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1、7第二章 非线性代数方程组的解法在非线性力学中，有多种类型的非线性问题，如材料非线性、几何非线性、接触非线性等。无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后,它们都归结为求解一个非线性代数方程组： 0)()(2121nnn 其中 是未知量， 是 的非线性函数，现引用矢量记n,21 , ,21号 Tn21上述方程组可表示为 0)(还可以将它改写为 RKF)(是一个 的矩阵，其元素 是矢量 的函数， 为已知矢量。在位移有限元中, )(Knijk代表未知的结点位移， 是等效结点力， 为等效结点荷载，方程 表示结0)(点的平衡方程。在线弹性有限元中，线性代数方程组 0可以毫无困难地求解，但对非线性方程组
2、则不行。一般来说，难以求得其精确解，)(通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。为了使这一系列线性解收敛于非线性解，曾经有过许多方法，但这些解法都有一定的局限性。某一解法对某一类非线性问题有效，但对另一类问题可能不合适。因而，根据问题性质正确选用求解方法成为非线性有限元的一个极重要的问题。本章将介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。2.1 迭代法前面已经提到，目前求解非线性方程组的方法一般为线性化方法。若对总荷载进行线性化处理，则称为迭代法。2.1.1 直接迭代法对非线性方程组(2-1)0RK)(设其初始的近似解为 ，由此确定近似的 矩阵00根据式2-1可得出改进的
3、近似解 11)(重复这一过程，以第 i 次近似解求出第 i1 次近似解的迭代公式为8(2-2)RK11)(ii直到(2-3)iii1变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足2-1式,即 0RKii)(作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。)(图 2-1 为凸曲线F图 2-2 为凹曲线F9对于一个单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如图 2-1 和图 2-2 所示，它们分别给出 为凸和凹曲线时的迭代过程。可以看出 就是过曲线上点(F)K)(,与原点的割线斜率。对于单变量问题，这一迭代过程是收敛的，但对多自由度情况，由于未知量通过矩阵 耦合，迭代过程可能
4、不收敛。K2.1.2 NewtonRaphson 方法NewtonRaphson 方法是求解非线性方程组(2-4)0RF)(的一个著名方法，简称 Newton 法。以下将介绍这种方法。设 为具有一阶导数的连续函数， 是方程（2-4）的第 i 次近似解。若)(i)(ii希望能找到一个更好的、方程（2-4）的近似解为(2-5)iii1将（2-5）代入（2-4） ，并在 附近按一阶 Taylor 级数展开，则 在 处的线性近i )(i似公式为 iii)(1其中 ii)(nn212)(引入记号 iiTi )(K假定 为真实解，则由1i 0 iTiiii )()(1解出修正量 为i(2-6)(11iii
5、iTi FR由于这样确定的 仅考虑了 Taylor 级数的线性项，因而按式（2-6）和（2-5）求出的新i解仍然是近似解。这样，Newton 法的迭代公式可归纳为10(2-7)iii iiiTiiTiiTiFKRK1 11)()(对于单变量的非线性问题，其迭代过程见图 2-3 和 2-4，可以看出 是 曲线上)(TKF通过点 的切线斜率)(FNewton 法的收敛性是好的，但对某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭代过程中 可能是奇异或病态的，于是 的求逆就会出现困难。为此，可引入一个阻尼TKTK因子 ，使矩阵 或者成为非奇异的，或者使它的病态减弱。这儿 为 阶的Iii In单位矩阵。
6、 的作用是改变矩阵 主对角线元素不占优的情况。当 变大时，收敛速度i i i变图 2-3图 2-4慢，当 0 时，收敛速度最快。引入 后，将用下式代替（2-6）ii(2-8)iiTIK1)(2.1.3 修正的 Newton-Raphson 法采用直接迭代法和 Newton 法求解非线性方程组时，在迭代 过程的每一步都需要重新计算 。如将 Newton 法迭代公式中的 改用初始iTKiT矩阵 ，就成了修正的 Newton-Raphson 法（简称修正)(00T KR 011的 Newton 法） 。此时，仅第一步迭代需要完全求解一个线性方程组，并将三角分解后的存贮起来，以后的每一步迭代都采用公式
7、0TK(2-9) 图 25iTi10)(这样，只需按式(2-9)右端的 进行回代即可。i修正 Newton 法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度降低。为了提高收敛速度，可引入过量修正因子 。在按（2-9）式求出 之后，采用下式计算新解iwi(2-10)ii1为大于 1 的正数。可以采用一维搜索的方法确定 ，此时将 看作 n 维空间中的搜iw i索方向，希望在这一方向上找到一个更好的近似值，即使不能得到精确解（使 的0)(解）,但可通过选择 使 在搜索方向上的分量为零，即i)(2-11)0)(iiTi 这是一个关于 的单变量非线性方程。i在应用修正的 Newton 法时，还可以在每
