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1、【语文公社】！764723079抽屉原理桌 上 有 十 个 苹 果 ， 要 把 这 十 个 苹 果 放 到 九 个 抽 屉 里 ， 无 论 怎 样 放 ， 有 的 抽屉 可 以 放 一 个 ， 有 的 可 以 放 两 个 ， 有 的 可 以 放 五 个 ， 但 最 终 我 们 会 发 现 至 少我 们 可 以 找 到 一 个 抽 屉 里 面 至 少 放 两 个 苹 果 。 这 一 现 象 就 是 我 们 所 说 的 抽 屉原 理 。抽 屉 原 理 的 一 般 含 义 为 ： “如 果 每 个 抽 屉 代 表 一 个 集 合 ， 每 一 个 苹 果 就可 以 代 表 一 个 元 素 ， 假 如
2、有 n 1 或 多 于 n 1 个 元 素 放 到 n 个 集 合 中 去 ，其 中 必 定 至 少 有 一 个 集 合 里 至 少 有 两 个 元 素 。 ”抽 屉 原 理 有 时 也 被 称 为 鸽 巢 原 理 （ “如 果 有 五 个 鸽 子 笼 ， 养 鸽 人 养 了6 只 鸽 子 ， 那 么 当 鸽 子 飞 回 笼 中 后 ， 至 少 有 一 个 笼 子 中 装 有 2 只 鸽 子 ”）。 它 是 德 国 数 学 家 狄 利 克 雷 首 先 明 确 的 提 出 来 并 用 以 证 明 一 些 数 论 中 的 问 题， 因 此 ， 也 称 为 狄 利 克 雷 原 理 。 它 是 组 合
3、 数 学 中 一 个 重 要 的 原 理 。一 抽 屉 原 理 最 常 见 的 形 式原 理 1 把 多 于 n 个 的 物 体 放 到 n 个 抽 屉 里 ， 则 至 少 有 一 个 抽 屉 里 有2 个 或 2 个 以 上 的 物 体 。证 明 （ 反 证 法 ） ： 如 果 每 个 抽 屉 至 多 只 能 放 进 一 个 物 体 ， 那 么 物 体 的总 数 至 多 是 n， 而 不 是 题 设 的 n+k(k 1)， 这 不 可 能 2 把 多 于 mn(m 乘 以 n)个 的 物 体 放 到 n 个 抽 屉 里 ， 则 至 少 有 一 个抽 屉 里 有 m+1 个 或 多 于 m+1
4、 个 的 物 体 。证 明 （ 反 证 法 ） ： 若 每 个 抽 屉 至 多 放 进 m 个 物 体 ,那 么 n 个 抽 屉 至 多放 进 物 体 ,与 题 设 不 符 ， 故 不 可 能 1 2 都 是 第 一 抽 屉 原 理 的 表 述第 二 抽 屉 原 理 ：【语文公社】！764723079把 （ 1） 个 物 体 放 入 n 个 抽 屉 中 ， 其 中 必 有 一 个 抽 屉 中 至 多 有 （m1） 个 物 体 。证 明 （ 反 证 法 ） ： 若 每 个 抽 屉 都 有 不 少 于 m 个 物 体 ， 则 总 共 至 少 有 物 体 ， 与 题 设 矛 盾 ， 故 不 可 能二
5、 应 用 抽 屉 原 理 解 题抽 屉 原 理 的 内 容 简 明 朴 素 ， 易 于 接 受 ， 它 在 数 学 问 题 中 有 重 要 的 作 用 。许 多 有 关 存 在 性 的 证 明 都 可 用 它 来 解 决 。例 ： 400 人 中 至 少 有 两 个 人 的 生 日 相 同 . 解 ： 将 一 年 中 的 366 天 视 为 366 个 抽 屉 ， 400 个 人 看 作 400 个 物 体 ，由 抽 屉 原 理 1 可 以 得 知 ： 至 少 有 两 人 的 生 日 相 同 . 又 如 ： 我 们 从 街 上 随 便 找 来 13 人 ， 就 可 断 定 他 们 中 至 少
