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1、概率论与数理统计,概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科特点:研究对象的不确定性,第一章 随机事件的概率,样本空间一个随机试验的所有可能结果组成的集合,记为 。其中每一个元素,即每次试验结果称为一个样本点 。,第一章 随机事件的概率,随机试验E 的样本空间 的子集,称为E的随机事件,或事件,用大写字母A,B,C, 表示 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间有两个特殊子集: 必然事件 ,和不可能事件,随机事件,随机试验 E试验结果的多种可能性,事先知道结果的不能预测性,例如E1 抛硬币试验E2 连抛两个硬币E4 进入超市的人数E5 测试电视机寿命E6 观测天气,第一章 随机事件的概
2、率,第一章 随机事件的概率,事件间的关系和运算,运算规律,交换律结合律分配律对偶律,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,例1. 设A,B,C是随机事件,则事件“A 与 B 发生,C 不发生”“A,B,C 至少两个发生”“A,B,C 恰好两个发生”“A,B,C 不多于一个事件发生”例2. 用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A抛骰子试验,A = “出现偶数点”事件射击活动,当击中后便停止开枪。事件 A = “不超过3次的射击次数”某地温度上下限为T0 到T1,一昼夜可能出现的最高最低气温表示为(x, y);事件 A = “一昼夜内该地的温差为 10”,例题,第一章 随机事件的
3、概率,概率 一次试验中事件 A 发生的可能性,成为事件A的概率,记为 P(A)。,概率的计算(1)古典概型: 事件A包含的基本事件数/样本空间中的事件数 P(A)=nA / n (2)几何概型: 事件A的区域面积/样本空间的区域面积 P(A)=SA / S,第一章 随机事件的概率,概率的性质,P()=1, P()=0, 0P(A)12.(有限可加性)若A1,A2,A3两两互不相容 P(A1A2A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3)3. 若A B,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(B)P(A)4. P( ) = 1-P(A)5. (加法公式)对任两个事件 P(AB) = P(
4、A)+P(B)-P(AB),第一章 随机事件的概率,例1. P(A) = 0.3, P(AB) = 0.6; P(B) = ?例2. P(A) = P(B) = 0.5, 求证 P(AB) = P( )例3. 袋中 4 只白球,2 只黑球,无放回依次摸 2 只球,试求取到两只球:(1)都是白球的概率;(2)同色球的概率(3)至少一只白球的概率例4. n 个球随机放入 N(N n)个盒子中去,求每个盒子至多有一个球的概率,恰有 n 个盒子中各有一个球的概率例5 (Buffen投针问题)平行线距离为 a(a 0),投掷一枚长 (L 0,在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率称为条件概率,记为
5、P(B|A),P(B) P(B|A),由于样本空间不同,一般地 P(B) P(B|A),例如,掷骰子。在掷出偶数点的条件下,掷出2 点的概率,A = 掷出 2 点, B = 掷出偶数点,,P(A ) = 1/6 ,P(A|B) = ?,已知事件 B 发生,此时试验所有可能结果构成的集合就是 B,,P(A|B)= 1/3.,B 中共有 3 个元素,它们的出现是等可能的, 其中只有 1 个在集 A 中。于是,容易看到,P(A )=3/10,,又如,10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,7 件正品中有 3 件一等品,4 件二等品。现从这 10 件中任取一件,恰是正品,问:它是一等品的概率。记,B
6、 = 取到正品,A=取到一等品,,则,计算 P(A|B) 时,一等品的比例这个前提条件未变,只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这个条件,使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件 B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道 B 已发生, 故 B变成了新的样本空间 , 于是 有(1)。,设 A、B 是两个事件,且 P(B) 0, 则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件 B 发生的条件下,事件 A 的发生概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点,问“
7、掷出点数之和不小于 10 ”的概率是多少?,解法1,解法2,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在 B 发生后的缩减样本空间中计算,由条件概率的定义:,即 若P(B) 0, 则P(AB) = P(B) P(A|B) (2),而 P(AB) = P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调,有,故 P(A) 0 , 则 P(AB) = P(A) P(B|A) (3),若 P(A) 0, 则 P(BA) = P(A) P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率,例2
8、甲、乙两厂共同生产 1000 个零件,其中 300 件是乙厂生产的. 而在这 300 个零件中,有 189 个是标准件,现从这1000 个零件中任取一个,求这个零件是乙厂生产的标准件的概率?,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,设 B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B 发生,在 P(AB) 中作为结果;在 P(A|B) 中作为条件.,条件概率 P(A|B) 与 P(AB) 的区别,条件概率 P(A|B) 与 P(A) 的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设 A 是随机试
9、验的一个事件,则 P(A) 是在该试验条件下事件 A 发生的可能性大小.,P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.,例3 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为0.8,活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的这种动物,它能活到 25 岁以上的概率是多少?,解 设A = 能活20年以上,B = 能活25年以上,依题意, P(A) = 0.8, P(B) = 0.4,所求为 P(B|A) .
