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1、第34卷第l1期2015年11月 数学教学研究 利用高等数学知识观点简解高考压轴题 杨瑞强 (湖北省黄石市第一中学435000) 随着高中数学新课程先后引进了微积 分、坐标变换等选修知识之后，初等数学知识 与高等数学知识的联系越来越紧密，致使一 些高考数学试题或以高等数学知识为背景， 或体现高等数学中常用的数学思想方法和推 理方法由于高考的选拔功能，参与高考命题 的专家也越来越重视初、高等数学知识在此 处的衔接，这类题往往倍受命题者青睐近年 来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高 观点题，成为高考题中一道亮丽的风景下面 以近年来出现的高考试题为例，阐述利用高 等数学知识的观点简解几类高考压轴
2、题的方 法 1利用洛必达法则。处理恒成立问题 例1(2011年全国新课标理科第21 题)已知函数，曲线 一厂( )在点(1，厂(1) 处的切线方程为X+2 一3一O (I)求a，b的值； ()如果当z0，且 1时， (z) + ，求是的取值范围 解(I)a-1，b_-1 ()由题设可得，当zO，z1时，忌o， 1)，则 g )一2 ， 再令 |ll(z)一( 。+1)In z。+1 ( O，z1)，则 h ( )-2xln + 一 ， ( )=21n x-l- ， 易知ffl(X)=21n x+l一去在(o，+。)上为 增函数，且 (1)一0故当X(O，1)时， (x)G0，当 (1，+)时，
3、 (z)0 所以h )在(O，1)上为减函数，在(1， +。)上为增函数，故h ( ) (1)一0， (z)在(O，+。)上为增函数，又因为 (1)一 0，所以 当 (O，1)时，h(z)GO，当 (1， +。o)时， (z)0； 当 (0，1)时，g ( )G0，当 (1， +。o)时，g )O 于是g( )在(O，1)上为减函数，在(1， +。o)上为增函数 由洛必达法则知 lira( )-2 li +l +1 j +1lz。 ：2 lim +1 =2X(一熹_)+1=0 所以走O，即是的取值范围为(一。，O 收稿日期：2015-06-17 作者简介：杨瑞强(1979一)，男。湖北黄冈人，
4、中学一级教师，黄石市优秀班主任，主要从事数学教育与中学教学研究 E-mail：yrq2003163com 数学教学研究 第34卷第11期2015年11月 评析对恒成立问题中的求参数取值范 围的问题，首先考虑采用参变分离法，但有些 题中的求分离出来的函数式的最值不容易， 此时若利用洛必达法则可以较好的处理它的 最值，是一种值得借鉴的方法 2利用定积分。简证(解)数列不等式 例2(2013年湖北理科第22题)设 是正整数，r为正有理数 (I)求函数厂( )一(1+ )斗 一(r+1) 一1( -1)的最小值； ()证明： l二 0，r为正有理数， 则g ( ) rxr- O，从而g( )在(O，+
5、) 上是增函数 由定积分的概念知， I，g(x)dx 一厂(咒) 下面我们介绍两种方法证明(1)式成 立 法1 设函数 厂( )一再1 J(xO)， 则函数，(z)单调递减，如图1所示，每个小 矩形的面积小于小曲边梯形的面积，即 rf ，( )1 0 X南出 I 出 J 十l 一 如 一 一ln(n+1)， 结诊盲辖得 图2 评析 本题借助定积分的几何意义充 分挖掘不等式左右两边的几何意义，通过构 造函数利用定积分的几何意义来解决问题 因此，有些数列和型不等式若利用定积分的 几何意义证明，则可达到以简驭繁、以形助数 的解题效果 3 利用凸函数的性质。简证相关不等式 例4(2012年湖北理科第2
6、2题)(I) 已知函数，(z)一rx一 +(1一r)(zO)， 其中r为有理数，且00)， 1 则 g ( )一 ， 36 数学教学研究 第34卷第l1期2015年l1月 (z)一一 O(i一1，2， )，且b1+6z+b， 一1，根据加权的琴生 不等式，可以得到 ” r 1 bfg(z )gl6 i=1 L i=1 J 即b In口 Inbia ， 从而 ln(an n ) ln(albl+a2b2+a b )， 即 口2t口当。n alb1+a2b2+a b 评析加权的琴生(Jensen)不等式：对 于(口，6)内的上凸函数，若m=1，则 f=1 r 、 af(x )f Jaix l， i