6、有 两 个 人 属 相相 同 . “从 任 意 5 双 手 套 中 任 取 6 只 ， 其 中 至 少 有 2 只 恰 为 一 双 手 套 。 ”“从 数 1， 2， .， 10 中 任 取 6 个 数 ， 其 中 至 少 有 2 个 数 为 奇 偶 性 不 同。 ” 例 2： 幼 儿 园 买 来 了 不 少 白 兔 、 熊 猫 、 长 颈 鹿 塑 料 玩 具 ， 每 个 小 朋 友 任意 选 择 两 件 ， 那 么 不 管 怎 样 挑 选 ， 在 任 意 七 个 小 朋 友 中 总 有 两 个 彼 此 选 的 玩具 都 相 同 ， 试 说 明 道 理 ： 从 三 种 玩 具 中 挑 选 两
7、件 ， 搭 配 方 式 只 能 是 下 面 六 种 ： （ 兔 、 兔 ）， （ 兔 、 熊 猫 ） ， （ 兔 、 长 颈 鹿 ） ， （ 熊 猫 、 熊 猫 ） ， （ 熊 猫 、 长 颈 鹿 ） ，（ 长 颈 鹿 、 长 颈 鹿 ） 。 把 每 种 搭 配 方 式 看 作 一 个 抽 屉 ， 把 7 个 小 朋 友 看 作物 体 ， 那 么 根 据 原 理 1， 至 少 有 两 个 物 体 要 放 进 同 一 个 抽 屉 里 ， 也 就 是 说 ，至 少 两 人 挑 选 玩 具 采 用 同 一 搭 配 方 式 ， 选 的 玩 具 相 同 数 例 论 证 的 似 乎 都 是 “存 在 ”、
8、 “总 有 ”、 “至 少 有 ”的 问 题 ，不 错 ， 这 正 是 抽 屉 原 则 的 主 要 作 用 .（ 需 要 说 明 的 是 ， 运 用 抽 屉 原 则 只 是 肯定 了 “存 在 ”、 “总 有 ”、 “至 少 有 ”， 却 不 能 确 切 地 指 出 哪 个 抽 屉 里 存 在多 少 .）抽 屉 原 理 虽 然 简 单 ， 但 应 用 却 很 广 泛 ， 它 可 以 解 答 很 多 有 趣 的 问 题 ， 其中 有 些 问 题 还 具 有 相 当 的 难 度 。 下 面 我 们 来 研 究 有 关 的 一 些 问 题 。（ 一 ） 整 除 问 题把 所 有 整 数 按 照 除
9、以 某 个 自 然 数 m 的 余 数 分 为 m 类 ， 叫 做 m 的 剩 余类 或 同 余 类 ， 用 0， 1， 2， ， 示 个 类 含 有 无 穷 多 个 数 ，例 如 1中 含 有 1， m+1， 2m 1， 3m 1， 究 与 整 除 有 关 的 问 题 时【语文公社】！764723079， 常 用 剩 余 类 作 为 抽 屉 抽 屉 原 理 ， 可 以 证 明 ： 任 意 n+1 个 自 然 数 中 ，总 有 两 个 自 然 数 的 差 是 n 的 倍 数 。例 1 证 明 ： 任 取 8 个 自 然 数 ， 必 有 两 个 数 的 差 是 7 的 倍 数 。分 析 与 解
10、答 在 与 整 除 有 关 的 问 题 中 有 这 样 的 性 质 ， 如 果 两 个 整 数 a、b， 它 们 除 以 自 然 数 m 的 余 数 相 同 ， 那 么 它 们 的 差 m 的 倍 数 这个 性 质 ， 本 题 只 需 证 明 这 8 个 自 然 数 中 有 2 个 自 然 数 ， 它 们 除 以 7 的 余 数相 同 可 以 把 所 有 自 然 数 按 被 7 除 所 得 的 7 种 不 同 的 余 数 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6 分 成 七 类 是 7 个 抽 屉 8 个 自 然 数 ， 根 据 抽 屉 原 理 ， 必有 两 个 数 在 同 一 个 抽 屉 中
