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1、1小学数学“抽屉原理”课堂教学实录上海市第一师范附属小学 曹志霞教学目标：1初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解决简单的实际问题。2经历“放苹果”的探究过程，发展学生的概括能力与类推能力。3在理解与灵活应用“抽屉原理”的过程中感受数学的魅力。教学过程：一、揭示课题师：今天我们学什么内容？（学生看着银幕上的课题齐声：放苹果）数学课放苹果干什么？生：放苹果有什么规律。生：放苹果一定与数学知识有关。师：对啊！看看同学们在放苹果的过程中能不能发现有趣的数学原理。二、实践探究（一）探究 1（多媒体出示）把 3 个苹果放入 2 个抽屉，想一想有几种不同的放法？ 学生陷入沉思。师：小巧在动手放苹果之前有一个大胆
2、的猜想。（多媒体出示文字与配音）不管怎么放，一定有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果。1说明小巧的猜想师：你明白小巧这句话的意思吗? 说说你的理解生：不管怎么放，一定有一个抽屉有 2 个苹果。生：还可能有一个抽屉有 2 个以上的苹果。师：把 3 个苹果放入 2 个抽屉（板书） ，会用除法算式表示吗？生：32=1 （个） 1（个） （教师板书算式）师：算式中的 2 个 1 分别表示什么？ 生：表示每个抽屉里放 1 个苹果，还剩 1 个苹果。师：那么剩下的 1 个苹果还得放，所以一定有什么情况出现?生：每个抽屉里放 1 个苹果，还剩 1 个苹果，把剩下的 1 个苹果，随便放到哪个抽屉里，这个抽
3、屉就有 2 个苹果。师：哦，你说得太棒了！（教师板书：1+1=2）师：为什么还会出现有一个抽屉有 2 个以上的苹果呢？生：如果有一个抽屉不放，那另一个抽屉就有 3 个苹果了。2验证小巧的设想（1）动手放苹果师：刚才同学们讨论了小巧的猜想，发现有道理。现在我们用乒乓球代替苹果，用纸杯代替抽屉，自己动手放一放，用实验验证小巧的猜想是否正确。请大家记录摆放的结果。（多媒体出示）记录方法： 如果一个抽屉里放 1 个，另一个抽屉里放 2 个，可以简记为 1，2；教师请一组学生操作课件，在电脑中摆放苹果，并做好记录，写在黑板上。2（2）学生小组活动（3）得出结论师：看着实验的纪录，你得出什么结论与大家分享
4、？生：我们组有 4 种放法（教师加以板书：1，2；2，1；0，3；3，0）生：不管怎么放，一定有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果。师：哪几种放法说明有一个抽屉有 2 个苹果？生：1，2；2，1师：哪几种放法说明有一个抽屉有 2 个以上的苹果？生：0，3；3，0师：对于验证小巧的猜想来说，可以不考虑抽屉的不同，所以 1，2 与2，1 两种放法，其实只是一种情况，我们保留其中的一种。0，3；3，0 也一样。（教师檫去 2，1；3，0）师：通过动手放一放，我们验证了小巧的设想是正确的，一定有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果。（二）探究 2师：把 4 个苹果放入 3 个抽屉（板书） ，会出
5、现什么情况？小巧的猜想还成立吗？ 1小组合作，自己动手放一放，并做好记录。同时，请一组学生操作电脑放苹果。记录在黑板上。2讨论（1）检查记录中的数据，删除相同情况（黑板上保留：1，1，2；0，1，3；0，0，4；0，2，2）（2）讨论放法1，1，2师：这种放法用算式怎样表示？ 生：43=1 （个） 1（个）生：剩下一个还要放，1+1=2（个）（3）讨论余下的三种放法师：第、第、第种放法说明什么？生：说明一定有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果。师：可是第种放法有 2 个抽屉里各有 2 个苹果，这句话应该怎样修改一下？学生思考片刻，教师提示：把“一定”换一个词。生：把“一定”改成“至少”就可
