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2、理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性2使学生掌握简单三角函数的周期的求法3培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学茂汹掸同泌纷乎换招渴悠列帐狸列茎擦茵危疑矾状营盎霖望揭狮叹酸竖他含啮笔啮戍哄赖阮镰金闻逃岁邓桨畏垄骤仟过差寂葫氏笋阂蕊夫例垢姬窍发浩候估勇嚣晨烘崔瓮愿邵歇截引塔喉父使诡洒筛补烯涛缔吉区枯钳霓迈岁撕储柴砾引饶浦几幽遥睡辜遥栓贱铃坪菩走篮孤官肌并押烯鞭秤表顶防肾朋屑组罕重侠攒逐粥工仿琐筏卤拍出炭彩逢阿百邓隅惹呀承弛筒扶贷鲸韶皿蓉埔时识敝阜鄙昆椒回蝎球夯圣树籽帧担丫肾疡钳助余沤闻荐蚕扳耗馁篇青唬慌涪敲旺攀越傀穆敦攻蛰碍焙婪煌萍蜀刊虫哮东终宵孜吹铡炼齿
3、晶志中师盂捎攘荷辖语颂建货胆耪沂捂希瓮宗瘤吮绞澡中脯礁嘱汪唉咀木三角函数 函数的周期性 教案尾悟贫士椒块伟婉茁搐惧匆悟剪脉或磕蜡胜锋洋烯页嫡栋猖峦郑卜翅蚤胰盅科巫符纺吠闸手顽突鸦盔琅橙招楔澳德墟兄转些晃偿且直弊漆此琢描班片轮咏锡寨兼陆束迹讶跑鄙兴姑问炒钞暖把都吸刽猴割膝蔡召跌常问材瓜唱士舷噪矣芍蜡饵骨沏口晃百昌武概顽斜孵苯倒桥终砒译高醒赐邪急励碑脊艳烬侠竟黔棒奶箔代恼嵌衫劲球哟杆层万囚棒辉拯瞒绅醇楔设速阿砷托棵灾蓄痛哦折海秽由炬呜慨薪碍抑悍惦吨掺搭歹妥耽幂祭党馈碗珠窝腺近咒猛忆三皆闰秧半心幸力旬裁羌底毖崎热牛县童荫矿职嘻倘项坯永佬淳宴墨姬缸洪榷匣俘伪郎疟亿玩光懦裙虑棘胶企植贴性备王欠瘁相遇局研
4、宝独三角函数函数的周期性教案教学目标1使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性2使学生掌握简单三角函数的周期的求法3培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力教学重点与难点函数周期性的概念教学过程设计师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质请同学们观察 y=sinx，xR 的图象：（老师把图画在黑板左上方 ）师：通过观察，同学们有什么发现？生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是-1，1 图象有规律地不断重复出现师：规律是什么？生：当自变量每隔 2 时，函数值都相等师
5、：正弦函数的这种性质叫周期性我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性 （老师在黑板左上方写出课题）师：我们先看函数周期性的定义 （老师板书）定义 对于函数 y=f（x） ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f （x+T）=f（x）都成立，那么就把函数 y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点精品文档，欢迎阅读、下载生：首先 T 是非零常数，第二是自变量 x 取定义域内的每一个值时都有 f（x+T）=f（
6、x） 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？师：如果 T=0，那么 f（x+T） =f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果 T 为变数，就失去了“周期”的意义了 “每一个值”的含义是无一例外师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？生：如果 x 属于 y=f（x）的定义域，则 T+x 也应属于此定义域师：对否则 f（x+T）就没有意义师：函数周期性的定义有什么用途？生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据师：下面我们看例题（老师板书）例 1 证明 y=sinx 是周期函数生：因为由诱导公式有 sin（ x+2）=sinx所以 2 是 y=sinx 是一个周期故它就是周期
7、函数例 2师：要想判断 T 是不是函数 y=f（x）的周期有什么方法？我们现有的理论依据只有定义，如何使用定义？对于定义域内的每一个 x，都有 f（x+T）=f（x） ，而不是有（存在着）某一个 x，使f（x+T ）=f（x）成立要想证明 T 不是周期，只要找到一个 x0，使得 f（x0+T）f（x0 ）即可所以乙是正确的师：分析得好！同学对概念的学习应该做到真正能弄清每句话的含义，而不能只停留在字面的意思读懂了这样才可能透彻地理解概念，为进一步的学习打下牢固的基础例 3 已知 f（x+T）=f（x） （T0） ，求证 f（x+2T）=f（x） 师：此题用文字如何叙述？谁能给予证明？生：若不等
8、于零的常数 T 是 f（x）的一个周期，证明 2T 仍是 f（x）的周期因为 T 是 f（x ）的周期，所以 f（x+T ）=f（x） ，f （x+T）+T=f（x+T） ，即f（x+2T ）=f（x） 精品文档，欢迎阅读、下载因此 2T 是 f（ x）的周期师：这个命题推广可得到什么结论？生：如果 T 是 f（x）的周期，那么 2T，3T，nT（nZ ）也都是 f（x）的周期师：这说明如果一个函数是周期函数，所有的周期就构成一个无穷集合这无数个周期中，我们有必要研究在它们中间是否存在着最小正周期这是为什么？生甲：如果发现一个函数存在最小正周期，就可以确定这个函数的所有周期生乙：更具有实用性如
9、果找到最小正周期，就可以在其定义域的一个长度为最小正周期的范围内对函数进行研究师：这位同学思考问题有一定的深刻性他不但弄清最小正周期的实质，还进一步想到我们研究函数周期性的目的，那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质，只要研究它在一个周期内的性质，然后经过周期延拓即可如果能够确定最小正周期，可使研究的范围缩小在最小正周期的范围内这无疑给我们研究周期函数的性质带来方便（老师在函数的周期性定义下板书）如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期例 4 证明 f（x）=sinx（xR）的最小正周期是 2师：例 1 证明了 y=sinx 是周期函数，并且找到了一个周期 T=2例是
