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1、1,第 二 章 波函数与薛定谔方程,Wave Function and Schrdinger Equation,2,2.1 波函数的统计解释 Wave function and its statistical explanation 2.2 态叠加原理 Superposition principle 2.3 薛定谔方程 Schrdinger equation 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 Current density of particles and conservation laws 2.5 定态薛定谔方程 Time-independent Schrdinger equation 2
2、.6 一维无限深势阱 One-dimensional infinite potential well 2.7 线性谐振子 Linear harmonic oscillator 2.8 势垒贯穿 Barrier penetration,学习内容,3,学习要求,4,微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必然有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。,2.1 波函数的统计解释,1微观粒子状态的描述,德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个
3、复函数 来描述，函数 称为波函数。, 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波,5,如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中 运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态显然就不能用平面波描写，必须用较复杂的波描写，一般记为,三个问题？,2.1 波函数的统计解释（续1）,(1) 是如何描述粒子的状态呢？,(2) 如何体现粒子的波粒二象性的？,(3) 描写的是什么样的波呢？,6,2波函数的统计解释,电子小孔衍射实验,2.1 波函数的统计解释（续2）,电子单缝衍射实验,7, 两种错误的看法,（1） 波由粒子组成,类似如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法
4、与实验矛盾，它不能解释长时间单个电子衍射实验：,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。,2.1 波函数的统计解释（续3）,8,波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,（2） 粒子为波包形状,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际的波包结构，看成是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大
5、小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。,2.1 波函数的统计解释（续4）,什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。,平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。,9,实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 。,电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是
6、经典概念中的粒子。,2.1 波函数的统计解释（续5）,10,（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验, 玻恩的解释：,衍射实验事实：,2.1 波函数的统计解释（续6）,11,1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：,波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。,（2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,可见，波函数模的平方 与粒子 时刻在 处附近出现的概率成正比。,2.1 波函数的统计解释（续7）,12,麦克斯玻恩（Max Born，1882.12.11 1970.01.05，德国）量
7、子力学的创始人之一，晶格动力学的奠基人。因提出波函数的统计诠释而获得1954年诺贝尔物理学奖。量子力学的提出使格丁根大学成为当时举世瞩目的物理学中心之一。在玻恩的领导下，格丁根群英勤奋创造，学术空气自由活跃，形成了可以和玻尔的哥本哈根学派相媲美的格丁根物理学派。,德国物理学获得1954年诺贝尔物理学奖,13,设粒子状态由波函数 描述，波的强度是,这表明描写粒子的波是概率波(几率波),反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数 有时也称为概率幅。,2.1 波函数的统计解释（续8）,按Born提出的波函数的统计解释,则微观粒子在 时刻出现在 处体积元 内的概率,称为概率密度 (几率密度),14,（1
8、）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。,必须注意,2.1 波函数的统计解释（续9）,（2）波函数一般用复函数表示。,（3）波函数满足连续性、有限性、单值性。,知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写粒子的量子状态（简称状态或态）,15,令,3波函数的归一化条件,和 两波函数虽相差了任一常数 ，但它们给出粒子在空间两点处的相对概率是相同的。,时刻，在空间任意两点 和 处找到粒子的相对概率是：,即 和 描述的是同一状态的概率波。可见，波函数有任一
9、常数因子的不定性。,2.1 波函数的统计解释（续10）,16,非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的概率等于1，所以粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即,和 描述同一状态,这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的 2 倍）时，则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。,为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的概率等于1的特性，提出波函数的归一化条件：,2
10、.1 波函数的统计解释（续11）,17,又因,于是,归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。,满足此条件的波函数 称为归一化波函数。,2.1 波函数的统计解释（续12）,18,归一化常数,Solve:,归一化的波函数,(1).求归一化的波函数,2.1 波函数的统计解释（续13）,19,（2）概率分布：,（3）由概率密度的极值条件,由于,故 处，粒子出现概率最大。,2.1 波函数的统计解释（续14）,20,注 意,（1）归一化后的波函数 仍有一个模为一的因子 不定性（为实函数）。 若 是归一化波函数，那末， 也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。,若 对空间非绝对可积时，需用所谓的函数归
11、一化方法进行归一化。,（2）只有当概率密度 对空间绝对可积时，才能按归一化条件 进行归一化。,2.1 波函数的统计解释（续15）,21,Solve：,归一化常数, 例如 平面波的归一化问题,2.1 波函数的统计解释（续16）,归一化的一维平面波：,ex.2 已知平面波 , 求归一 化常数,22,补充作业题,同理，三维平面波：,归一化条件,归一化条件,2.1 波函数的统计解释（续）,1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出哪几个波函数描写同一状态。,23,2.1 波函数的统计解释（续1）,24,开1闭2，衍射花样（兰曲线）,开2闭1，衍射花样（紫红曲线）,同时开1，2，衍射花样（黑
12、曲线）,显然,2.2 态叠加原理,1.电子双缝衍射实验,表明概率不遵守迭加原则，只是波函数（概率幅）遵守迭加原则：,实 验 事 实,25,物理意义,反之，电子经双缝衍射后处于 态，则电子部分地既可处于 态，也可部分地处在 态。,2.2 态迭加原理（续1）,迭加态的概率:,电子穿过狭缝出现在点的概率密度,电子穿过狭缝出现在点的概率密度,当两个缝都开着时，电子既可能处在 态，也可能处在 态，也可处在 和 的线性迭加态 。可见， 若 和 是电子的可能状态，则 也是电子的可能状态。,26,态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。,1. 若 是粒子的可能状态，则粒子也可处在它
13、们的线性迭加态,2态迭加原理,2.2 态迭加原理（续2）,当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态 ,其概率为,2.当体系处于 态时，发现体系处于 态的几率是 ，并且,27,3电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数,电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也可能处在 、 等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即,2.2 态迭加原理（续3）,电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。,28,考虑到电子的动量可以连续变化,2.2 态迭加原理（续4）,显然,二式互为Fou
14、rer变换式,所以 与 一一对应,是粒子同一量子态的两种不同描述方式。,29,2.2 态迭加原理（续5）,若 归一化，则 也是归一化的,Prove:,30,2.2 态迭加原理（续6）,此显示出把平面波归一化为 函数的目的,一维情况下， 与 的Fourer变换关系：,如果仅考虑某一给定时刻粒子的坐标空间波函数与动量空间波函数的关系，可取t =0,31,2.3 薛定谔方程,1微观粒子运动方程应具有的特点,本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程,1926年，薛定谔发明了非相对论量子力学的动力学方程，即薛定谔方程。1933年，与狄拉克共享诺贝尔物理学奖。,奥地
15、利物理学家 薛定谔,因为， 时刻，初态由 这样一个初始条件给定，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间的一阶导数。,32,（3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒子), 其总能为,2.3 薛定谔方程（续1）,（2）方程必为线性的,由态叠加原理，若和是方程的解，那末 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含及对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的线性项，不能含它们的平方或开方项。,方程不能包含 、 等状态参量，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,33,又,2自由粒子的运动方程,将（1）和（2）式代入（3）式，得,2.3 薛定谔方程（续2）,（4）,34,满足运动方程应具有的三个特点，此即为自由粒子的基本运动方程自由粒子的Schrdinger方程。,
