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1、2004-2005 第二学期数学模型课程设计2005 年 6 月 20 日6 月 24 日题目：超额录取留学生的策略 组员 1 组员 2 组员 3 组员 4姓名学号专业 成绩摘要：本论文主要讨论了如何应用数学的方法来分析解决现实生活中的一个平常的问题超额录取留学生问题。通过对问题的分析建立几个简单的数学优化模型，并对之求解，从而得出解决问题的最优方案。本论文用到的了几个极其常见的数学方法。由于本论文所讨论的问题非常近似于常见的“分派问题”，用到了机理分析方法，近似类比方法，建立模型并求得了相应的最优策略。首先，通过几个反应问题内在规律的基本方程组建的方程组，很容易解出相应的方案公式；后面，又涉
2、及到多个目标的实现，所以应用求解多目标规划的方法也得到了普遍适用的公式。此论文中的模型具有很强的可推广性，得出的公式适合单位、企业的有关招生、招聘以及指派问题的策略；另外，该模型还有良好的可改进性，由于模型的决策变量具有相对独立的特点。因此，可以考虑更加复杂的情况，即使加进决策变量，一般也不会对模型的可信度造成明显的影响。关键词：初等模型，有约束多目标规划，最优化模型一.背景以及问题的提出： 众所周知，现在选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来
3、，国外学校录取留学生的数量 A 由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“ offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量 B 往往要多于录取留学生的数 A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到 50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为：（1） 一个学校调到另一个学校的情形越来越少。（2） 学生出于各自的偏
4、好，不愿意更换学校。（3） 签证被拒的比例在上升。（4） 所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放 offer。问题：（1）如果奖学金经费 C 确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高）同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？二.问题的分析 本题的问题实际上是利用建立优化模型的数学方法解决实际问题：即在给定的限制因素下，一方面，在学校奖学金经费 C 确定的情况下，考虑引起出现无效”offer”的各种因素，使学校发出适量的“offer ”满足学校的生源平衡；另一方面，在学生资金有限的情况下，
5、为了减轻学生负担，又可使学生上一所理想的学校。而学校录取留学生的数量 A 由该校提供给留学生奖学金的经费数决定，这就要求提供最优申请学校的数量。三.问题的假设（1）一个学校只能向一个已交纳申请费的学生发一封”offer”。（2）对每个学校来说，学生个体间具有无差别性，（即每个递交申请的学生都是平等的个体，无好坏、优秀的区别）。（3）假设签证被拒签的比例随时间推移而上升。四.符号系统表示第 所学校最终决定发放的”offer” 封数;()iBi表示第 所学校总奖学金经费；iC表示向第 所学校提交申请的总人数；()iDi表示第 所学校向每个被录取的留学生发放的奖学金数量；im表示学生对第 所学校的“
6、offer ”的接受率（即收到学校的“offer”()ii后，愿意去该第 所学校的概率。）；表示从开始申请签证始的第 i 天的拒签概率；()i为 01 变量，当 取 0 时,表示该学生未向第 i 所学校交纳申请费，ix()ix当 取 1 时，表示该学生向第 i 所学校交纳了申请费， (i=1,2n)；()ix表示某个学生向第 所学校提交申请时，向其交纳的申请费用()igi(i=1,2n)。表示某个学生向多个学校提交申请时交纳的总费用；G表示某个学生在向多个学校递交申请的情况下,能最终获得录取的概率.Q上述大部分符号在模型建立以及模型求解的过程中看作已知量，其实是可以通过民政部门以及办理出国留学
7、的单位获取的，因此通过模型求解可以求学校发出“offer ”的最佳数量以及学生提交申请的最佳数量，即求得最优策略。五.模型建立和求解（1）由题意可知：当奖学金经费确定为 C 的学校向每个被录取的留学生发放奖学金的数额为 m 时，则理论上该学校最大也是最理想的录取人数为 ；Cm设学生接收到学校发来的 offer 后，由学校的知名度决定其愿意去该所学校的概率为 ，而且 0 1；接到 offer 以后在申请签证的过程中，拒签率为 （现 假设为一常量）；B 表示学校实际向学生发出的 offer 数量；D 表示已向该所学校交纳申请费的学生的总人数；再者所有学校都必须先交申请费，在决定是否发放 offer
