《数学专业毕业论文 关于收敛序列余项估计的一种精细化方法（常维）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学专业毕业论文 关于收敛序列余项估计的一种精细化方法（常维）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于收敛序列余项估计的一种精细化方法常 维(孝感学院数学系 021114201，湖北孝感 432100)摘要：对某些重要的收敛序列，本文借助几何直观方法估计了它们的收敛余项，比一些现行文献中的估计更为精细，而且方法简单直观。关键词：收敛序列；余项；Euler 常数；Stirling 公式One Fine Method Estimated Which about Convergence Sequence RemainderChang Wei(Department of Mathematics,Xiaogan University,021114201)Abstract: To certain im
2、portant convergent sequences, this article had estimated with the aid of the geometry direct-viewing method they restrain -odd item, compared to some present literature in estimate finer, moreover the method simple is direct-viewing.Key words: Convergent sequence;Reminder; Eulers constant; Stirling
3、Formula0 引言与说明Euler 常数 c( )同圆周率 、自然对数的底 一样，是数学0.572164 e中的一个著名常数，它有多种定义方式 1-4。而 Stirling 公式是数学中的常用公式，因为在理论和实际应用中（如概率统计等）常常需要估计当 充分大时，n的无穷大的阶数。由于两者的存在性及余项估计的一些方法有某种类似之处，!n因此许多文献常常一起讨论它们。通常的 Euler 常数 c 定义为（1）limnDc其中 是 Euler 数列，关于其收敛性的证明，通常是应用基本不等1lnnkD式， （2）ln(1)xx0证明 单调递减且有界，由单调有界定理得到 收敛。nDnD相对于 Eul
4、er 数列而言，Stirling 公式，12!nne(0,)或者（3）12lim!ne的证明却相当复杂。因此，国内外一些学者近二十年来一直致力于它的基本证明（参见文献1-4或11） 。对以上数列除考虑其收敛性外，更多研究者讨论它们的收敛余项问题：1986 年，Rippon 在文献1中用几何直观思想导致了凸函数的一个新结果。所谓 Rippon 的几何方法，就是利用凸函数图象的几何直观得到的一个整体的、精细的面积比较结果，其结论为：设 为下凸的、严格单调递减函数，或者为上凸的、严格单:1,)0,)f调递增函数。令11()()()2nnaffxd则（4）1()1)2knafnRippon 把该结果应
5、用于函数 ，一方面直接证明了 Stirling 公式，另一lfx方面还得到了 Euler 常数 c 的余项估计式（详细介绍可参阅译文11）: （5）11ln2()2kcn1993 年，Detemple 在文献2中用初等面积比较方法同样巧妙的得到了Euler 常数 c 余项的同一估计式（2） ，为了改进他的方法，下面将介绍Detemple 的初等面积比较方法（参见译文11）：注意到 ，因此令11ln()lnDn，fxx1x则 。应用基本不等式2()1)fx，231()()xx即得：对 成立x33()1(1)2fxx于是，有 3 3()1(1)()2kkkdxfddx即得 ，再结合 ，得221()
6、()k2()1nknDc21()knknf1221knndxx并且 ，即得2()nknDc21knd21(1)nx()2nDc（6）除此以外，国内外许多学者分别用不同的方法也给出同样的或更优的估计式，如 1983 年孙燮华在文献5中、1991 年 Young 在文献3中分别给出了另一初等方法，但这些方法都不及 Rippon 与 Detemple 的几何直观方法，以至于欧阳光中在他的“近年来国外微积分(数学分析)教材介绍(上)”一文中，对 Euler常数的余项估计及 Stirling 公式的证明评论道 ： “这样处理的好处是让学生自己去完成证明，增加学生的学习兴趣，至少对成绩好的学生可以达到这个
7、要求。缺点是每一步的由来并不明显，过于技巧化。但话又说回来，数学中蕴涵着许多精致有用的技巧。 ”本文将揭示这种“蕴涵” 。我们的基本思路是借鉴并改进文献7中几何直观方法，把它应用于 Euler常数的余项估计及 Stirling 公式的证明中。为此，先介绍文献 7中方法，在7中作者用几何直观方法证明了文献6中一个基本引理：引理 16, 7 设 ， ， ，则0p1k（7）1()()pp pkk证明 当 ， 时，对于 ，有 ，从而有 0p1x(1)pxk，因此 ，即得1()ppkxk11()kkkpppdd，引理 1 得证。1()()pp pk如图 1，以 为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间
