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1、高等数学下册内容要点 张谋 2014061高等数学（下）内容要点第七章 向量代数与空间解析几何1向量的运算：模、方向余弦、加、减、积已知向量 ，则(,), (,)xyzxyzxyzxyzaijakbijbk22,cos,cs,cos|xyz a，1cso,cos|xyz数量积： cos,Prrbaxyzabajjba注意下面两个性质的应用：（）设 是任意向量，则 ； 2|（） ；ab从而有 2ba向量积： 0sin,xyzijkabca其中 。构 成 右 手 系且的 单 位 向 量是 同 时 垂 直 于 00 , cb，c 在几何上表示以 为邻边的平行四边形的面积。baba注意性质： ()()
2、混和积： 321)(, cbacba其中 的混合积的绝对值等于以 为棱的平行六面体体积。cba, a,2向量之间的平行、垂直、共面条件两向量垂直的充要条件： .0b两向量平行（共线）的充要条件：高等数学下册内容要点 张谋 2014062312/ 0.aababb3 平面与直线（1）平面及其方程点法式方程： 0)()()(00 zCyBxA一般式方程： Dz截距式方程： 1cbya三点式方程： 0131313222 zyx（2） 直线方程点向式方程： （对称式方程）pznymx000一般式方程： 2211DzCyBxA两点式方程： （实际是对称式方程）010101参数式方程： ptzntymtx
3、,直线的三种方程可以相互转换。（3） 点到平面的距离，点到直线的距离，异面直线间的距离点 到平面 的距离：),(00zyxM0DCzByAx 2200CBADzyxd点 到直线 的距离： ，1 pnm000sM10其中 为直线的方向向量， 。s00(,)Mxyz两异面直线 间的距离：111222,xyzznpmnp高等数学下册内容要点 张谋 20140631212()sMd该公式可理解为（1）直线上的两点 对应的向量 在 投影的绝12,1212()s对值。或（2） 表示 为棱边的平行六面体的体积，而体积又1212()sMs可表示为 。d（4） 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系（平行、垂
4、直、相交） 。两平面法向量的夹角(常取锐角)称为两平面的夹角.两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（取锐角） 直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角（取锐角）平面束设有两张不平行的平面，交成一条直线 ，过直线 的所有平面的集合称为L由直线 所确定的平面束。L设空间直线的一般式方程为 0: 2211DzCyBxAL则方程(10)11 2()()0xyzxyz 称为过直线 的平面束方程。其中 、 为参数，且不全为零。L1.过点 且与直线 平行的直线方程为 (1,)M2036xyz2.已知平面 过点 且与直线 垂直，求此平面方程。(,20)021xyz3.已知向量 ，如图,OAbBa
5、DA(1) 求证: 的面积2.bS(2) 当 夹角 为何值时, 的面积为最大?,abA解(1)连接 ,则AB12OB abSabD abOADB高等数学下册内容要点 张谋 2014064同时, cosababaOD所以 21.2bSA(2) 22211cosinsi4abab所以当 时,面积为最大.44.设 ， ，试求 的值，使得：35aijk9bijk1） 与 轴垂直；z2） 与 垂直，并证明此时 取得最小值。ab解 首先 = ，(2,51,)1） 与 轴垂直，就是 与基本单位向量 垂直，即abzk，0k从而 (32,51,9)(0,290所以，当 时， 与 轴垂直；4.abz2） 与 垂直
6、，即aba从而有 ,()()()387所以，当 时， 与 垂直。738记 ，则 = ，d2abd222(3)(51)(9)求导 ，得驻点 ，且 ，61478076d所以当 时， 取得最小值。7385.求两直线 的公垂线方程。0420425zxyzyx与解：直线 40129zyx的 对 称 式 方 程 为直线 028042zxy的 对 称 式 方 程 为公垂线的方向向量为 2,1,4,12设垂足分别为 ，则)8()9( utt高等数学下册内容要点 张谋 20140650,21,2410829 ututtut 解 得公垂线方程为 zyx高等数学下册内容要点 张谋 2014066第八章 多元函数的微
7、分一、多元函数的概念、极限、连续二、偏导数、全微分定义偏导数： ，0000(,)(,)(,)limxxfxyffyyxfffyy ,li, 0000全微分：设 ，若 ，则称),(xfz 2),(yxyBxAz 在点 可微，并称 为 在点),(yxfz0y dzd ),(yxf的全微分。0注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处二元函数在某点处有存在连续偏导数 可微连续可偏导方向导数存在极限存在三、多元复合函数的求导法则显函数多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。在用法则时关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量，为此我们把变量之间
8、的关系用图示来表式，称为变量之间的关系图，或称为变量之间的树形图。另外还注意抽象复合函数 等的偏导数的求法，其中主要是正确理解),(yxf和使用符号 等。21,f可导 可微 连续 极限存在高等数学下册内容要点 张谋 2014067求法：事实上，在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则，只是当时没有明显写出变量之间的关系。如设 yzxvxyuvezu ,sin求其 中法 1 原题即是求 ezxy ,)sin(的 偏 导 数法 2 明确变量之间的关系为：zuvxy利用复合函数的求导法则 ， 即可求出偏导xvzuxz yvzuy数。法 3 利用全微分的形式不变性，先计算全微分，后得偏导数 .)
