概率论与数理统计1

《概率论与数理统计1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计1（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、概率论与数理统计,概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科特点：研究对象的不确定性,第一章 随机事件的概率,样本空间一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为 。其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本点 。,第一章 随机事件的概率,随机试验E 的样本空间 的子集，称为E的随机事件，或事件，用大写字母A，B，C, 表示 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间有两个特殊子集： 必然事件 ，和不可能事件,随机事件,随机试验 E试验结果的多种可能性，事先知道结果的不能预测性,例如E1 抛硬币试验E2 连抛两个硬币E4 进入超市的人数E5 测试电视机寿命E6 观测天气,第一章 随机事件的概

2、率,第一章 随机事件的概率,事件间的关系和运算,运算规律,交换律结合律分配律对偶律,第一章 随机事件的概率,第一章 随机事件的概率,例1. 设A，B，C是随机事件，则事件“A 与 B 发生，C 不发生”“A，B，C 至少两个发生”“A，B，C 恰好两个发生”“A，B，C 不多于一个事件发生”例2. 用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A抛骰子试验，A = “出现偶数点”事件射击活动，当击中后便停止开枪。事件 A = “不超过3次的射击次数”某地温度上下限为T0 到T1，一昼夜可能出现的最高最低气温表示为(x, y)；事件 A = “一昼夜内该地的温差为 10”,例题,第一章 随机事件的

3、概率,概率 一次试验中事件 A 发生的可能性，成为事件A的概率，记为 P(A)。,概率的计算（1）古典概型: 事件A包含的基本事件数/样本空间中的事件数 P(A)=nA / n （2）几何概型: 事件A的区域面积/样本空间的区域面积 P(A)=SA / S,第一章 随机事件的概率,概率的性质,P()=1, P()=0, 0P(A)12.（有限可加性）若A1,A2,A3两两互不相容 P(A1A2A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3)3. 若A B,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(B)P(A)4. P( ) = 1-P(A)5. （加法公式）对任两个事件 P(AB) = P(

4、A)+P(B)-P(AB),第一章 随机事件的概率,例1. P(A) = 0.3, P(AB) = 0.6; P(B) = ?例2. P(A) = P(B) = 0.5, 求证 P(AB) = P( )例3. 袋中 4 只白球，2 只黑球，无放回依次摸 2 只球，试求取到两只球：（1）都是白球的概率；（2）同色球的概率（3）至少一只白球的概率例4. n 个球随机放入 N（N n）个盒子中去，求每个盒子至多有一个球的概率，恰有 n 个盒子中各有一个球的概率例5 （Buffen投针问题）平行线距离为 a(a 0)，投掷一枚长 (L 0，在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率称为条件概率，记为

5、P(B|A),P(B) P(B|A)，由于样本空间不同,一般地 P(B) P(B|A),例如，掷骰子。在掷出偶数点的条件下，掷出2 点的概率,A = 掷出 2 点， B = 掷出偶数点，,P(A ) = 1/6 ，P(A|B) = ？,已知事件 B 发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B，,P(A|B)= 1/3.,B 中共有 3 个元素,它们的出现是等可能的, 其中只有 1 个在集 A 中。于是,容易看到,P(A )=3/10，,又如，10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，7 件正品中有 3 件一等品，4 件二等品。现从这 10 件中任取一件，恰是正品，问：它是一等品的概率。记,B

6、 = 取到正品,A=取到一等品，,则,计算 P(A|B) 时，一等品的比例这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这个条件，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件 B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道 B 已发生, 故 B变成了新的样本空间 , 于是 有(1)。,设 A、B 是两个事件，且 P(B) 0, 则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件 B 发生的条件下,事件 A 的发生概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 6 点,问“

7、掷出点数之和不小于 10 ”的概率是多少?,解法1,解法2,解： 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在 B 发生后的缩减样本空间中计算,由条件概率的定义：,即 若P(B) 0, 则P(AB) = P(B) P(A|B) (2),而 P(AB) = P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A) 0 , 则 P(AB) = P(A) P(B|A) (3),若 P(A) 0, 则 P(BA) = P(A) P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率,例2

8、甲、乙两厂共同生产 1000 个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这 300 个零件中，有 189 个是标准件，现从这1000 个零件中任取一个，求这个零件是乙厂生产的标准件的概率？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,设 B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B 发生,在 P(AB) 中作为结果;在 P(A|B) 中作为条件.,条件概率 P(A|B) 与 P(AB) 的区别,条件概率 P(A|B) 与 P(A) 的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设 A 是随机试

9、验的一个事件，则 P(A) 是在该试验条件下事件 A 发生的可能性大小.,P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.,例3 设某种动物由出生算起活到 20 年以上的概率为0.8，活到 25 年以上的概率为 0.4. 问现年 20 岁的这种动物，它能活到 25 岁以上的概率是多少？,解 设A = 能活20年以上，B = 能活25年以上,依题意， P(A) = 0.8, P(B) = 0.4,所求为 P(B|A) .

10、,多个事件的乘法公式,设 A，B，C为三个事件，且 P(AB) 0，则,乘法公式应用举例,一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是 W1W2R3R4 表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式

11、容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,5 张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让 5 个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个

12、按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为第 2 个人抽到入场券，第 1 个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，计算得：,由于,由乘法公式,P(A2) = (4/5)(1/4) = 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第 3 个人要抽到“入场券”，必须第 1、第 2 个人都没有抽到。 因此,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也

13、就是说，,P(A3) = (4/5)(3/4) (1/3) = 1/5,例4 设袋中有 5 个红球，3 个黑球，2 个白球，试按（1）有放回抽样；（2）不放回抽样两种方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。,解：设 A = 第一次未摸得白球 ； B = 第二次未摸得白球 ； C = 第三次未摸得白球 ；则，事件“第三次才摸得白球”可表为 ABC。,（1）有放回抽样,（2）不放回抽样,例6 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为 0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是 0.7，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为 0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。,解：

14、设 Ai = 透镜第 i 次落下打破 ，i = 1, 2, 3, B = 透镜落下三次未打破 ， 则,另解：,第一章 随机事件的概率,例2100 件产品中，有 5 件废品。不放回抽样检查，若抽查 5 件至少有一件废品，则拒购这批产品，求拒购概率。,例1. 10个球，3 黑 7 白，不放回连取两球：若第一次是黑球，第二次仍是黑球的概率；若第二次是黑球，第一次也是黑球的概率。,第一章 随机事件的概率,例题,第一车间的次品率为 0.15，第二车间的次品率为 0.12。两车间的产品分别有 2000 件和 3000 件，混放在仓库里，问：在仓库里随机取一件成品，其次品率是多少？若取到一件次品，由一车间生

15、产的概率是多少？,从仓库里随机取一件成品：设事件 A1，A2 分别为一、二车间生产的产品；事件 B 为该产品是次品。第一车间的产品占 P(A1) = 0.15，次品率 P(B|A1) = 0.4，第二车间的产品占 P(A2) = 0.12，次品率 P(B|A2) = 0.6 .第一问求 P(B)，第二问求 P(A1|B).,第一章 随机事件的概率,全概率公式,设事件 A1,A2 互不相容，P(A1) 0，P(A2) 0，且 B A1A2， 则对事件 B 有: P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2),P(B) = P(BA1)+P(BA2) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2),