8、，根据pyx定积分的几何意义，引理 1 的不等式中三部分分别代表了它们的面积。（图 1）1 定理及应用为了推广引理 1，我们注意到 （ ， ）是下凸函数，在1()pfx0x图 1 中过 作 的切线 ，并联结 的弦 ，则曲线 介于 与B()fxACAB()fAB之间，如图 2，考虑以它们为边的三个曲边梯形的面积，由于直线 与AC的方程分别是与 ，11()()ppygxxkk 11()()(ppyhxxkk则有 ，积分之，得到111kkkhdfdgd当 时，有 ；p 11()()22()pp ppkk当 时，有 。11()ln()()2k（图 2）于是，得到定理 1 设 ， ，则0p1k（1）当
9、时，有； 11(1)()22()pp ppkkkk（8）（2）当 时，有 。 1p11()ln()()22kk（9）很明显，定理 1 的结果比文献4-5中相应结论（前文的引理 1）更为精细，下面我们给出它的两个应用：应用 1Euler 常数的余项估计已知 Euler 数列 收敛于 ，即 ，以下估计 ：1lnnkDclimnDcnDc当 固定时，级数 的部分和数列m1()km1121()n mmnnS （ ）mnDc故有 1()nkncln1l1kkl()kn应用定理 1 之(2)： ，则211l()k=2211nknknDc12kndx当 时， ， ，于是1kx1kx221()()kx22kn
10、d2knd= 211()()2(1)nnx12()nDc（10）同样应用推论(2)，有11ln()knkDk112()knk()2kn1c（11）因此，有1122nDc（12） 应用 2 Stirling 公式的新证明为证明 Stirling 公式： 12lim!ne令 ， 则 ，取对数，得nea!21112()nnae1 2(1)llllnnn 再令 则 ，则2xn(0,1)nx （13）111lnlln(ln)22n nxxa为了估计（13） ，考虑辅助函数：， （14）1()lxfx(0,1)分别对 求导数，得()fx（15）2()1xf令 ，对 分别求一、二阶导数，得2()1xgxf(
11、)g，2()0)x236()01)xg则 为严格单调递增的下凸函数，且 ，示意图见图 3()ygx（图 3）于是，有的面积 ，即 ，0()xgtdAOB 2321(1)xx320()1)xxftd故有 ，因此 ，由（13） ，得到32()xf32ln()nn11lnl(l)nnaxx2()8(1)n1n即得 ，于是，我们得到1ln81an（16）nnea8118令 则 ， 严格单调递减，但 ，又因为 严格单18nnbaenb1nbana调递增，得到， 8711 ean 2由单调有界原理得知 与 均收敛，且 。nblimlinnba余下的问题就是如何确定收敛的值，应用瓦利斯公式可得其收敛于常数，
12、详情可参见文献12，这里从略，至此公式获证。21C致谢对指导教师胡付高副教授的悉心指导表示衷心的感谢！参考文献:1 Rippon P L. Convergence with picturesJ. Amer.Math.Monthly.1986,93:476478.2 Detemple D W.A quicker Convergence to Eulers constantJ. Amer.Math.Monthly. 1993,100:468470.3 Young R M. Eulers constantJ. Math.Gaxetle 1991,75:187190.4 包那. Euler 常数与 E
13、uler 公式J.数学的实践与认识，1988（4）：53625 孙燮华. Euler 公式的推广及其精细化J.数学通报，1982,11:2225.6 田寅生.一个不等式的指数推广及应用J.中学数学月刊.2003，9:20237 胡付高.一个不等式的简证及其几何直观J.中学数学 2004(2)：78 Detemple D W and Wang S H.Half integer approximations for the partial sums of the harmonic serirsJ.Math.Anal.Appl.,1991,160:237258.9 欧阳光中.近年来国外微积分(数学分析)教材介绍(上)J.数学通报，1992,1:3033.10 张志军. 殴拉常数和斯特林公式J.西北师范大学学报（自然科学版） ，1998.11 张志军. 数学分析的一些新思想与新方法M.兰州：兰州大学出版社，199812 张筑生. 数学分析新讲（第二册）M.北京：北京大学出版社，199013 徐利治,王兴华. 数学分析的方法及例题选讲M.北京：高等教育出版社，1996