11、， 也 就 是 它 们 除 以 7 的 余 数 相 同 ， 因 此 这 两 个 数的 差 一 定 是 7 的 倍 数 。例 2： 对 于 任 意 的 五 个 自 然 数 ， 证 明 其 中 必 有 3 个 数 的 和 能 被 3 整 除 任 何 数 除 以 3 所 得 余 数 只 能 是 0， 1， 2， 不 妨 分 别 构 造 为 3 个抽 屉 ：0， 1， 2 若 这 五 个 自 然 数 除 以 3 后 所 得 余 数 分 别 分 布 在 这 3 个 抽 屉 中 (即 抽 屉中 分 别 为 含 有 余 数 为 0,1,2 的 数 )， 我 们 从 这 三 个 抽 屉 中 各 取 1 个 (
12、如 15中 取 3,4,5)， 其 和 (3+4+5=12)必 能 被 3 整 除 . 若 这 5 个 余 数 分 布 在 其 中 的 两 个 抽 屉 中 ， 则 其 中 必 有 一 个 抽 屉 ， 包 含有 3 个 余 数 （ 抽 屉 原 理 ） ， 而 这 三 个 余 数 之 和 或 为 0， 或 为 3， 或 为 6， 故所 对 应 的 3 个 自 然 数 之 和 是 3 的 倍 数 . 若 这 5 个 余 数 分 布 在 其 中 的 一 个 抽 屉 中 ， 很 显 然 ， 必 有 3 个 自 然 数之 和 能 被 3 整 除 ： 对 于 任 意 的 11 个 整 数 ， 证 明 其 中
13、 一 定 有 6 个 数 ， 它 们 的 和 能被 6 整 除 ： 设 这 11 个 整 数 为 ： 6=23 先 考 虑 被 3 整 除 的 情 形由 例 2 知 ， 在 11 个 任 意 整 数 中 ， 必 存 在 ：3|a1+a2+不 妨 设 a1+a2+a3= 理 ， 剩 下 的 8 个 任 意 整 数 中 ， 由 例 2， 必 存 在 ： 3 | a4+a5+ a4+a5+a6= 理 ， 其 余 的 5 个 任 意 整 数 中 ， 有 ： 3|a7+a8+设 ： a7+a8+a9=再 考 虑 2 整 除 .【语文公社】！764723079依 据 抽 屉 原 理 ， 三 个 整 数 中
14、 ， 至 少 有 两 个 是 同 奇 或 同 偶， 这 两 个 同 奇 （ 或 同 偶 ） 的 整 数 之 和 必 为 偶 数 设 2|b1+ 6|b1+即 ： 6|a1+a2+a3+a4+a5+任 意 11 个 整 数 ， 其 中 必 有 6 个 数 的 和 是 6 的 倍 数 ： 任 意 给 定 7 个 不 同 的 自 然 数 ， 求 证 其 中 必 有 两 个 整 数 ， 其 和 或差 是 10 的 倍 数 ： 注 意 到 这 些 数 队 以 10 的 余 数 即 个 位 数 字 ， 以 0， 1， ， 9 为标 准 制 造 10 个 抽 屉 ， 标 以 0， 1， ， 9 两 数 落
15、入 同 一 抽 屉 ， 其 差是 10 的 倍 数 ， 只 是 仅 有 7 个 自 然 数 ， 似 不 便 运 用 抽 屉 原 则 ， 再 作 调 整 ： 6， 7， 8， 9四 个 抽 屉 分 别 与 4， 3， 2， 1合 并 ， 则 可 保 证 至 少 有一 个 抽 屉 里 有 两 个 数 ， 它 们 的 和 或 差 是 10 的 倍 数 .（ 二 ） 面 积 问 题例 ： 九 条 直 线 中 的 每 一 条 直 线 都 将 正 方 形 分 成 面 积 比 为 2:3 的 梯 形 ，证 明 ： 这 九 条 直 线 中 至 少 有 三 条 经 过 同 一 点 . 证 明 ： 如 图 ， 设 直 线 正 方 形 分 成 两 个 梯 形 ， 作 中 位 线 由 于这 两 个 梯
