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1、2012 年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1. （2012 年高考（天津理） ） 在 的二项展开式中, 的系数为 （）251()xxA10 B C40 D0402. （2012 年高考（新课标理） ）将 名教师, 名学生分成 个小组,分别安排到甲、乙两42地参加社会实践活动,每个小组由 名教师和 名学生组成,不同的安排方案共有 （1）A 种 B 种 C 种 D 种1203. （2012 年高考（浙江理） ）若从 1,2,2,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （）A60 种 B63 种 C65 种 D66 种4. （2012 年高考（重庆理）
2、 ） 的展开式中常数项为 （）812xA B C D10516358354355. （2012 年高考（四川理） ）方程 中的 ,且2aybxc,3,201ab互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （）abcA60 条 B62 条 C71 条 D80 条6. （2012 年高考（四川理） ） 的展开式中 的系数是 （）7(1)x2xA B C D42358217. （2012 年高考（陕西理） ）两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （）A10 种 B15 种 C20 种 D30 种8. （2012 年
3、高考（山东理） ）现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张.不同取法的种数为 （）A232 B252 C472 D4849. （2012 年高考（辽宁理） ）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （）A33! B3(3!) 3 C (3!)4 D9!10. （2012 年高考（湖北理） ）设 aZ,且 013a,若 2015a能被 13 整除,则 a（）A0 B1 C11 D1211. （2012 年高考（大纲理） ）将字母 排成三行两列 ,要求每行的字母
4、互不相,abc同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （）A12 种 B18 种 C 24 种 D36 种12. （2012 年高考（北京理） ）从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （）A24 B18 C12 D613. （2012 年高考（安徽理） ）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 份纪念品的同学人数为 （）4A 或 B 或 C 或 D 或131232414. （2012 年高考（安徽理） ） 的
5、展开式的常数项是 （）252()1xA B C D二、填空题15.若将函数 表示为 其中 , , ,5fx25012511fxaxaaxL0a12为实数,则 =_.5a3a16. （2012 年高考（重庆理） ）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答).17. （2012 年高考（上海理） ）在 的二项展开式中,常数项等于 _ .6)2(x18. （2012 年高考（上海春） ）若 则5234501 ,axaxa_.012345aa19. （2012 年高考（陕西理） ）
6、 展开式中 的系数为 10, 则实数 的值为()x2x_.20. （2012 年高考（湖南理） ）( - )6的二项展开式中的常数项为_.(用数字21x作答)21. （2012 年高考（广东理） ）(二项式定理) 的展开式中 的系数为621x3x_.(用数字作答)22. （2012 年高考（福建理） ） 的展开式中 的系数等于 8,则实数 _.4()a3a23. （2012 年高考（大纲理） ）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,1()nx则该展开式中 的系数为_.21x2012 年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题1. 【答案】D 【命题意图】本试题主要考
7、查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数. 【解析】 = , ,即 ,25-1+1=()rrrTCx5-10-352()rrCx=13r的系数为 . x402. 【解析】选 甲地由 名教师和 名学生: 种 A1243. 【答案】D 【解析】1,2,2,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和为偶数,则取法有:4 个都是偶数:1 种;2 个偶数,2 个奇数: 种;4 个都是奇数:2560C种.不同的取法共有 66 种. 45C4. 【答案】B 【解析】 ,令 ,故展开式中的841 81()()2rrrrrTxCx04r常数项为 . 45
8、8352C【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 5. 答案B 解析方程 变形得 ,若表示抛物线,则 2aybxc22bcyax0,ba所以,分 b=-3,-2,1,2,3 五种情况: (1)若 b=-3, ; (2)若 b=3, 2,10,332,c1或或或， 或或或 或或或 或或或a2,10,32,c1,或或或， 或或或 或或或 或或或a以上两种情况下有 9 条重复,故共有 16+7=23 条; 同理当 b=-2,或 2 时,共有 23 条; 当 b=1 时,共有 16 条. 综上,共有 23+23+16=62 种 点评此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽
9、视重复的 18 条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 6. 答案D 解析二项式 展开式的通项公式为 = ,令 k=2,则 7)1(x1kTkxC7 273xCT、 21Cx72的 系 数 为点评:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2 共计 3 类,当比分为 3:0 时,共有 2 种情形;当比分为 3:1 时,共有 种情形;当比分为 3:2 时,共有 种情形;总共有1248A=250CA=种,选 D. 03+8. 【解析】若没有红色卡,则
10、需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,若都不同色则有种,若 2 色相同,则有 ;若红色卡片有 1 张,则剩余61414C142132 张若不同色,有 种,如同色则有 ,所以共有9143C7243C,故选 C. 7969. 【答案】C 【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有 !种排法,三个家庭共有 33!(!)种排法;再把三个家庭进行全排列有 3种排法.因此不同的坐法种数为 4(),答案为 C 【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. 10.考点分析:本题考察二项展开式的系数. 解析:由于 51=52-1, 152.52)152( 0012
11、010 C, 又由于 13|52,所以只需 13|1+a,0a13,所以 a=12 选 D. 11.答案 A 【命题意图】本试题考查了排列组合的用用. 【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有 3 种,再填写右上角的数为 2 种,在填写第二行第一列的数有 2 种,一共有 . 2112. 【答案】B 【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析 3 种选择,之后二位,有 2 种选择,最后百位 2 种选择,共 12 种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有一种选择,共
12、6 种,因此总共 种,选 B. 1268【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解. 13. 【解析】选 D261352C设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为 人 42设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到 份纪念品的同学人数为 人 414. 【解析】选 第一个因式取 ,第二个因式取 得: 2x21x145()C第一个因式取 ,第二个因式取 得: 展开式的常数项是5()2 5(2)3二、填空题15. 【答案】10 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等. 即: . 54 33143010
13、aCa法二:对等式: 两边连续对 x 求导三次25501251fxxaxL得: ,再运用赋值法,令 得: ,即 . 234560()6()xaa 360a1016. 【答案】 5【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有34A种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔3123CA1 节艺术课的概率为 . 3213465CAp【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义. 17. 解析 展开式通项 ,令 6-2r=0,得 r=3,
14、 rrrrr xxT2661 )1(2)( 故常数项为 . 0236C18. 119.解析: 展开式中第 项为 ,令 , 的系数为 ,解5()axk55kkTCax-=2=x23510Ca=得 . =20. 【答案】-160 【解析】( - )6的展开式项公式是2x1.由题意知 ,所以二项展66311C(2)C2(1)rrrrrrTxx03r开式中的常数项为 . 3460T【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 21.解析:20. 的展开式通项为 ,令 ,解得621x6212316kk kTCxCx3,所以 的展开式中 的系数为 . 3k62x336022. 【答案】2 【解析】 时, r41,rTCa 348,=2Ca【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力. 23.答案 56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数. n【解析】根据已知条件可知 , 2628nC所以 的展开式的通项为 ,令 81()x81rrTx25r所以所求系数为 . 586