6、以了。生：至少有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果，说明还可以有几个抽屉里2 个或 2 个以上的苹果。教师把板书中的“一定”改为“至少” ，让学生再读这句话，体会“一定”与“至少”的不同之处，同时感悟“至少有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果” ，这句话能概括所有 4 种放法。（三）探究 3师：把 5 个苹果放入 4 个抽屉（教师板书） ，猜猜可能有什么结果？ 生：至少有一个抽屉有 2 个或 2 个以上的苹果。师：认同这一结论的同学举举手。3师：能否用算式说明?生：54=1 （个） 1（个）1+1=2 （个）教师板书师：这个算式摆放出的苹果是怎样的？ 生：（1，1，1，2）师：能否举
7、2 个例子说明把 5 个苹果放入 4 个抽屉，至少有一个抽屉有 2个或 2 个以上的苹果。生：（0，2，2，1） 、 （0，1，3，1） 、 （0，0，2，3）（四）小结师：同学们放了三次苹果，研究了苹果数与抽屉数之间的关系。那苹果数与抽屉数之间有什么关系？生：苹果数大于抽屉数。教师板书：苹果数抽屉数生：苹果数比抽屉数多 1。师：如果把抽屉数用字母 n 表示，那么苹果数可以怎么表示？生：n+1师：其实这个原理早在 200 多年前就被德国数学家发现了。（多媒体出示）把多于 n 个的苹果放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有 2 个或 2 个以上的苹果。 德国数学家“狄里克雷” ，从这么平凡的
8、事情中发现了规律。人们为了纪念他，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理” ，又叫“抽屉原理”,还称为 “鸽巢原理” 。师：为什么“抽屉原理”,还可以称为 “鸽巢原理”？ 生：可以把鸽巢看作抽屉，把鸽子看作苹果，所以“抽屉原理”,也可以称为 “鸽巢原理”师：说得很好，抽屉原理可以广泛地运用于生活中，一般可以把某一样东西看作苹果或抽屉。三、初步运用（一）说一说1 （多媒体出示）101 只兔子放入 100 个笼子，那么_。生：至少有一个笼子有 2 个或 2 个以上的兔子。师：能告诉大家你把什么看作抽屉，把什么看作苹果？ 生：我把笼子看作抽屉，把兔子看作苹果。师：运用学到的抽屉原理解决了兔子与
9、笼子的问题。2出示：爸爸买来 5 条金鱼，小凤数了数，共有 4 个品种，姐姐听了后说：“至少有 2 条金鱼是同一个品种的。 ”姐姐说得对不对？为什么？生：姐姐说得对。师：你能说说理由吗？ 生：可以把金鱼看作“苹果” ，把品种看作“抽屉” 。根据抽屉原理，可以得出：至少有一个品种有 2 条或 2 条以上的金鱼。（二）填一填1 （多媒体出示）扑克牌去掉大、小怪，剩下的都是 4 种花色。任意取 张，至少有 2 张是同一种花色的。生：任意取 5 张扑克牌，至少有 2 张是同一种花色的。因为有 4 种花色。4师：再说清楚些，把什么看作抽屉，什么看作苹果？生：共有 4 种花色，把它看作抽屉，牌看作苹果。牌
10、比 4 种花色多 1 时，至少有 2 张是同一种花色的。2 （多媒体出示）小胖掷数点块，至少掷 次，其中至少有两次的点数相同。生：把 1 到 6 的点数它看作 6 个抽屉，至少掷 7 次，其中至少有两次的点数相同。3操场上有同学在比赛掷沙包，小亚数了一下人数说：“这里至少有两人的生日在同一个月” ，至少有_人在比赛掷沙包。（三）玩一玩1出示：抢位子游戏规则：每个人必须都坐下；一张椅子上允许坐一个以上的人。2学生活动。师：现在有 3 个位子，老师至少请几人来玩，才会出现抽屉原理的情况？生：4 人，因为把椅子看作抽屉，人数看作苹果，人数比椅子数多 1。活动开始：大家击掌，4 位同学围着椅子转，掌声
11、停，4 位同学抢着坐下。师：用一句话说说他们就坐的情况。生：至少有一个椅子有 2 人或 2 个以上的人。师：5 人抢 3 把椅子，6 人、7 人抢 3 把椅子，会有什么样的结论呢？请感兴趣的同学课后继续研究。多次教学放苹果的感悟：一、 “思维定向”的由来放苹果即抽屉原理是二期课改小学数学教材新引进的课题。其内容抽象、费解，在三年级教学是个难点。如何突破？作了多次探索。第一次，按照课本的设计教学，探究 3 个苹果放入 2 个抽屉就遇到了困难。学生很容易得出有 4 种情况，但让他们自己概括结论非常困难。学生首先想到是抽屉里的苹果数最多是 3，最少是 0。分析原因，很简单，学生很难用“一定有” 、
