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1、1常微分方程复习资料一、 填空题1一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线2方程 的基本解组是 0y3一个不可延展解的存在在区间一定是 区间4方程 的常数解是 21dx5方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 y6若 在 上连续，则方程 的任一非零解)(y),yx)(d与 轴相交x7在方程 中，如果 ， 在 上连续，那么它的任一非零解在0(yqppq),平面上 与 轴相切xo8向量函数组 在其定义区间 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列),),21xnYY I式 ， 0)(WIx9方程 所有常数解是 0d()d2yy10方程 的基本解组是 411方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域
2、是 1x12若 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点)(),(2xy二、单项选择题1方程 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ） x31d（A）上半平面 （B） xoy 平面 （C）下半平面 （D）除 y 轴外的全平面2 连续可微是保证方程 解存在且唯一的（ ）条件)(yf )(dyfx（A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分3二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个 2 维线性空间（B）构成一个 3 维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性4方程 过点(0, 0)有（ ） 3dyx(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C)
3、 只有两个解(D) 只有三个解5 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间n（A） 维 （B） 维 （C） 维 （D） 维1n1n2n6. 方程 （ ）奇解2dyx（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个7若 ， 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解)(1y)(2表示为（ ） （A） （B） （C） （D）2x)(21x)()(121xx)(21xC28 连续是方程 初值解唯一的（ ）条件),(yxf ),(dyxf（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）充分9方程 的奇解是（ ） d（A） （B） （C） （D）xy1y1y0y10.
4、 方程 过点 共有（ ）个解2),(（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三11 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个n（A） （B） -1 （C） +1 （D） +2nnn12一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解13如果 ， 都在 平面上连续，那么方程 的任一解的存在区间（ ） ),(yxff),(xoy),(dyxf（A）必为 （B）必为 （C）必为 （D）将因解而定),0(0三、计算题求下列方程的通解或通积分：1. 2. yxlnd
5、xyxy2)(1d3. 45 0d25 6. 3)(2y 21xy7. 8. xed )()(33 y9 100y 02y11. 12. xyxtan 1dx13. 14 d)e(2y )ln(15 16求方程 的通解0 25xy17求下列方程组的通解18求方程 的通解xtytdsin1 xe2119求下列方程组的通解 yxt43d2五、证明题31设 在 上连续，且 ，求证：方程 的一切解 ，均有)(xf),00)(limxfx )(dxfy)(xylimyx2在方程 中， 在 上连续，求证：若 恒不为零，则该)(yqp)(,qp),)(p方程的任一基本解组的朗斯基行列式 是 上的严格单调函数
6、W3设 在整个 平面上连续可微，且 求证：方程),(yfxo0,yxf ,dyxf的非常数解 ，当 时，有 ，那么 必为 或 (0)( 4设 和 是方程 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式1)2qy，其中 为常数CxW)(5在方程 中，已知 ， 在 上连续，且 求证：对任意(dyf )(fx),(0)1(和 ，满足初值条件 的解 的存在区间必为 0y0yx ,(6在方程 中，已知 ， 在 上连续求证：该方程的任一非零)(qxp)(pq)解在 平面上不能与 x 轴相切xo参考答案一、填空题12 2 3开 4 5 平面 6不能 7不能 8必要 9xe, 1yxoy10 11 ， （或不含 x
7、轴的上半平面） 12没1,yx2cos,in0),(2RD有 二、单项选择题1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B 11.A 12.C 13.D三、计算题1解 当 ， 时，分离变量取不定积分，得0y1Cxdln通积分为xye2解 令 ，则 ，代入原方程，得uud21dx分离变量，取不定积分，得（ ） Culn20通积分为： xyarcsi3解方程两端同乘以 ，得5x4d4令 ，则 ，代入上式，得zy4 xzyd5xd1通解为41e4Cz原方程通解为4xy4解 因为 ，所以原方程是全微分方程 NM2取 ，原方程的通积分为)0,(,(0yxCyx02d即
8、3215解 原方程是克莱洛方程，通解为 3xy6解 当 时，分离变量得0d12等式两端积分得Cxyln)l(ln即通解为21C7解 齐次方程的通解为xy3e令非齐次方程的特解为)(代入原方程，确定出 Cxx5e1原方程的通解为+ xCy3e28解 由于 ，所以原方程是全微分方程 NM取 ，原方程的通积分为)0,(,(0yx10323dCyx即 449解 令 ，则原方程的参数形式为ty5tyxte由基本关系式td)1(d积分有Ctye2得原方程参数形式通解tytx)1(e210解 原方程为恰当导数方程，可改写为0)(即1Cy分离变量得xd积分得通积分 212y11解 令 ，则 ，代入原方程，得u
9、xxud， tandtan当 时，分离变量，再积分，得0tanCxultnsil即通积分为： y12解 齐次方程的通解为x令非齐次方程的特解为Cy)(代入原方程，确定出 Cxln原方程的通解为+ xl13解 积分因子为21)(原方程的通积分为1012d)(eCyxx 即 ）e,yx14解 令 ，则原方程的参数形式为p6pyxln1由基本关系式 ，有xdp)d1(2积分得 Cpyln得原方程参数形式通解为pyxln115解 原方程可化为0)(2x于是 1dCy积分得通积分为2312x（6 分）16解 对应齐次方程的特征方程为 ，05特征根为 ， ，0152齐次方程的通解为 xCy21e因为 是特
10、征根。所以，设非齐次方程的特解为)()1BAx代入原方程，比较系数确定出， ， 352原方程的通解为 xxCy1e252117解 先解出齐次方程的通解tCtcosinsi-c21令非齐次方程特解为ttyxi)(in-)(21满足),(21tC70sin1)(cosin21ttCt解得 ,i)(1tC积分，得 ，slt)(2通解为 tttCtyx cosinls-icoinsi-co2118解对应的齐次方程的特征方程为：02特征根为： ,1故齐次方程的通解为： xxye21因为 是单特征根所以，设非齐次方程的特解为xA)(1代入原方程，有 ， 可解出 xxee241A故原方程的通解为 xCy412119解方程组的特征方程为03EA即 22特征根为 ， 1对应的解为1tbayxe1其中 是 对应的特征向量的分量，满足1,a04321可解得 ,1b同样可算出 对应的特征向量分量为