10、,多个事件的乘法公式,设 A,B,C为三个事件,且 P(AB) 0,则,乘法公式应用举例,一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,(波里亚罐子模型),于是 W1W2R3R4 表示事件“连续取四个球,第一、第二个是白球,第三、四个是红球. ”,随机取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球, j=1,2,3,4,用乘法公式
11、容易求出,当 c 0 时,由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,5 张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让 5 个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗?,到底谁说的对呢?让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后,你们一个一个
12、按次序来,谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然,P(A1)=1/5,P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为第 2 个人抽到入场券,第 1 个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券,必须第1个人未抽到,计算得:,由于,由乘法公式,P(A2) = (4/5)(1/4) = 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理,第 3 个人要抽到“入场券”,必须第 1、第 2 个人都没有抽到。 因此,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也
13、就是说,,P(A3) = (4/5)(3/4) (1/3) = 1/5,例4 设袋中有 5 个红球,3 个黑球,2 个白球,试按(1)有放回抽样;(2)不放回抽样两种方式摸球三次每次摸得一球,求第三次才摸得白球的概率。,解:设 A = 第一次未摸得白球 ; B = 第二次未摸得白球 ; C = 第三次未摸得白球 ;则,事件“第三次才摸得白球”可表为 ABC。,(1)有放回抽样,(2)不放回抽样,例6 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下打破的概率为 0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率是 0.7,若前两次均未打破,第三次落下打破的概率为 0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。,解:
14、设 Ai = 透镜第 i 次落下打破 ,i = 1, 2, 3, B = 透镜落下三次未打破 , 则,另解:,第一章 随机事件的概率,例2100 件产品中,有 5 件废品。不放回抽样检查,若抽查 5 件至少有一件废品,则拒购这批产品,求拒购概率。,例1. 10个球,3 黑 7 白,不放回连取两球:若第一次是黑球,第二次仍是黑球的概率;若第二次是黑球,第一次也是黑球的概率。,第一章 随机事件的概率,例题,第一车间的次品率为 0.15,第二车间的次品率为 0.12。两车间的产品分别有 2000 件和 3000 件,混放在仓库里,问:在仓库里随机取一件成品,其次品率是多少?若取到一件次品,由一车间生
15、产的概率是多少?,从仓库里随机取一件成品:设事件 A1,A2 分别为一、二车间生产的产品;事件 B 为该产品是次品。第一车间的产品占 P(A1) = 0.15,次品率 P(B|A1) = 0.4,第二车间的产品占 P(A2) = 0.12,次品率 P(B|A2) = 0.6 .第一问求 P(B),第二问求 P(A1|B).,第一章 随机事件的概率,全概率公式,设事件 A1,A2 互不相容,P(A1) 0,P(A2) 0,且 B A1A2, 则对事件 B 有: P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2),P(B) = P(BA1)+P(BA2) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2),