《探索“2012年全国高考新课标卷数理科第16题”的心路历程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《探索“2012年全国高考新课标卷数理科第16题”的心路历程（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 探索“ 2012 年全国高考新课标卷数理科第 16题”的心路历程阿德军（兰坪县一中 云南 怒江 671400 ）2012 年全国高考新课标卷数学理科第 16 题， 表面看上去不难， 其实， 真正做起来就觉得难了， 不少考生都反映不会做这个题，为此，笔者以这道题进行探究。题目： 若数列 na 满足 1na + 1 n na = 2n -1 ， 则 na 的前 60项之和。1 探究过程按常规思路先求出该数列的通项 na ，然后再求该数列的前 60 项和 60S . 刚开始笔者用这处思路，可就是没有头绪求该数列的通项， 于是， 笔者只好退回来先例举出若干个式子， 然后通过观察这些式子， 最后归纳
2、猜想， 构造出一个新的等差出数列，用这个新的等差数列求出该数列的前 60 项和 60S . 1.1 例举后观察，并归纳猜想。例举： 1a - 2a =1， 3a + 2a =3， 4a - 3a =5， 5a + 4a =7， 6a - 5a =9，7a + 6a =11， 8a - 7a =13， 9a + 8a =9， 10a - 9a =17， 11a + 10a =19，12a - 11a =21， 13a + 12a =23， 14a - 13a =25笔者第一次观察以上式子后得到 1a + 3a =2， 2a + 4a =8，2 3a + 5a =2， 4a + 6a =16， 5
3、a + 7a =2， 6a + 8a =24， 7a + 9a =2， 8a + 10a =32，9a + 11a =2， 10a + 12a =40， 11a + 13a =2， 12a + 14a =48第二次观察以上式子后得到 5a - 1a =0， 6a - 2a =8， 7a - 3a =0，8a - 4a =8， 9a - 5a =0， 10a - 6a =8， 11a - 7a =0， 12a - 8a =8， 13a - 9a =0，14a - 10a =8第三次观察以上式子后得到5 6 7 8 1 2 3 4a a a a a a a a =16，9 10 11 12 5 6
4、 7 8a a a a a a a a =16到 这 里 ， 笔 者 归 纳 猜 想 ， 构 造 出 新 的 数 列 nb ， 以1b = 1 2 3 4a a a a =10 为首项，公差为 16 的等差数列，即4 3 4 2 4 1 4n n n n nb a a a a=10+ 1n 16=16n 6。所以，60S = 1 2 3 4 5 6 7 8a a a a a a a a + + 57 58 59 60a a a a= 1 2 3b b b + 16b=15 10 15 142 15=1830 在这里， 这个题虽然这样做是可以， 但是考试时这样做就不一定可取， 为此， 笔者从另外
5、一个角度探究， 然而在探究时又有意外的收获。1.2 意外的收获笔 者 用 n = 2k ， *k N 代 替 考 题 递 推 式 中 的 n ， 则 得2 1 2 4 1k k ka a ，然后例举： 3 2 3a a ， 5 4 7a a ， 6 7 11a a ，3 9 8 15a a ， ， 6 1 6 0119a a . 将 这 30 个 式 子 累 加 后 得2 3 4a a a + 60 613 119 60 18302a a . 这时，笔者比较发现：以上才得 + 60 1830a ，现在又得 2 3 4a a a + 60 61 1830a a .笔者想这难道是说巧合？还是 1
6、61a a ？是不是巧合？笔者按照以上构造的等差数列 nb ，计算了64 1 2 3S a a a 64a =16 1516 10 16 20802 . 按照以上第一次观察 所 得 3 2 3a a ， 5 4 7a a ， 7 6 11a a ， 9 8 15a a ， 6 1 6 0119a a ， 65 64 127a a ， 计 算 了 2 3 4a a a 64 653 127 32 20802a a ，又得 1 6a a . 这难道说也是巧合？还是 1 6a a ？做到这里，笔者想：这不一定是巧合，也许它们隐含着相等 . 1.3 两次验证 1 61a a是不是相等？最初笔者也没有头
7、绪验证， 只好退回去看以上第二次观察后得到的式子，不难发现 1 5a a ， 5 9a a ，9 13a a ，从而有 1 5 9 13a a a a . 于是，笔者猜想：若项数是 *4 3,n n nc N ， 则项两两相等 . 这样， 当 4 3 61n 时， 16n ；当 4 3 65n 时， 17n ，说明 1 61a a ， 1 65a a 确实成立。从另外一个角度验证 1 61a a 也成立，笔者用 *2 1,n k k N代 替 考 题 递 推 式 中 的 n ， 则 得 2 2 1 4 3k k ka a . 然 后 例 举 ：2 1 4 3 6 5 8 71, 5 , 9 ,
8、 1 3,a a a a a a a a ， 60 59 117a a 。将这 304 个式子累加后得2 4 6 60 1 3 5 7 9 11 57 59a a a a a a a a a a a a1 117 30 1170.2 该 式 中 ， 1 3 5 7 92 , 2 , 2 ,a a a a a a57 59 2a a . 所以，该式又可得 2 4 6 60 2 15 1170a a a a ，即2 4 6 60 1800a a a a . 而以上就有 2 3 4 60 61 1830a a a a a 即，3 5 7 61 2 4 6 1830a a a a a a a ，所以得
