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1、第九章 欧几里得空间,线性空间,长度,夹角等度量性质,在几何空间中:,向量的长度:,非零向量的夹角:,1. 定义与基本性质,定义 1 设 是实数域 上的线性空间，在 中定义了一个二元实函数,称为内积,记作 ,它具有以下性质:,1) ；,2) ；,3) ；,4) ，当且仅当 时, ,其中 是 中任意的向量, 是任意实数,这样的线性空间 称为欧几里得空间，简称为欧氏空间.,1）几何空间中向量的全体，按照向量的内积；,2）线性空间 ，定义,几个常见的欧氏空间：,其中,3） ：闭区间a,b所有实连续函数的全体。定义,定义 2 非负实数 称为向量 的长度,记为 .,在几何空间中:,向量的长度:,“长度”
2、概念的引入：,说明：,1）除了零向量的长度为零以外，向量的长度为正；,2）长度满足性质：,3）长度为1的向量称为单位向量，任意非零向量 对应,单位向量 ，称为 的单位化。,“夹角”概念的引入：,几何空间中:,非零向量的夹角:,在欧氏空间中能否类似定义？,柯西布涅柯夫斯基不等式：,当且仅当 线性相关时，等号才成立.,对任意的向量 ，,定义 3 非零向量 的夹角 规定为：,几个重要的不等式：,1）柯西不等式,2）施瓦兹不等式,3）三角不等式,定义 4 如果向量 的内积为零，即,那么 称为正交或互相垂直，记为,这与解析几何中正交的说法一致，且两个非零向量正交当且仅当它们的夹角为 。,显然，只有零向量
3、才与自己正交。,勾股定理：,如果向量 两两正交，则有,在有限维欧氏空间中讨论：,设 是 维欧氏空间， 是 上的一组基，,称矩阵 为基 的度量矩阵，其中,， 即,显然，度量矩阵是对称矩阵。,度量矩阵的性质：,1）度量矩阵完全确定了内积，即对于任意的向量 ，若,则有,其中,2）不同基下的度量矩阵合同。,3）度量矩阵是正定矩阵。,2.标准正交基,定义 5 欧氏空间 中一组非零的向量, 如果它们两两正交, 就称为一组正交向量组.,性质:正交向量组是线性无关的.,实例:几何空间,从而，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不会超过n个。,定义 6 在 n 维欧氏空间中, 由n 个,向量组成的正交向量组称为
4、正交基;由单位向量组成的正,交基称为标准正交基.,性质:,1) 一组基是标准正交基当且仅当其度量矩阵为单位矩阵;,2) 任意一个欧氏空间存在标准正交基.,用处:,表达向量的坐标和内积。,定理 1 在 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.,如何求标准正交基呢?,证明过程实际就是直接求欧氏空间上的正交基的方法.,正交基,标准正交基,已知欧氏空间上的一组基, 如何求正交基?,定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一,组基 ,都可以找到一组标准正交基,上面等式说明，这两组基之间的过渡矩阵是上三角矩阵。,施密特(Schimidt)正交化过程:,正交化:,单位化:,例 把,变成单位正交的向
5、量组.,标准正交基之间的基变换公式:,设 与 是欧氏空间V 中,的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是 ,即,定义 7 如果如果 级实矩阵 满足 ，则称 为正交矩阵.,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;,若两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基.,3. 同构,定义 8 实数域 上欧氏空间 与 ,如果存在由 到 的一个双射 ,且对任意的,满足,则称 与 同构,映射 称为 到 的同构映射.,性质:,同构的欧氏空间必有相同的维数.,每个 n 维的欧氏空间都与 同构.,反身性, 对称性, 传递性.,任意两个n维欧式空间都同构.,定理 3 两个有限
6、维欧式空间同构的充要条件是,它们的维数相同.,4.正交变换,解析几何中的正交变换，就是保持点之间的距离不变的变换.,则称 A 为正交变换.,定义 9 设 A 是欧氏空间 上的线性变换，如果它,保持向量的内积不变，即对于任意的 ，都有,定理 4 设 A 是n维欧氏空间 的一个,线性变换，于是下面四个命题是相互等价的:,1) A 是正交变换;,2) A 保持向量的长度不变,即对于,3) 如果 是标准正交基，那么,也是标准正交基;,4) A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,正交变换的性质:,正交变换可逆.,正交变换的乘积还是正交变换.(正交矩阵),正交变换的逆变换还是正交变换.(正交矩阵),
7、正交变换的分类:,行列式等于+1的正交变换称为旋转,或称为第一类的.,行列式等于-1的正交变换称为第二类的.,5. 子空间,定义 10 设 是欧氏空间 中的,两个子空间,如果对于任意的 ,恒有,则称 为正交的, 记为,一个向量 ,如果对于任意的 ,恒有,则称 与子空间 正交,记为,定理 5 如果子空间 两两正交，,那么和 是直和.,定义 11 如果 ,并且 ,则称子空间,的正交补.,定理 6 n维欧氏空间 的每一个子空间 都有唯一,为子空间 的一个正交补.记作 .,推论 恰由所有与 正交的向量组成。,6.实对称矩阵的标准形,任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即都,存在一个可逆矩阵 ,使 成
8、对角形.,本节主要结果:,对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵,T,使 成对角形.,要证明这个结果,需要如下准备:,引理 1 设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.,对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间 上定义一个线性变换 A 如下:,则有 A 在标准正交基,下的矩阵是A.,引理 2 设A是实对称矩阵, A 的定义如上,则对任意 ,有,或,定义 12 欧氏空间中满足等式,的线性变换称为对称变换.,引理 3 设A 是对称变换, 是 A 子空间,则 也是 A 子空间.,特征值的特征向量必正交.,引理 4 设A是实对称矩阵,则 中属于A 的不同,定理 7 对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级,正交矩阵T,使 成对角形.,给定一个实对称矩阵A,如何求定理7中的正交矩阵T ?,1.求出A的特征值,设 使A的全部不同的特征值.,2.对于每个 ,解齐次线性方程组,求出一个基础解系,这就是A的特征子空间,的一组基,由这组基出发,求出 的一组标准正交基.,3.因为 两两不同,所以向量组,标准正交基,以它们为列构成的矩阵为T.,两两正交,个数为n,即为 的一组,例: 已知,求一正交矩阵T,使 成对角形.,正交的线性替换,定理7可以用二次型的语言叙述为:,定理 8 任意一个实二次型,都可以经过一个正交的线性替换变成平方和,其中平方项的系数 就是矩阵A的特征多项式全部的根.,