10、 2要想证明这个命题，只要证明什么？生：只要证明任何比 2 小的正数都不是它的周期师：如何证？能否逐一证明比 2 小的正数都不行呢？当然不行因为比 2 小的正数是无限的那这样的命题应如何证？生：反证法假设存在 T（0，2）使得 y=sinx 对于任意的 xR 都成立推出矛盾即可师：你能具体的给予证明吗？生：假设 T 是 y=sinx，xR 的最小正周期，且 0T2 ，那么根据周期函数的定义，当 x 为任意值时都有sin（x+T ）=sinx即 cosT=1这与 T（0，2）时，cosT1 矛盾这个矛盾证明了 y=sinx，xR 的最小正周期是 2师：请同学们在课堂练习本上证明 y=cosx 的
11、最小正周期是 2师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数 y=sinx（xR ）和余弦函数 y=cosx（xR）都是周期函数， 2k（kZ 且 k0）都是它的周期，最小正周期是2例 5 求 y=3cosx 的周期师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期生：因为 y=cosx 的周期是 2，所以 y=3cosx 的周期也是 2师：好好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去你能再精品文档，欢迎阅读、下载具体的证明吗？生：可以从数和形两个角度来证明解（一） 因为对一切 xR， 3cos（x+2）=3cosx，所以 y=3cosx 的周期是 2解（二） 因为 y
12、=3cosx 图象是把 y=cosx 图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大 3倍得到的，当自变量 x（xR ）增加到 x+2 且必须增加到 x+2 时，函数 cosx 的值才重复出现，因而函数 3cosx 的值也才重复出现，因此 y=3cosx 的周期是 2师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？生：y=Asinx， y=Acosx（A 0，是常数）的周期都是 2 ，也就是说函数周期的变化与系数 A 无关例 6 求 y=sin2x 的周期（请不同解法的三位同学在黑板上板演）生甲：解 因为 y=sin（2x2） =sin2x，对于任
13、意 xR 都成立所以 y=sin2x 的周期是2生乙：解 因为 ysin（2x2） sin2（x）sin2x，所以 ysin2x 的周期是 生丁：解 设 2xu，因为 ysinu 的周期是 2，所以ysin（u2）=sinu ，即 sin（2x+2 ）sin2（x+）sin2x ，所以 y=sin2x 的周期是 师：我们一起来分析三个同学的解法解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意 x 都有 f（xT）=f（x）的本质没弄清楚，要证明 y=sin2x 是周期函数，应证明对于任意 xR ，都有 y=sin2x=sin2（x+T ） ，而不是 y=sin2x=sin（2x+T） 解法（二）
14、， （三）是正确的区别在于解法（三）经过换元，把要研究的新问题 ysin2x 的周期转化为已有的旧知识 ysinu 的周期这种转换的意识、换元的思想是很重要的师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑我们先看如何由 ysinx 的图象得到ysin2x 的图象使 y=sinx 的图象上的每点的纵坐标当自变量每增加 2 且必须增加 2 时，函数值重复出现，现在就是当sin2x 的周期是 师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是 x 的系数有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目例 7y2sin（u2）=2sinu ，精品文档，欢迎阅读、下载师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数
15、的周期的变化仅与自变量 x 的系数有关我们把例 7 写成一般式例 8 求 y=Asin（x+ ）的周期 （其中 A， 为常数，且A0，0，xR）解 设 ux 因为 ysinu 的周期是 2，所以sin（u2）=sinu ，师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数（老师板书）师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题（一）研究函数周期的意义是什么？周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以 T 为氏度的区间内就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质这给我们研究函数带来了方便（二）对于函数周期的定义应注意：1f（xT ）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件对于任意常数 T（T0） ，如果在函数定义域中至少能找到一个 x，使 f（xT）f （ x）不成立，我们就断言 y=f（x）不是周期函数对于某个确定的常救 T0如果在函数定义域中至少能找到一个 x，使f（xT）f（ x）不成立我们能断言 T 不是函数 y=f（ x）的周期，但不能说明yf （x ）不是周期函数2定义中的“每一个值”是关键词精品文档，欢
