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1、1动态模拟直流机电系统创新的数字方法 Chen Chaoyinga,*, P. Di Barbab, A Savinib电机工程系,天津大学,天津 300072,中华人民共和国电气工程系,帕维亚大学,27100 年,意大利帕维亚摘要在本文中, 提出了一个名为“r k t”方法创新的数字仿真方法,新方法结合了龙格库塔和梯形方法，具有他们两个的优势。对该方法进行了误差分析并进行了修正。作为一个案例研究,考虑了直流电机作为道路小型车辆发动机起动器的的电路模型; 所建议的方法用来进行机电装置的动态仿真。有效地获得具有良好的精确度结果，特别是抑制了数值振荡。关键词: 数值方法 时间 动态系统 机电一体化
2、 直流电机1 介绍几个数字方法,如欧拉,梯形,龙格库塔和线性多步方法一般用来进行数值积分和微分。欧拉方法简单,但精度低;其截止错误是 O(h2),而这的梯形法减少为 O(h3)。龙格库塔法相对精度高,但需要大量的计算工作;最后,多步方法具有较高的准确性 ,但它不能自我开始1 。因此,梯形方法广泛应用于暂态数字仿真。然而,在直流系统模拟,梯形介绍了平等的振幅的数值振荡方法。因此,它的应用在本例中是至2关重要的。由于后退欧拉法可以避免这样的振荡,在文献2, 提出了一个阻尼梯形法,该方法了将阻尼系数引入梯形方法有效地降低了数值振荡,但在准确性也有所降低。在仔细地分析了梯形和龙格库塔方法,本文提出了一
3、种创新的仿真方法,称为“r k t,它巧妙的结合了龙格库塔和梯形方法优势：同伴模型就像梯形方法可以表达龙格库塔法;数值振荡可以大大减弱。根据频谱分析,这种方法误差可以计算并修正，这使它可以准确有效地模拟直流系统。2 在直流系统数值振荡的梯形法考虑到如图 1(a)所示的电感电路控制方程是:在当前 i 是未知的。使用梯形方法对时间积分,可以得到:当前 h 是计算的时间步长。令则:在表 1(a)中描述定同伴模型显示在表 1(b)中。从 Eq. (1)也可以得到:3表 1 电感阻抗(a)和它的同伴模型(b)和(c)。当它的同伴模型见图 1(c). 假设，当 t = ，一个直流电流流过电感阻抗，从 Eq
4、. (3) 感应k分支的电压响应可以计算可以看到,振荡的电压没有被抑制。否则假设，当 n=k，电流被切换掉，也就是( = 0, nk); 从 Eq. i(3)可知 :也就是电压响应也是一个未按下去的振荡。4它可以证明,向后欧拉法可以避免这样的振荡。对于感应阻抗它给:可以看出, 并不依赖于 ,所以这使得它可以避免数值振荡但1nunu大大降低了后退欧拉法的精度。为解决这一矛盾,文献2提出了一种带阻尼的梯形方法。对微分方程:它给出对于图 1 显示的电感阻抗,它给:是阻尼因子,在0到1之间。当=0这个方法变成梯形的一个, 当=1 这方法成为向后欧拉法。从Eq.(9),可以看到 , 字母系数是(1-)/
5、(1 +) 1,所以当电压nu振荡产生,它可以迅速衰减。更大的因素是,更快速的振荡是减少和可以通过这种方法降低精度。此外,因子只根据经验选择:其最优值很难确定。3R-K-T 方法龙格库塔法具有更高的精度和更好的稳定的直流系统,但它需要在单一的步骤多次计算函数值;它不能像梯形法用一个伙伴模型表达。5如果一个人可以结合龙格库塔法和梯形法形成一种新方法,然后它将具有两者优点的两种方法。以三阶龙格库塔法为例,推导出新的方法。对微分方程用三阶龙格库塔法，可得到对于电感阻抗,有:当从 Eq. (10)，它遵循在 /2 是在步骤中点的电压,它可以通过求解方程的系统发现。1nu但是我们通过梯形法计算。这可以做
