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1、初一数学寒假专题初一数学中常见的思想方法【本讲 教育信息】一、教学内容：寒假专题初一数学中常见的思想方法一1. 数形结合思想. 2. 整体思想. 二、知识要点：1. 数形结合思想数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想. 常见的数形结合的途径有三种：以形助数 、以数助形和数形互助. 数轴是数与形结合的桥梁，数与形结合的工具，具有多方面的功能. （1）利用数轴能形象地表示有理数，使抽象的数变得具体. 例如有理数的分类，在数轴上，原点右边的是正数，原点左边的是负数，原点是表示 0的点，它是正、负数的分界点. （2）利用数轴能直观地解释相反
2、数，能从运动变化的观点说明互为相反数的点，具有关于原点对称的特征. （3）利用数轴理解 a b的意义，绝对值的定义是从几何角度给出的，即 a是表示数 a的点到原点的距离，而原点所对应的数为 0，故 a也写成 a0的形式，它反映了数轴上两点间的距离. 这样自然会想到数轴上任意两点的距离如何表示呢？如图所示，数 a、 b分别对应点 A、B，从数轴的定义，我们知道线段 OB、OA 的数值分别等于 b、 a，即 OB b，OA a. 从BAOAOB a b，知 B点到 A点的距离为 a b. （4）利用数轴上的点的有序性，可以把复杂的数量关系表示得简明、形象、便于观察解答. 例如，在比较有理数大小的时
3、候，可以把有理数在数轴上表示出来，依据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较. 2. 整体思想在研究问题时不是以某个或某些组成部分为着眼点，而是有意识地放大考虑问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构 或作整体处理后，达到顺利而又简洁地解决问题的目的. 【典型例题】例 1. （1）数轴上的点 A表示数 2，将点 A向左平移 5个单位长度得点 B，则点 B表示的数是_. （2）（湖南怀化）2008 年 8月第 29届奥运会 将在北京开幕，5 个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间 2008年 8月 8日 20时应是（ ）A. 伦敦时间 2
4、008年 8月 8日 11时B. 巴黎时间 2008年 8月 8日 13时C. 纽约时间 2008年 8月 8日 5时D. 汉城时间 2008年 8月 8日 19时分析：（1 ）表示数 2的点 A向左平移 2个单位到原点，再向左平移 3个单位到数3，所以将点 A向左平移 5个单位长度得到的点 B所表示的数是3. （2）如图所示，纽约、伦敦、巴黎、北京、汉城五城市的时差可以通过它们对应的数字计算出来，北京时间 2008年 8月 8日 20时，伦敦时间是 2008年 8月 8日 12时；巴黎时间是 2008年 8月 8日 13时；纽约时间是 2008年 8月 8日 7时；汉城时间是 2008年 8
5、月 8日 21时. 解：（1）3（2）B评析：数轴是数形结合思想解题的桥梁. 例 2. 已知 a b ， a0， b0，把 a、 b、 a、 b按由小到大的顺序排列. 分析：从 a b，及 a0， b0 知正数 a在原点右侧，负数 b在原点左侧，且表示数 a的点到原点的距离小于表示数 b的点到原点的距离，如图所示. 另一方面， a与 a， b与 b互为相反数，由于 a a， b b，故数轴上表示这四个数从左到右的顺序是b， a， a， b. 解： b a a b. 例 3. 如图所示，阴影部分的面积是正方形面积的（ ）A. B. C. D. 分析：阴影部分的面积不能求出，考虑把阴影部分通过切割