9、cossin()cossin( )(cos(dyvexdvey dyxvexduz uuuu 所以得 )(iyx xxu 隐函数的求导法则我们知道表示函数的方法是多种多样的，如显式表示，隐式表示（又分为单个方程或方程组） ，参数方程（显式或隐式）表示等，相应就产生各式各样的求导法则或公式。1） 由二元方程 所确定的一元隐函数 的导数 的求法：0),(yxF)(xfydxy（1）显化：由 解出 （满足隐函数存在定理的条件） ，利用一, )(xf元函数的求导法则，求出 。d由 解出 ，利用反函数的求导法则，求出0),(yxF)(yfx 1dyx（2） 视 的函数用复合函数的求导则为（3） 用隐函数
10、的求导公式 yxFd（4） 利用函数的微分高等数学下册内容要点 张谋 20140682）由三元方程 所确定的二元函数 或 等的偏导0),(zyxF),(yxfz),(zg数等的求法（与上面相应）yxz, 显化：一般行不通 视 的函数，两边分别对 求导，则可得到xz,为 yx, yzx, 隐函数的求导公式 zyzxF, 利用微分方程组 确定隐函数 )(,xzy，求0),(zyxGF dxzy,通过解下面的线性方程组得到 0dxzGyFx四、多元函数微分学的几何应用1空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为相对应为切点),(),(,),(: 00zyxttztytx与 空 间 直 角 点参
11、数 则切线向量为 )(,0xs切线方程为 )()(000tztyt法平面方程为 0)(0ztyx 设空间曲线的一般方程为 ),(,0),(: 0zyxzyxGF切 点 为高等数学下册内容要点 张谋 2014069则切线向量为 ，或为 （将曲线pnmGFkjiszyxyx ,),(0 )(,10xzy方程转化为参数方程）切线方程为 pnm000法平面方程为 0)()()(00 zyx2 空间曲面的切平面与法线 设曲面方程为 为 切 点),(,),(: 00xMzF则切平面的法线向量为 CBAFnzyx ,(切平面方程为 )()()( 000CBxA法线方程为 zy 设曲面的参数方程为 ),(),
12、(),(),(),(: 00vuzyxvuzvux 对 应 的 参 数 为切 点则切平面的法向量为 CBAzyxkjinvvuu,切平面方程为 0)()()(00BA法线方程为 Czx五、方向导数与梯度1 方向导数定义：函数 处沿 方向的函数的增量),(),(0yxf在 点 l与这两点 的距离(00fyxf ),(),000yxyx之比，当距离 的极限，记为2fl即 000(,)(,)limfxyfxyf高等数学下册内容要点 张谋 20140610表示 处沿方向 的变化率。lf),(),(0yxf在 点 l关于方向导数的存在性与计算有下面的定理定理 如果函数 可微分，则函数在该点沿任一方向 的
13、方向导),(),(0f在 点 l数存在，且有 cos),(cos00yxfyxl其中 是方向 的方向余弦，即 是与 同方向的单位向cos,l ),lel量。（同理有 ）cos),(cos),(cos),( 000 zyxfzyxfzyxfl z2 梯度定义： jfifgradf yx ),(),(),( 000方向导数与梯度的关系： cos),(),(cos),(cos),( 0000 yxgradfeyxgradffyxfl ly其中 的夹角。legradf与是所以函数在一点的梯度是一个向量，它的方向是函数在这一点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。（同理有 ）kzyx
14、fjzyxfizyxfzyxrf z ),(),(),(),( 0000六、多元函数的极值及其求法定义：对 的去心邻域内的任意一点 都有),(0P),( ，则称),yxff ),(),( 00yxfyxf有 极 大 值在 点 ，则称),(0),(有 极 小 值在 点定理 1（取极值的必要条件） 有偏导数，且在点 处有),0yxf在 点 ),(0yx极值，则有 (,),(00yxyxf使 的点 ，称为 的驻点。),(0fyx ),),(yxf上定理可改写为：在偏导数存在的前提条件上，极值点必为驻点。但反之不成立。定理 2（取极值的充分条件） 在点 的某邻域内连续且有一阶及二),(yxf),(0y阶连续偏导数，又 ，令0),(0fyx，则),(),(0 xfCByxfAy高等数学下册内容要点 张谋 20140611 时， 是极值，且 时是极小（大）值02ACB),(0yxf )0(A 时， 不是极值 ，不能肯定 是否是极值，还需另作讨论。2)