6、到在两个不同的方式(A)和(B):(A) 取 和 的平均值，让1nu6代替上面的公式为 Eq. (10),可以得到:当很明显, /2 代替 Eq.(14)的三阶龙格库塔方法可以表达在图1nu1(b)的同伴模型显示,至于梯形方法,模型的参数是:该方法的特点是, 和 的系数是不等的,A 可用平等的振幅nu1的梯形法去变数值振荡。它转向梯形法当 R=0,即公式给出了纯电感梯形法:(B)用利用梯形法,有:7用 Eq(19)到 Eq (13),可以得到:用上面的方程代入 Eq(10),它遵循公式(20) 可能是由一个电感阻抗同伴的模型表达的，如表 1(b)所示,当公式(20) 也像 Eq.(15)衰减数
7、值振荡的函数,它也转向纯电感的梯形法当 R=0。第四次龙格库塔法,它给:8同样可以获得四次龙格库塔法同伴模型如下4(A)用 ，可得到：当它的同伴模型在图 1(b)（B ）用 可得到9当它的同伴模型在图 1(b)这两个介绍的 4 次模型也转向梯形法对纯电感当 R=0。因此,龙格库塔法结合梯形方法来形成一个新的“RKT”方法,该展现了这两种方法的优点。4 RKT 方法的分析和计算误差在实际系统中,电压和电流,不管他们有哪种波形,可以用方法的频谱分析。仿真的误差可以通过分析每个频率分量;组件和理论加在一起去获得总错误。让我们假设电流和电压的一个特定的系统对任何一个频率分量 v，让我们重写 3 次 R
8、KT 方法(20)如下:10用 Eq(27)代入 Eq(28),可以推断:从公式的电感阻抗,有两边 Eq. (29)的不同表示 r k t 法频率分量的错误，这样误差函数可以定义为：如果这个令人兴奋的消息来源包含大量的频率组分,e(v)应该为每个频率计算组分和加在一起。所有的总和 e(v)给出了总的误差函数的三阶 r k t 方法。5 RKT 法错误的纠正从 Eq(29)很明显对于角频率 r k t 方法的公式是不平衡的; 它是由于方法本身,而不是相关的令人兴奋的来源。如果将匹配双方的Eq.(29)添加一些条目, 那么它能给频率分量准确的结果。让 成为令0w人激动的源主要的角频率,为了进行准确
9、计算 v0,必须改造 Eq29 如下:11Eq.(32) 两边的系数都是相等的当 w= 时，这意味着它给准确0w的结果。回到 Eq.(32),可以推断图 2 测试电路计算Eq.(33)是公式的 r k t 法校正之后。如果激励源的系统只有一个频率 ,然后校正可以为这个频率。如果系统有一个多频兴奋源,然后0w校正可能为占统治地位的较低的频率,具有更高的振幅。6 数值结果为了检查方法的精度, 显示在图 2 的电路可被考虑。它的参数是:12电流准确的表达是:当 h=0.1 ms 上述的模型解决了显示在图 2 中测试电路,以及作为通过公式(34)给一个更准确的结果。在每种情况下误差被定义为在考虑的结果
10、中最大绝对差异模型,得到了式(34)。图 3 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)图 4 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)。13图 5 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)图 6 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)图 7 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)图 8 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)14图 9 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)图 10 对于每个模型误差曲线 (T:周期 )(见表 1)表 2直流电机参数从表 1 和显示在表 3-10,误差曲线可以得到以下结论1. 梯形法的误差很小,阻尼