9、 3 5 7 61a a a a2 4 6 601830 1830 1800 30a a a a . 于是有 61a 30 3 5 59a a a . 由 1 3 2,a a 5 7 2,a a 9 11 57 592, , 2a a a a ，可得 1 3 5 59a a a a =2 15=30，于是有 1 3 5 5930a a a a ，所以 1 61a a . 1.4 由特殊到一般求数列之和由以上所知，笔者不妨记1 5 9 61 ca a a a （ c 为常数） ， 则 3 7 11 59 2 ca a a a .因为 2 4 6 8 10 12 58 608, 24, 40, 2
10、32,a a a a a a a a 所以， 60 1S a2 3 60a a a 2 4 6 60 1 5 9 61 3 7a a a a a a a a a a11 59 61 2 4 6 8 58 60 16 15 2 8c c ca a a a a a a a a8 232 1524 40 232 30 18302 . 以下笔者将 2 4 6 88,a a a a10 1224, 40, ,a a 归纳为*4 2 4 8 2 1n n n na a N . 记 1 5 9a a a61 4 3n ca a （ c 为常数） ，则 3 7 11 59 4 1na a a a a5 2 c
11、 . 从而得 4 1 2 3 4 5 6 4 2 4 6 8n nS a a a a a a a a a a a10 12 4 2 4 1 5 9 4 3 3 7 1 4 1n n n na a a a a a a a a a a a1a8 8 2 18 24 40 8 2 1 1 2 2n nn n c n c c2n = 28 2nn 用这个公式便可计算 60S 8 152 30=1830. 以上求和公式 4 nS 可以变成 *1 , 4 ,2nn n n k kS N . 这时，用这个公式照样可以求 60 60 60 1 18302S . 1.5 由特殊到一般求数列的通项以上求和公式 *
12、1 , 4 ,2nn n n k kS N 最容易误导使学生想到该数列的通项是 n na ，其实不然 . 如 4 34, 3a a 代入考题中的递推式就不成立， 所以， 用以上求和公式可以求该数列的和 4 nS ，但它不可用来求该数列的通项 na ，那么该数列的通项na 怎样求呢？刚开始笔者还是没有头绪，不过，从以上论述中笔者发现该数列中的项具有以下特点： 1 5 9 61 4 3n ca a a a a （ c 为常数） ； 3 7 11 59 4 1 2n ca a a a a *4 2 4 8 2 1n n n na a N . 这里， 看得出该数列中的奇数项是常数， 而相邻的两个偶数项
13、成等差数列 . 这两个相邻的偶数项是构成整体的一个项，我们很难将它们单独分离，然后单独求其中一个偶数项通项 .6 为此， 笔者又退回来的第一次和第二次观察所得到的式子上做文章 . 结合第一次和第二次观察所得到式子，以及奇数项 4 3naC和 4 1 2n ca ，可行：1 ca ， 2 3 41 , 2 , 7c c ca a a ，5 6 7, 9 , 2c c ca a a ，8 15 ca9 10 11, 17 , 2c c ca a a12 13 1423 , , 25 , ,c c ca a a 笔 者 仔 细 观 察 2 6 1 0 , 1 4 , , ,a a a a 猜想它们的
14、通项为 4 2 78n n ca . 这里， 若令 4 2n k ， 则其通项变为 *2 3 ,k k c ka N ； 又仔细观察 4 8 12, , , ,a a a 猜想它们的通项为4 8 1n n ca . 这里， 若令 4n k ， 则其通项变为*2 1 ,k k c ka N .综上所述，得该数列的通项为*4 32 3 4 22 4 12 1 4nc n kn c n kc n kn c n k kaN这里， 虽然数列的通项公式是有点复杂， 但是每一段很有结构特征 . 笔者正是抓住每一段的结构特征，从而又获取到以下不同种求 60S 的方法。3 获取到不同种求 60S 的方法解法 1
15、：不妨令 1c ，从而有 1 1a ，则 3 5 59 1a a a ，7 即奇数项每项均为 1， 前 60 项中奇数项共有 30 项； 2 42, 6,a a6 810, 14, ,a a 偶数项形成以 2 为首项， 4 为公差的等差数列，前 60 项中偶数共有 30 项， 所以前 60 项的和为 30+1800=1830. 解法 2：取 1,3,5, 59,n 则有 2 1 4 3 6 52 1 1, 2 3 1, 2a a a a a a60 59 2 4 60 3 5 595 1, , 2 59 1 1770a a a a a a a a . 又 2 1 22 2 14 1,4 3,n
16、 nn nnna aa a2 1 2 1 2n na a . 1 3 5 7 59 57 30a a a a a a . 2 4 6 60 1800a a a a ，60 2 4 60 3 5 59 1830S a a a a a a . 解法 3：由 2 1 22 2 14 1,4 3,n nn nnna aa a得 2 1 2 1 2n na a . 所以有 1 2 5 7 59 57 30a a a a a a . 2 1 2 2 222 2 2 14 1 82 1,n n nnn nn nnaa a aa a， 得2 4 6 8 60 58 1800a a a a a a . 故 60 1800 30 1830S . 解法 4： 1 1 2 1,nn n na a 12 11 2 1nn n na a . （ -1 ） 1 1n na a 2 1n . +得 1 2 1 1n n na a 2
