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1、74章节 第七章 日期重点难点第七章 多元函数积分学一二重积分的计算，交换积分次序与累次积分的转换1利用直角坐标系计算二重积分若 D 为 X型区域： 12()():,xyab则：21()()(,),xbafxydfd若 D 为 Y型区域： 2():,yyc则：21()()(,),ydcfxyfxd若积分域较复杂，可将其分为若干个 X型或 Y型区域，则：123DD例（02 研）：计算二重积分 ，其中 。2max,yed01:xDy解：积分域为正方形，而被积函数需分块表示： 22,max,(,)yxy用直线 将积分域分为两块 ，则：1201:,:0xyx原式 （利用二积分的对称性）221xyDDe
2、dexd22221111000|x xxede2利用极坐标系计算二重积分二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式： (,)(cos,in)DDfxydfd75章节 （续） 日期重点难点设 ，则：12()():Dcos,infd21()cos,in)dfd特别地，对 ，有：0):(cos,inDfd 2()0cos,in)fd若 则可求得 D 的面积：1201Dd若是普通闭区域，面积为： )(212若是扇形区域，面积为： 2()d例（05 研）设 表示不超过2 2(,)|,0,Dxyxyxy的最大整数，计算 。2121D解：在 D 上： 22,0,xyxyxy将 D 分为两块： 21 2:
3、,0,:1,y换成极坐标有141: 02D原式 12DDxydxyd142 21 23 3000sin()sin()d 1424122|i|81()2()76章节 （续） 日期重点难点773交换积分次序与累次积分的转换方法：根据已知积分限确定积分域，再根据其图形确定变换后的积分域。例 1 （06 研）设 为连续函数，则 （ C (,)fxy410(cos,in)dfrrd）A B2210(,)xdfd 2210(,)xfyC D2120,yf 2120,ydfd解：根据已知积分域有 ，是半径为 1 圆心在原点的圆位于第:4r一象限部分的一半，圆方程为 ，若化成直角坐标系下的二次积分，2xy当选
4、择 X 型域时，需将积分域化为两部分，而所给四个选项均只有一项，故应使用 Y 型域，有21:0Dy 原积分 ，选 C。2120(,)ydfxd例 2设函数 在0，1上连续且 ，求 。()fx10(fxA10()xdfyd解：积分域如图，交换积分次序有： 111000()()(yxIfdfyfdf由于定积分与积分变量无关，可将后式写为：，将此式加上所求有：100()Iff1102()xxfdfyfdfy11200()fxdfyA即： 21IA章节 （续） 日期78重点难点二三重积分的计算1利用直角坐标系计算三重积分方法 1：投影法（“先一后二” ） ， 12(,)(,):zxyzxyD细长柱体微
5、元的质量为：21(,)(,),)zxyfd该物体的质量为： 21(,)(,)(,),)zxyDfxyzdvfzxy记作：21(,)(,)Dzxyfz方法 2：截面法（“先二后一” ） ， (,):xyDazb以 为底， 为高的柱形薄片质量为：zd(,)zDfdxyz该物体的质量为： (,)(,)zbaDfxyzvfxyd记作： ,zbaDdfd方法 3：三次积分法，设区域1212(,)(,): (:zxyzxyab利用投影法结果，把二重积分化为二次积分即得： (,)fxyzdv2211()(,),)byxzxyadfzd记忆方法：先从面到面，再从线到线，最后从点到点。章节 （续） 日期,1微元
6、线密度 f,面密度79重点难点2利用柱面坐标系计算三重积分柱面坐标系中的体积元素为： ，则：dvz(,)(,)fxyzdFd其中： ,cos,in,Ffz例（91 研）：求 ，其中 是由曲线 绕 轴旋转一2()xyzdV 20xyz周而成的曲面与平面 围成的立体。4解：旋转曲面方程为： ，使用柱面坐标，有：22()/:0xyz原式 224242/0 0/ 1()dzdzd2401824260325643利用球面坐标系计算三重积分球面坐标系中体积元素为： 2sindvrd因此， 2(,)(,)sifxyzFrd其中： ,(sico,co)Frfr章节 （续） 日期80重点难点4利用区域的对称性与