8、经过若干次迭代后再重新计算一个新的 ，0TK也可达到提高收敛速度的目的。2.1.4 拟 Newton 法前面所谈的 Newton 法，每次迭代后需要重新计算一个新的矩阵 ，而修正的TNewton 法保持 不变。拟 Newton 法的主要特点是每次迭代后用一个简单的方法修正 ，0TK的修正要满足以下的拟牛顿方程(2-12)()(11iiiii 对于单变量情况，上式中的 是导数 的近似表达式，实际上就是割线劲度i i矩阵。由图 2-6 可知 )()(010100 FRK10101)(FK)(1R 图 2-6 拟 Newton 法(2-13)iiiiK11)(显然 就是相应于 与 的割线劲度矩阵。但
9、实际上对于i iii1 iii1多维情况，无法由（2-13）式求出 。.我们可仿照位移的迭代公式来建立劲度矩阵逆矩K阵的迭代公式：(2-14)111)()()(iii K12那么只要由 和 求出 ，就可以确定 。.这儿，修正矩阵ii1)(iK1)(iK的秩 m1，通常取 m=1 或 2。对于秩为 m 的 阶矩阵，总可以将它表示为)(iKNABT的形式，A 和 B 均为 阶矩阵。得到 后，再由它求出N1i i(2-15)i)(1) 秩 1 算法修正矩阵 表示为1)(i(2-16)TiABK1)(其中 A 和 B 均为 N1 阶向量。将（2-16）式代入（2-14）后，再将（2-14）式代入（2-
10、15）式可得 iiiiTAB1)(若 ，则0iT(2-17)iTiii /1将（2-17）式代入（2-16）得(2-18)iiii BK)()(11式中(2-19)当当0BiiT0若取 ，由（2-18）和（2-19 ）式得1)(iTiTKB（当 时） (2-20)iiTiiiii K111 )()( 0i根据上式和式（2-14）求出的 是不对称的，因而式（2-20 ）是非对称秩 1 算法。i若取 ，由（2-18）和（2-19 ）式可得iiKB1)(（当 时）iTiiiiiii )()( 11 iiiK1)(2-21)可以看出，只要初始逆矩阵 是对称的，那么按式（2-21）和（2-14 ）求出的
11、10)(1)(iK总是对称矩阵。所以式（2-21）是对称秩 1 算法。(2) 秩 2 算法一个 阶的秩 2 矩阵，总可以表示为N(2-22)TTi 21211)( BABAK式中 A1、A 2、B 1 和 B2 均为 N1 维向量。将上式代入（2-14 ） ，再代入（2-15）得(2-23)iiiiTiT K12)(为满足（2-23）式，可取13iTBA1 iTiBKA21)(代回（2-22）式得(2-24)TiiTii 21211)()(K其中(2-25)当当0BiiT01(2-26)当当iiT2为了使它具有更普遍的意义，考虑作以下的变换iTB1 iTB2则显然有 (2-27)21iTiTB
12、于是式（2-24）成为(2-28)TiiTii 2111)()( BKK引入参数 ，将 和 取为如下的组合形式T12 11 )()()( iTiiTiiiTi KB（ ） (2-29)0ii TiiiTiiTiT )()()(1 12 K（ ） (2-30)0iii显然，这样选择的 和 满足（2-27）式。现将（2-29）和（2-30）代入（2-28）式得TB12(2-31)()()( )()( )()()()( 11 11111 TiiiiTii iiTiiiiTiiiii iiTiiTii K KK 14可以看出，只要初始逆矩阵 是对称的，那么按（2-14）和（2-31 ）式得到的10)(
13、K1)(iK总是对称矩阵，因而（2-31）式是对称的秩 2 算法。如令式（2-31）中的 =0，便得到 DFPDavidon-Fletcher-Powell公式(2-32)iiTiiiTii KK 111 )()()()(如令 ，可得 BFS（Broyden-Fletcher-shanno）公式1)(iTi(2-33)iTi TiiTiiiiiiTi K )()()()(11式（2-20） 、 （2-21） 、 （2-32 ）和（2-33 ）中的任一个与式（2-14 ） 、 （2-15）联立，便构成解非线注方程组的拟 Newton 法。实践表明，BFS 的秩 2 算法是目前最成功的算法之一，它
14、具有较好的数值稳定性。从以上迭代法的计算过程可以看出，随着迭代次数的增加，失衡力 逐RKii渐减小，并趋于平衡。可见迭代法就是用总荷载作用下不平衡的线性解去逼近平衡的非线性解，迭代的过程就是消除失衡力的过程。对于不同的迭代方法，这一过程的快慢也就是收敛速度是不同的。一般来说，Newton 法最快，拟 Newton 法次之，修正的 Newton 法最慢。理论上可证明，Newton 法的收敛速度为二次，修正的 Newton 法收敛速度只有一次，BFS 秩 2 拟 Newton 法的收敛速度介于一次和二次之间。不过，各种方法的效率不仅与收敛速度有关，还与每一步迭代所需的计算量有关。Newton 法每一步的计算量最大，拟Newton 法次之，修正 Newton 法最小。因而对于某个具体问题，往往需要进行数值实验，才能判断哪个方法较高。一般来说，不同问题可选用不同方法，究竟用哪一种？与所研究问题的性质、计算规模及容许误差等因素有关。2.2 增
