定理n阶矩阵A = a ij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且1212112nnnL其中A ij是|A|中元素 aij的代数余子式.矩阵 称为矩阵A的伴121212nnnAL随矩阵，记作A*，于是有A -1 = A*.1|A|注 对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意 A* = （A ij） nn 元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵，其伴随矩阵 ,即伴随矩阵具有“主对角元12a212*a素互换，次对角元素变号”的规
7、律.对于分块矩阵 不能按上述规律求伴随矩阵.ABCD例 2：已知 ，求 A-1.10=235【解】 | A | = 2 0A 可逆.由已知得 112132 233 -5,= 0, 7A- , , A-1 = A* = 1|A| 51502772方法 3 初等变换法： 1AEE A M初 等 行 变 换3注 对于阶数较高（n3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换 .也可以利用 求得 A 的逆矩阵.1EAE 初 等 列 变 换当矩阵 A 逆时，可利用 1 1EB ,CBA M初 等 行 变 换 初 等 列 变 换求得 A-1B 和
8、CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了 A-1B 或 CA-1.例 3：:用初等行变换求矩阵 的逆矩阵.23105【解】2310125012501AE0335 621212501030391631463021M113406A23故4方法 4 用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：1 1 11 11 111A 00BCOACOOBDB 例 4：已知 ，求 A-1.0521A【解】 将 A 分块如下： 1205120OAMLL其中 125,1A可求得 1* *1221,5| |3A 从而 112013205OAMLL方法5
9、解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.5例5 求 的逆矩阵.10234A解 设 ,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素2134124301XA,再求 ，最后求 .设E为4阶单位矩阵, 比较23,12,1X的两端对应元素,得到21341243002134X4142434334142342310X0;,X;1,500;,;1
10、X,X8gggg解 得解 得 解 得解 得 。于是,所求的逆矩阵为: 102163584A方法6 用克拉默法则求解：若线性方程组 的系数行列式1212212 nnnaxaxbL，则此方程组有唯一的一组解 .这里 是将|0ijnDa, , nDDxxLi6中的第i列 换成 得到的行列式.1,iniaL1,nb定理1 若 1 = (1 , 0 , 0 , , 0), 2 = (0 , 1 , 0 , , 0), , n = (0 , 0 , , 1) 是F n(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则F n中任一向量= (a 1 , a2 , , an )都可唯一地表示为:=a 1 1 + a2
11、 2 + + an n的形式,这里a iF(i = 1 , 2 , , n).定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (a ij),A的行向量分别为 1 , 2 , , n , 其中 i = ( i1 , i2 , , in),(i =1 , 2 , , n),由定理1 得: i=a ij j(i = 1 , 2 , , n) .解以 1 , 2 , , n 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| 0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: j=Dj/D= bj11 + bj22 + + bjn
12、n(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项1 ,2,n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法.例6 求可逆矩阵 的逆矩阵.1230A解 矩阵A的行向量为 ，由标准基 表示为：123,123,12233解以 为未知量的方程组得：12,112323123419935141993325A7该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:由：12323得：1231令1230A是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对
13、施行矩阵的行的初等A变换得: 123123490359A1421359A方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( A ij) 为满秩矩阵,则A可逆，且 111i1i+1n22212n1ni1ni+nn inaaAA KLg LLM ， ， ， ， ， ， 其 中 ， ， ，为 的初始单位向量组，即1nL， ， ， Ri00i12L， ， ， ， ， ， ， ， ，例7：设 ，求A 的逆矩阵.231.465708解 12 123312212331321233.4A570.+.7.610.46.4.78.69.708.69.1A.54.8+.471.002.8.7.0， ， ， ，16.54.158012 1n0.4.71.6186927.58200.56.5734A ggM方法8 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知 ，试求 并证明 ,其中 .6AE11A132解 由 得到 故 ,而A66661Egg1又为正交矩阵, 从而1A132A方法9 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵为A的特征多项式，则：