6、、折叠等方法拼成一个可求面积的图形. 把正方形沿图中对角线对折，阴影部分面积等于三角形面积，等于正方形面积的一半. 解：D评析：求图形面积时，常用割补、折叠等方法把不规则的图形拼成一个可求面积的规则图形. 例 4. 图 1是 三 个 直 立 于 水 平 面 上 的 形 状 完 全 相 同 的 几 何 体 （ 下 底 面 为 圆 面 ，单 位 ： cm） . 将 它 们 拼 成 如 图 2的 新 几 何 体 ， 则 该 新 几 何 体 的 体 积 为_cm3. （ 计 算 结 果 保 留 ）分析：图 2几何体体积是图 1几何体体积的 3倍，但图 1中的几何体不规则，体积不可求. 如果把两个图 1
7、中的几何体拼在一起便得到一个圆柱体，其体积是 2 2（46）40（ cm3）. 那么图 2几何体体积是这个几何体体积的倍，所以图 2几何体 体积是 4060（ cm3）. 解：6 0评析：本题通过拼接，把一个不规则的图形拼成一个圆柱体. 其中体现的思想方法就是把部分图形转化成整体图形. 例 5. 若代数式 2y23 y7 的值为 2，则代数式6 y4 y29 的值为（ ）A. 1 B. 19 C. 9 D. 9分析：因为 2y23 y72，所以6 y4 y292（2 y23 y7）23222319. 解：B评析：将所给条件不对字母进行分离求值，而是视其为一个整体，直接将其整个代入要求值的式子，
8、然后计算求值. 例 6. 当 x0， y0，且 x y时，化简2 x3 y3 x3 y. 分析：把 2x3 y、3 x3 y各看作一个“整体”，先确定出这个“整体”的符号，然后再去掉其绝对值符号. 解：由 x0， y0，且 x y可知 2x0，3 y0， x y0. 故 2x3 y0，3 x3 y0，因此，原式（2 x3 y）（3 x3 y）2 x3 y3 x3 y5 x. 评析：“整体法”是合并同类项时常用的一种方法，同学们要通过细心观察才能够灵活运用此法. 【方法总结】本节主要讲解了数形结合思想和整体思想，这两种方法是数学解题中的重要方法，应用十分广泛，在使用过程中注意这两种方法的特点.
9、【模拟试题】（答题时间：40 分钟）*1. 有理数 a、 b、 c在数轴上对应的点分别是 A、B、C，其位置如图所示，试化简下式： c c b a c b a. 2. 如图所示， a、 b、 c表示数轴上的三个有理数，那么a b， b c， c a， c（ b）分别是正数还是负数？*3. 求图中阴影部分的面积. 4. 如图所示，正方形的边长为 a，你能求出图中阴影部分的面积吗？5. 已知 2x2 xy a，3 y22 xy b. 求：4 x28 xy9 y2（结果可用 a、 b表示）. 6. 如图所示，有一块长方形土地，长 40米，宽 30米，在这块土地上修两条宽为 b米的路，求剩下土地的面积
10、. *7. 观察下列式子：（1） a b（ a b）；（2）23 x（3 x2）；（3）5 x305（ x6）；（4） x6（ x6）. 以上四个式子中括号的变化情况，它和去括号法则有什么不同？根据你探索的规律解答下题：已知 a2 b25，1 b2，求1 a2 b b2的值. 初一数学寒假专题初一数学中常见的思想方法试题答案1. 由数轴知： a c b， c0， b0， a0， c b0， a c0， b a0. c c b a c b a c（ c b）（ a c）（ b a） c c b a c b a c. 2. 因为 c b0， a0，所以 a b0， b c0， c a0， c（ b
11、） c b0. 3. 2（） 2 a24. a2 a2阴影部分的面积正方形面积1 个圆的面积. 5. 4x28 xy9 y24 x22 xy9 y26 xy2（2 x2 xy）3（ 3y22 xy）. 因为 2x2 xy a，3 y22 xy b，所以 4x28 xy9 y22 a3 b. 6. 120030 b40 b b2或（30 b）（40 b）. 如图所示，把水平的路向下平移到最下边，把竖直方向的路向左平移到最右边，变化前后空白部分的面积相等. 变化后空白部分两边长分别变为 30 b和 40 b. 7. 规律：把代数式中的某几项添到前面带“”的括号内时，添到括号内的项都不变号；添到前面带“”号的括号内时，添到括号内的项都变号. 1 a2 b b2（ a2 b2）（1 b）5（2）7.