11、梯形法是大而落后欧拉方法被证明是非常不准确的。这意味着这是一个简单的方法梯形法高精度。2. 不论是第三或第四 r k t 法,如梯形法错误很小。这意味着 r k t 的精度可与梯形法相媲美。153. 修正 r k t 法的误差比那梯形法一半要多。4. 对欧拉,梯形和未修正的 r k t 方法，正弦函数误差是稳定的,但是在几个周期修正 r k t 法误差是唯一的一个趋近零。这意味着纠正的方法可以用来消除波动和计算准确度高。7 直流电机的动态模拟为了应用,让我们考虑显示在图 11 电路。它可以表示5的集总参数直流电机的模型和串励,充当发动机起动器在机电设备的道路车辆。这个电感参数通过一场在二维有限
12、元素基础模拟在以前确定的。从设计师的观点，十分关注预测动态行为的的设备,尤其是,和估计的峰值电流。当换向器是打开了电压源,电路的控制方程可以写成:Re 是源电阻，Rf 是磁场绕组电阻,Lf 低频磁场绕组自感,Ra 是电枢电阻,La 是电枢自感 ,G 速度系数和 w 是角速度的电枢。图 11 串励直流电机表 3 直流电机电流(A)模拟了不同的方法16表 4最大和最小错误不同的方法相比龙格库塔方法 (%)机械方程是:在 J 是惯性矩,K 是阻尼系数、T0 是库仑阻尼。初始状态是零。Eq.(35)Eq.(36)是一个非线性耦合系统,为计算它们,对速度预测和校正方法被引进。7.1 模拟电机的线性参数图
13、 11 中电机线性参数的在列出表 2。几个数字仿真方法是用来相互比较，表 3 分别列出了一些龙格库塔默森6,梯形,r k t 和阻尼梯形方法电动机电流计算仿真结果, (t=0.01 ms)。在龙格库塔默森方法,一个介绍参数控制误差集成的公差被引进。时间步长改变的根据误差估计。由于更高的精度,龙格库塔默森方法可以作为参考来比较其他方法。表 4 列出了最大和最小错误,分别为每个方法的通过龙格库塔获得默森的方法有关结果。17可以看到, r k t 方法最大误差是小于阻尼梯形法但比梯形法要大;但 r k t 方法的最低误差是三个之中最小的。所以先前的部分结论已确认。图 12 显示了一些 r k t 的
14、仿真结果图 12 r k t 方法的直流电机模拟(线性情况下)18图 13 梯形方法的直流电机模拟(线性情况下) 方法:(a)是电枢电压;(b)是电动机电流;(c) 是电动机速度;(d)是电机转速之间的关系和转矩。可以看到,结果给一个明确的过渡过程,没有振荡发生。图 13 代表一些模拟了梯形法结果。它显示了电枢电压的电动机显示一些向下数值振荡。7.2 模拟电机的非线性参数考虑饱和的铁的电机,参数表 1 中低频和 G 将非线性依赖电流来模拟这些非线性参数,一个曲线拟合的方法已被应用。见图 14 显示了参数低频和曲线拟合的结果图 14 参数 Lf 的非线性行为 19图 15 参数 G 的非线性行为
15、 曲线拟合模型是:图 15 显示了非线性参数,G 和曲线拟合结果。其数学模型是:为了避免图 14 和图 15 中 Lf 和 G 曲线拟合的开始所示图产生的波峰值。在图 14 和图 15 的第一段显示为虚线的分段线性案例被引进。Lf 是非线性的,式(35) 必须改变为:当计算完每一步, 式(39)的参数 Lf,dLf / di 和 G 必须根据新的电机电流进行修改; 然后可以继续计算下一个。在瞬态过程可以指出非20线性的主效应。图 16 显示了 r k t 法的一些仿真结果。可以看出, 图 15 中电机的峰值电流是高于显示在图 12 线性情况; 另一方面, 非线性模型的电枢电压的特点是有时间瞬态
16、过程。7.3 速度控制下非线性情况下的仿真为控制电机的速度,一个简单的控制系统如图 17 所示模拟。它包括一个时间常数的电流测量 T1 速度测量环,一个比较环和一个开关控制环节。在控制系统中，速度测量值与速度引用进行比较获取速度误差。由于误差的限制,它将切断;否则,它将合上的开关。所以式(39) 将更改为:开关函数:21图 16 r k t 方法直流电机模拟( 非线性情况下)r k t 法速度控制( = 12 002 rad/s)下非线性情况的仿真结果中显示在图 18 中,(a)是电压源 ;(b)是电压的电枢;(c)是电动机电流;(d) 是电动机转速。结果表明,r k t 方法给予在直流电机模拟中明确的动态过程。这个方法简单,准确度高。此外,它可以有效的消除数值
