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1、孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广1关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广孙季华（莆田学院数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文主要从胡付高1的一个定理出发，把定理的条件加以弱化，推导出更一般的关于多项式矩阵秩恒等式的结论，利用矩阵的秩和线性变换的秩关系简单的证明了线性变换在互素多项式下直和分解的结论，同时对5的一个猜想给出了证明 。关键词：互素 线性变换 直和 核 二次矩阵Abstract：This paper deduces a more general conclusion about rank identities of the polynomial matrix, which is b
2、ased on a theorem of hu fugao.and the condition of the theorem has been weakened.Acorrding to the relations between the rank ot the matrix and the rank of the linear transformation,the conclusions of the direct sum decomposition of the linear transformation under the relatively prime polynomials has
3、 been proved easily.Meantime the conjecture of the literature5 has been proved.Keywords: relatively prime linear transformation direct sum nucleus quadratic matrix0 符号说明及引言矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容，本文在参考文献1的一个定理出发对多项式矩阵的秩做进一步的讨论，结合矩阵的知识，分块的初等变换法得到一个更为精确的结论，本文更重要的是利用矩阵和线性变换的秩关系，从而更加简单的证明了线性变换在互素多项式下直分解的结论，
4、并加以推广得到相关的结果，本文进一步对文献5的一个尚未解决的猜想给以提出来并加以证明。用 P 表示数域 、 分别表示数域 P 上一元多项式和 n 阶矩阵的集合， 表xnP rA示矩阵 A 的秩，E 表示单位矩阵，约定 与 分,dxfgx,mfxg别表示首项系数为 1 的最大公因式和最小公倍式。 表示复数域 上所有 n 阶矩阵的集nMC合，表示线性变换， = ， 表示线性变换 的值域， 表示ker0idi的维数。一 预备定理我们首先引入本论文用到的基本定理引理 1.1（见10，第 16 页） 中的两个多项式互素的充分必要条件是存在 中Px Px孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广2的多项式
5、使 。,uxv1uxfvxg引理 1.2 （见10，第 48 页）设 ， 首项系数都为 1 则nAP,fxgPxfxgdxm引理 1.3 设 ， ， 则,fgxhx,1fx,fxh,1fxh证明 ：由引理 1.1 可知，存在多项式 使得12,uxvxvPx将上面两式相乘得1122,uxfvxguxfvh2 1 212, 1xfvxhfvxghx 再由引理 1.1 得 ,fxh引理 1.4 ，则 其中gPx,1fgx,mnfxg,mnZ证明： 由引理 1.3， ， ， 反复,1fx,fx2,1fx引用引理 1.3 可得 。在反复引用引理 1.3 可得ngmng因为 ，由引理 1.1 存在 ，使得
6、,mfx,uxvPx，即 再由引1nuxfv1 1mnuxff理 1.1 得 ,gx引理 1.5 知 ， 两两互素且12,.tffxP12,.tfxfx，令 ，tfxx 1.i iitgf，则,2it 12,.tgx证明：设 ，只需证明 即可，则txddx因为 两两互素根据引理 1.3 得,.iiigdg12,.tfxf= ，即 ，所以123,.tfxfxf,fg11,fxdgx孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广3且 同理,1ifxd,1ifxd1,fxg,1iifxg， ，又引里 1.3 得,if ,iifg,2.it，因为 ， ，所以12,.1tdxfxfiifxgfx， ，iig,