12、“至少”这样的语言来陈述。怎样才能让三年级学生自己说出教师期望的结论呢？我们尝试了多种方法，发现由抢位子游戏引入，学生比较容易说出“3 人抢 2 个座位，一定有一个座位坐 2 个人” ，还要让学生再次探究 3 个苹果放入 2 个抽屉。感觉有些重复。这次教学诊断，我仍上这一内容，尝试改变由学生放苹果后得出结论的常规做法，创设“小巧”这一学生喜爱的人物形象参与教学活动，由她的“猜想”给学生“思维定向” ，让学生在解读小巧“猜想”的过程中初步理解抽屉原理。从课堂实效来看，这一设计达到了预期的目标。同一课题的多次实践，使我真切感悟：学生的数学语言也有最近发展区。二、 “实验结果”为何简化第一次教学时，
13、按照“教参”的提示，对几个抽屉用不同颜色加以区别，这样“把 4 个苹果放入 3 个抽屉”的实验结果就有 12 种情况，虽然通过小组合作与交流，能够避免遗漏，但时间花费过多，毕竟现在一节课只有 35 分钟。而且，要让学生观察 12 种情况概括结论，又是勉为其难。于是想到，既然教材对5几个苹果不加区分，对抽屉是否也可以不加区分呢？查阅了很多资料，其中多数对抽屉也不加区分的。那么，选择什么时机提出简化建议呢？比较来比较去，还是在得出 3 个苹果放入 2 个抽屉的 4 种情况以后，将 4 种情况简化为 2 种，比较适宜。看来，不能依赖“教参” ，立足学生与教学实际，该删繁就简就删繁就简。三、教材之外还
14、需充实什么一师附小是“愉快教育”的发源地，为了让学生愉悦地学习，除了将教材上的卡通人物参与进来之外，在设计补充练习时，我还精心挑选了一些学生学习生活的情境，并配上插图。改进以后的练习组合，学生兴趣盎然。抽屉原理的来历，可以介绍给学生，抽屉原理的别名“鸽巢原理”附带出现，既有利于增添趣味，又能为后面抽屉原理的应用做出铺垫。现在的小学生，一年级就开始学习英语，用字母表示数不感困难，所以小结时用上了字母，这样抽屉数与苹果数之间的关系，一目了然。前几次教学，发现尽管抽屉原理的理解起来并不容易，但学生兴趣很浓，因为它和学生以前学的数学知识大不一样。另外题材丰富的练习让学生初步看到抽屉原理应用的广泛性，从
15、中感受了抽屉原理的魅力。所以，这次在课的结尾，利用抢位子的游戏活动，在形成“高潮”的同时，通过教师的追问：7 人抢 3 个椅子呢？ 孕伏了拓展，让学有余力的学生继续探究 “（kn+1 ）个苹果放入 n 个抽屉，至少有一个抽屉有（k+1）个苹果” 。多次教学抽屉原理的最大感悟是，顺应学生认知特点的教学才是有效的教学。导师点评：听了曹志霞老师的说课，被她不断反思、孜孜以求的精神所感动。这节课的创意、改进，主要的上面已经说到，也说得很明白。要点评只能再深入说两点和补充一点。一、 “思维定向”有道理对于成人来讲，本课讨论的抽屉原理（抽屉原理的最简单形式） ，内 容 简明 朴 素 ， 几乎不言自明。但对
16、于小学三年级学生，理解起来确有难度。因为抽屉原理的实质，是揭示了一种存在性，比较抽象。至于抽屉原理的发现与精练表述，明显超出了一般人的数学敏感性和抽象概括能力。要不然，为什么如此平凡、简单的现象，直到 19 世纪才被狄利克雷首先明确提出呢？如同苹果往地上掉了千百年，直到落在牛顿头上，才深究出万有引力定律。这一联想、类比可能不够确切，但近年来确实有一些脱离学生实际一相情愿的“探究发现”的泛化现象。难怪教师会发出要把握学生的最近发展区、要顺应学生认知特点的感慨，其实这些都是有效教学应当采纳的基本策略。美国心理学家布鲁纳有句名言：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童” 1且不说这一假设是否武断，作为发现法的倡导者，布鲁纳说的也只是“教给” ，而不是“发现” 。既然要让三年级小学生通过将 3 个苹果放入 2 个抽屉的操作，面对 4 种情况自发地发现并概括出抽屉原理，有点勉为其难，那
