《4_初等代数运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4_初等代数运算（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲 初等代数运算,1. 多项式运算,多项式是我们最熟悉的简单表达式，n 次一元多项式的一般形式为:Pn(x) =a0 +a1x+ a2x2 +anxn在Mathematica 中, 有关表达式的任何运算都可以应用到多项式中，特别，多项式的加减乘除四则运算只要用Mathematica 中的加减乘除号来连接两个多项式即可, 如: 数学形式 Mathematica 输入形式 多项式相加 (3+x2) + (1-2x5 ) (3+x2)+(1-2*x5)多项式相减 (3+x2) - (1-2x5 ) (3+x2)-(1-2*x5)多项式相乘 (3+x2)(1-2x5 ) (3+x2)*(1-2*x
2、5)多项式相除 (3+x2)(1-2x5 ) (3+x2)/(1-2*x5),下面列举其中的常用函数及功能:,Mathematica 函数形式 功能1) Expand多项式 把多项式按升幂展开2) Factor多项式 对多项式进行因式分解3) Collect多项式,x 把多项式按x的同次幂合并形式展开4) Simplify多项式 把多项式写成项数最小的形式5) Exponent多项式, x 取出多项式中x的最高幂数6) Coefficient多项式,form 取出多项式中form的系数7) Part多项式, n 取出多项式的第n项8) Length多项式 给出多项式的项数9) Polynomi
3、alQuotientp,q, x 计算pq的商,这里p,q是关于x的 多项式10) PolynomialRemainderp,q, x 计算pq的余式,这里p,q是关于x的多项式11) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最大公因子12) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最小公倍数,例1:展开多项式(2+3x)4，并取出它的第3项。解: Mathematica 命令为: In1:= p=Expand(2+3x)4Out1=16+96x +216x 2 +216x3 +81x4In2:= Partp, 3Out2= 216 x2,例2: 设多项式q=(1+
4、2x - y)2，做(1)展开多项式q (2)按y的同次幂合并形式展开多项式q (3)取出多项式q中y和xy的系数解: Mathematica 命令为: In3:= q=Expand(1+2x - y)2Out3= 1 + 4 x + 4 x2 - 2 y - 4 x y + y2 In4:= Collect(1+2x-y)2, y Out4= 1 + 4 x + 4 x2 + (-2 - 4 x) y + y2In5:= Coefficientq, yOut5= -2 - 4 xIn6:= Coefficientq, x*yOut6= - 4,例3: 对多项式120 - 46x - 19 x
5、2 + 4 x3 +x4进行因式分解。解: Mathematica 命令为: In7:= Factor120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4Out7= (-3 + x) (-2 + x) (4 + x) (5 + x)例4: 设多项式p=1 - 4x - 19 x2 + 4 x3，q=1 - 3x ，1)计算pq的商； 2) 计算pq的余式 解: Mathematica 命令为: In8:= p=1-4x 19x2+4x3; q=1-3x;In9:= PolynomialQuotientp, q, xOut9= 89/27+ 53 x/9 - 4 x2/ 3 In10:= Po
6、lynomialRemainderp, q, xOut10= -62/27,例5: 设多项式p=120 - 46x - 19 x2 + 4 x3 +x4，q=20x+9x2+x3 1)求多项式p，q的最大公因子；2) 求多项式p，q的最小公倍数 解: Mathematica 命令为: In11:= p=120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4;q=20x+9x2+x3; In12:= PolynomialGCDp, q Out12= 20+ 9x + x2 In13:= PolynomialLCMp, q Out13= 120 x - 46 x2 - 19 x3 + 4 x4 +
7、 x5,2. 有理函数运算,两个多项式相除构成有理函数，它的一般形式为:在Mathematica 中提供了有理函数运算的一些函数，常用的函数有: Mathematica 函数形式 功能1) Togetherexpr 对expr进行通分2) Apartexpr 把expr写成简单分式之和3) Cancelexpr 对expr进行约分 4) Simplifyexpr 对expr进行化简5) Numerator有理函数 取出有理函数的分子6) Denominator有理函数 取出有理函数的分母,例6:设有理函数之和为:1)对r(t)通分； 2) 取出r(t)的分子； 3) 取出r(t)的分母解: M
8、athematica 命令为: In14:= r=6/t-3/(1+t)- (3t+3)/(1+t2);In15:= s=Togetherr In16:= Numerators Out16= 6In17:= Denominators Out17= t(1+t) (1+t2),例7: 设有理函数为1) 把q(x)写成简单分式之和； 2) 对qx进行约分； 3) 对q(x)进行化简:解: Mathematica 命令为: In18:= q=(1-x2)/(9+21x+16x2+4x3);In19:= Apartr In20:= CancelqIn21:= Simplifyq,3. 连续求和与连续求
9、积运算,在数学中，有时需要计算n个有规律的数相加或相乘，这就是数学中由符号表示求和运算和由符号表示的求积运算，即:上式中 ai 称为通项.Mathematica 提供了这种快速求和和求积运算命令。3.1 连续求和命令连续求和命令的一般形式为 Sum 通项, 求和范围 或 NSum 通项, 求和范围 ,命令形式1: Sumf(i) , i ，imin，imax，h 功能：计算和 f(imin) +f(imin +h)+ f(imin +2h)+f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：计算和12 +3 2 + +19 2 , 由连加的规律, 知通项为i2
10、Mathematica命令：In22: = Sum i2 , i , 1, 19 , 2 Out22= 1330,命令形式2: Sum f(i) , I，imin，imax 功能：计算和 f(imin) +f(imin +1)+f(imin+2)+f(imax)例如：计算 Mathematica命令：In23: = s=Sum1/(k2-1), k, 3 , 20Out23=103/280,命令形式3: Sum f(i , j)，i，imin，imax,j, jmin，jmax功能：计算二重和式例如 ：计算 Mathematica 命令: In24: =Sum(i-j)3, i, 1 , 20
11、, j, 1 , 10Out24= 149500,例8: 计算: 解: Mathematica 命令为: In25: = s1=SumSink, k, 1 , 5 Out25= Sin1 + Sin2 + Sin3 + Sin4 + Sin5 In26: = s1=NSumSink, k, 1 , 5 Out26= 0.176162 In27: = s2=NSum1/k2 , k, 1，Infinity Out27= 1.64493,例9:设 用Sum命令生成s1(x), s3(x), s6(x),并在同一个坐标系中画出s1(x), s3(x), s6(x)在-1,1上的图形解: Mathem
12、atica 命令为: In28:= s1=Sum(k+1)*xk, k, 0, 1Out28=1+2xIn29:= s3=Sum(k+1)*xk, k, 0, 3Out29=1+2x+3x2+4x3In30:= s6=Sum(k+1)*xk, k, 0, 6Out30=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6In31:= Plots1,s3,s6,x,-1,1,3.2 连续求积命令,求积命令的一般形式为 Product 通项, 求积范围 或 NProduct 通项, 求积范围 式中的范围与求和命令Sum相同,具体形式有命令形式1: Product f(i) , i ，imin，imax
13、，h 功能：计算和 f(imin)f(imin +h) f(imin +2h) f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0例如：计算和1232 19 2 , 由连乘的规律, 知通项为i2 Mathematica命令： In32: = Product i2 , i , 1, 19 , 2 Out32= 428670161650355625,命令形式2: Product f(i) , i ，imin，imax 功能：计算和 f(imin) f(imin +1) f(imin +2) f(imax)命令形式3: Product f(i , j)，i，imin，imax, j ，jmin，jmax功能：计算二重和式,