8、。则由以上可以确定 B 的范围： B D；Cm由可知，知道 B 为学校最终发放 offer 的数量，而在整个学生录取的过程中，导致某些收到 offer 后又没向学校报到的因素有以下两个：1、学生收到了多封 offer 故没去报到（即学校的知名度产生影响）。2、由于签证因素导致收到了 offer 却没能去报到。考虑到这两个因素影响所以实际的录取人数应该表示为 B （1- ）。而最佳的 offer 发放方案就是要求：B （1- ） ，且在数值上尽量的靠近 ；CmCm考虑 B 和 间的关系：当 增大时，发出 offer 会录取的比例提高，那么B 取值应该趋向于 ；当 减少时，随着 offer 会录取
9、的比例的减少，B 的取值Cm应该趋向于 D，以保证满足学校生源。根据此可得： B= （1）式，()CDB= （2）式，(1)C因此由（2）式可得到 = ，代入（1）式得到：()CmB()(1)CBDm()(1)CBDm(m()()CBDm222B即： (1)(1)0CDm解得： 22()()4(1)mDB (又有： B DC经过调查，将取得的数据代入上面的 式可以解出 B 的值，再由条件： B()CmD 的限制，可以判别 B 值的合理性是否成立，符合则保留，否则，舍去。这样，就可以将第一问的问题解决。因为拒签率在逐天上升而不是个常量，故应该对 进行更详细的分析。令可交纳申请费的天数为 a,第一
10、天交纳申请费时的拒签率为 ，依次类推，第 a (1)天时拒签率为 。对 取平均值， ，将 代入（* ）式，得：ai 1ai2 2 (1)(1)4()CmDmDB即当奖学金经费 C 确定后，学校应该发放 offer 的数量。（2） 再来解决第二个问题：表示学生向第 i 个学校提交申请时，向其交纳的申请费用 (i=1,2n)。()ig则该学生向因为提交申请而需要交付的总费用可以表示为：()1niiGxg()()01iix或被第 所学校拒绝签证的概率为: i ()()1iiBqD所以被所有的学校都拒绝签证的概率为: ()1.,2.nii n那能够被录取的概率就应该为: ()1.(1,.)niiQqi
11、若要满足题目中的要求,则需要使得总费用达到最小 ， 0,1；而且mnG()ix能够被录取的概率达到最大 。这样我们就得到一个多目标规划：max()Min G-ij学生一般比较注重录取率，所以我们觉得费用和录取概率这两个目标大致三七开。则该问题的数学模型为：Min 0.3G-0.7Qs.t.1nix0,1 ()i然后，将经过调查得来的数据代入模型中，再利用 LINDO 工具对该模型进行求解便可以的出最优解以及最优值。用 LINDO 对模型直接求解，输入格式为：min 0.3G-0.7Qs.t.1nixendint ()i六.模型评价与改进本模型的问题在于，它是在学校的奖学金经费 C 确定，且直接
12、决定其录取留学生数量，又以学校的知名度决定其愿意去该所学校的概率为 和接到 offer以后在申请签证的过程中的拒签率 为决策变量的情况下作出的分析，而学校的知名度又是一个变化的而且很难精确确定的数字，而且个人的喜好更是难以确定的，随时可以因各种因素的影响而变化，所以说，模型的可信度（即接近实际情况的程度）是一个值得注意的问题，现实中的影响因素可能远远多于这些因素。不过，就问题中的条件以及要求而言，本模型实用性以及适用性非常广泛。它的绝大部分量都是经过调查得来的，强烈的依赖于现实中的数据，而且对于类似的问题也可以同样以数据代入而极其方便的获得相应的决策，比如说，类似的有：普通的学生升学与学校招生
13、问题，毕业生应聘与公司招聘问题。一些相应地的匹配问题都适用该种或类似的模型，因此该模型具有很高的可塑性和参考价值。当然，这里考虑的因素还是太少，太简单了。比如说，很有可能某个学校根本就没有提出申请或者很少人提出申请，那么它的拒绝签证的可能性就会为 0或者 1，而且变化可能特别的剧烈。至于模型的改进，可以经过深思熟虑，慢慢逐步的添加值得考虑的因素。比如说，考虑到：学校的签证率可能越来越低或高，学校调换的机会越来越少等因素。总之，模型考虑的因素越多就越接近于实际情况，但是它的指导意义以及可模拟性也越来越差。所以，模型可以适当的改进，但是不应该过多的考虑不太必 必要的因素。七.参考文献最优化方法 施光燕 董加礼 编 高教出版社数学模型（第三版）以及数学模型（第三版）习题参考答案姜启源 谢金星 叶 俊 编 高教出版社数学建模导论 陈理荣 主编 北京邮电大学出版社运筹学（第二版）刁在筠 郑汉鼎刘家壮 刘桂真 编 高教出版社数学建模技术 谢兆鸿 范正森 王艮远 编 中国水利水电出版社数学模型与数学建模刘来福 曾文艺 编 北京师范大学出版社