7、=1 L i=1 J 当且仅当 一 。一=Xn时等号成立利 用高等数学背景下的加权的琴生不等式简正 此题，构造恰当的函数是前提，求二阶导数判 断函数的凸性是手段，应用加权的琴生不等 式是关键 4利用伸缩变换，巧解椭圆问题 例6(2015年山东理科第2O题)平面 直角坐标系 0 中，已知椭圆c： a2 - b21 (n6o)的离心率是等，左、右焦点分别是 F1，F2以F1为圆心以3为半径的圆与以F2 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上 (I)求椭圆C的方程 ()设椭圆E：番+苏一1为椭圆c上 任意一点，过点P的直线y一是 +m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q 求 的值； (
8、ii)求ABQ面积的最大值 解(I)椭圆C的方程为 + 一1 (12)在伸缩变换r：_ 2下，椭圆c l f=一 【3， 一 变为单位圆C ：37 + 一1，椭圆E变为单 位圆E ： + 一4，原坐标系下的点A，B， P，Q，0依次变为新坐标系下的点A ，B ， P ，Q ，0，如图3 (i)根据伸缩变换的性质，有 一 ：垦一2 丽一 一 一z (ii)由(j)知，SA 一3 frO，设 到直线A B 的距离为d，则 Saa8ry一告IA，B 1d 一去24一 。d 一_(dz)z q_4d 一 一( 。-2) +4， 其中d60，1，当 =1时，根据伸缩变换的 性质，有 SABQ=abs ，
9、B 一2 B 6 ， 即(S脚) 一6 一 一 图3 例7(2015年湖北理科第21题)一种 作图工具如图4所示O是滑槽AB的中点， 短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处 铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽 第34卷第l1期2015年11月 数学教学研究 37 AB滑动，且DN=ON一1，MN=3当栓子 D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O 转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔 尖画出的曲线记为C以0为原点，AB所在 的直线为 轴建立如图5所示的平面直角坐 标系 (I)求曲线C的方程； ()设动直线 与两定直线z ： 一2 = 0和lz： +2y=O分别交于P，Q两点若直 线z总与曲
10、线C有且只有一个公共点，试探 究：oPQ的面积是否存在最小值?若存 在，求出该最小值；若不存在，说明理由 y 入 J 图4 图5 解(I)所求的曲线C的方程为 生+ ：1 l64 f ，一詈， ()在伸缩变换r： 下，椭圆c 【 变为单位圆C ： + =1，两定直线z1： 一2 =O和z2： +23，一O依次变换成z 1：37 -y -0和z 2：z + =O，原坐标系下的点 P，Q，0依次变为新坐标系下的点P ，Q， ，如图6，图7 若直线z总与椭圆C有且只有一个公共 点，则z与椭圆C相切，即PQ与椭圆C相 切，从而P，Q 与圆c 相切， Sam,cl一专JP，Q Id一告lP，Q I， 根
11、据图形观察可知，当切点在圆与坐标 轴交点处时(图8)，l P Q I取得最小值，且 lP Q l -2，此时 1 SAap一去x12=1 根据伸缩变换的性质，有 S0PQ=abSzxae($=SSaapc18， 即(Sa )fIli =8 故当直线1与椭圆C在4个顶点处相切 时，kOPQ的面积取得最小值8 。、 厂 r j ，j 图6 | y j Q， 、 图7 图8 评析在研究直线与椭圆的位置关系的 问题时(如面积问题、平行问题、斜率问题 等)，利用伸缩变换将椭圆转化为圆后，往往 可以避免联立方程组这一繁琐的程序，而将 问题转化到直线与圆的位置关系这一大家非 常熟悉的问题中来，使得原来隐于椭圆内的 一些几何关系，得以显性化然后可以利用圆 的有关性质加以解决，这样不但避免了大量 而繁琐的运算，而且思路也十分流畅 纵观高考压轴题中的导数题和解析几何 题，许多题都有一定的高等数学背景，其内容 在初等数学与高等数学的衔接点上，是一块 重要知识，所蕴含是解题方法既可以是高中 知识，又可以借鉴高等数学知识因此，我们 必须重视高中数学选修系列中初等数学与高 等数学衔接处的主干知识的学习与挖掘