7、2.it,1,1,2.i iddgxit显然12,.1tdxx12,.ntxgx 故 所以12,.ntdxgxgxd 1x。12,.t引理 1.6 是 的一些子空间， ，1tV,12,.iWVt，则 是直和。dimdi,12.iWti证明： ，都有,t11m( )i iitV 11 2i()i()d(0i iit tVV 于是 。 零向量表示法唯一，若零向0,i iiti 量表示法不唯一则有 。于是10it (1,)jjt i这与1 1(i iiti iitVV 矛盾 所以零向量的表示法是唯一的，1()0,2,i iitVt 由直和的定义推出 2tW引理 1.7 设 是 n 维线性空间 V 的
8、线性变换，则 的一组基的原像及 的一组V10基合起来就是 V 的一组基，且有 1dimdi0n孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广4二主要结果定理 2.1 设 且 ，则1234,(),(),nfxfxPxA14,1fx12 142323,rfArArfmrdfA证明:设 （1.1）3, ,fdgdh,gxPx因为 ， （1.2）14,xf23,fx所以 （1.3）234， （1.4）134dxufxvxfx,uvxP（1.5）2AAfA由试（1.1）（1.5）对矩阵 做分块的初等变换123400ff 124 1340 0E Ef EvAuAfAh fgf = 1234124 10 0fvf
9、ff f = =124 13400EEfAdAEfAh fgAf 12 14344 0f ff ffh = 12 14 00EfdAEfgfAh = 1214 0fgf = 12400dAEfAfh = 1240dff孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广5则 1234124rfArfArfAfhArd又引理 1.2 知 = 所以12fh23,mf123414 23,rfrfrffrfA推论 设 ，若 ，令. 123,fxxPxnA23fA,则23fAgA1414rrfrfgr定理 2.2 设 ，则,fxhxP , ,rfAgrAhrgAmfhrgAdf证明： (1.6)11,fxdfxdx
10、1,fxx因为 ,h所以 (1.7)uxfvxx,uvxP所以 （1.8）AAd由（1.6）（1.8）对矩阵 做分块的初等变换00fgAh 1 10 00E Ef Ev uhA fAgE = 1 10 0fgAvhAfgfE = 1 10EEfdh fgh= 1100fAgAf = 11 Ef dEfgh 孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广6= 则100gAdfgAh 1rfrrfgAhrgAd由引理 1.2 知 所以1,f m ,rfAgrAhrfrfhA推论 设 ， 且 ，则12.,fxxPnA,1fxh rfgrfrfhgrA推论 设 ，而 分别是 与 的最大公因式和2.,fxx,
11、dmxfxg最小公倍式又设 ，则 nAPrfArrrd（1.9）证明 由 知，存在 ，使得,dxfgx1,fxgPx且 ，又有公式11,fxdfxg1，得 。故有推论 得mmxfdx2.由此既得（1.9）1111rfArArArfAg成立推论 2.2.3 设 ， ，且 ，则,fxgPxn,fxrfrr证明：由推论 既得推论 2.2.3 成立2.推论 2.2.4 设 ，且 两两互素。,1,.ifxPit12,.tfxfx，又设 .则。12,.tllZnA12 1. 1t itl lll irfxfxrfxtn证明: 因为 两两互素，所以2,.tff ,1ijfx孙季华 关于多项式矩阵秩的恒等式及
12、其推广7由引理 1.4 得 ， 即,1,2.ijt,1jillfxf,1,2.ijt也两两互素，下面用数学归纳法来证明12tlllfxffx时显然成立.t当 时由推论 2.2.3 显然成立.假设 时成立ts12 1. 1isllllsirfxfxrfxsn2.1当 时由于 两两互素所以有推论 2.2.3 得t112,.slllfff121 11. islllls sirfxfxrfxrfxn 2.得.12 11. isllllsirfffs可见当 时等式成立，所以上述定理成立。ts推论 2.2.5 设 ， ，若 两两nAP12,.tfxfxP12,.tfxfx互素， ， 则12,.tllZk121. 1tt iirffrftn证明：只要令 ，即可。12tll在文献3中的定理 1 线性变换在互素多项式下核的直和分解结论给出的证明很繁杂，运用上述定理的推论 2.2.5 可以简单的证明出来，下面给出新的证明。定理 ，且两两互素，3. 12,.tfxfxP2t； 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换，则12.tfxfxf，2）若 ，有2kerrker.kertf0ffV证明：先证 ，12errer.ertffff，事实上：因为1kkkt，设,.,.ijfxijt，由引理 1.5 知121.,12.i iitif