7、被积函数的奇偶性化简多元函数的积分例：计算 ，其中 是由曲面 所围()xzdV 22,1zxyzxy成的区域。解：积分域是由球心在原点半径为 1 的上半球面与顶点在原点，对称轴为 轴，z半顶角为 的锥面所围成，选择球面坐标系，由于积分域关于 面对称，4 yO被积函数的第一项是关于 的奇函数，故：x原式421200cosinzdVrdr在点41 2400|sini|8r 三曲线积分与格林公式，两类曲线积分之间的联系1对弧长的曲线积分参数方程： 22(,)(),()Lfxydsftttd直角坐标系： ,1baffxx极坐标系： 22(,)()cos,()in()Lfxydsf d特别要注意弧微分公
8、式，应用很广泛。2对坐标的曲线积分 (,)(,)(,)AdsPxyzQxyzdRxyz3两类曲线积分之间的联系 coscosRdAdrA章节 （续） 日期81重点难点4格林公式，积分与路径无关的条件格林公式： （一般取逆时针方向为正向）DLQPdxyQdyA正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积： 12x平面上曲线积分与路径无关的等价条件：定理：设 D 是单连通域，函数 在 D 内具有一阶连续偏导数，(,)(,)Pxy则以下四个条件等价：（1） 沿 D 中任意光滑闭曲线 L，有： ；0LdxQyA（2） 对 D 中任一分段光滑曲线 L，曲线积分： 与路径无关，Pd只与起点和终点有关；（3） 在
9、D 内是某一函数 的全微分，即：PdxQy(,)uxy；(,)dxQd（4）在 D 内每一点都有： 。Py例 1 （91 研）在过点 和 的曲线族 中求一条曲(0,)O(,)Asin(0)yax线，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 的值最小。312Ld解：记曲线 ，则：:sin(,)aLyx3()1)2aIdy30si(si)cosaxdx200in2insxd34a章节 （续） 日期82重点难点再求 的最小值点：()Ia220,1()4(1),aIaa 在 上的最小值点是 ，则所求曲线为0,sin(0,)yx例 2 （99 研）求 ，其中 为(sin()(co)x xLIeybded ab正
10、的常数，L 为从点 沿曲线 到点 的弧。2,0Aa2ya(,O解：添加辅助线 使积分曲线成为闭合曲线1:()xsin),cosxPeybQex， ，则有：coxyPby(si()(s)xLIdad A1ncoxeybxe22 cos2000()()|aaaD bddx2220cos()4abb例 3 （03 研）已知平面区域 ，L 为 D 的正向边界，试证：:xy（1） ；sinsinsinsinyx xLLxededAA（2） sisi2证：（1）由格林公式有：左边 sinsinsinsi()()()yxyxD Dxeededy 右边 si si sisiyxyx章节 （续） 日期83重点难
11、点由于区域 D 关于 对称，可将 互换，则有：yx,xy，即：sinsi sinsi()()yDededsisinsisinxyxLLxAA（2）由（1）的结论并根据 有： sinsisii22xxxeesinsinnsinsi()()yxy yLDDeddedx sii 2x 四曲面积分与高斯公式，两类曲面积分之间的联系1方向导数章节 （续） 日期重点难点五斯托克斯公式，向量场的散度和旋度1多元函数的极值问题章节 （续） 日期重点难点六多元函数积分学的应用84章节 （续） 日期重点难点章节 第七章 习题及解答 日期重点85难点第七章 习题及解答1 （94 研）设 D 为圆域 ，则 _。22x
12、yR2Dxydab解：注意到：200cossind原式22342001Rdabab2 （01 研）交换二次积分的积分次序： _。12(,)yfx解：观察所给二次积分，由于 时 ，故此二次积分不是由二重积分得来的，而将后式上下限互换后的二次积分才是二重积分的一个累次积分，它与原式相差一个符号，先将其表示为： 021(,)(,)yDdfxfxyd其积分域为 12:0交换积分次序并考虑到与所求相差一个符号，有：原式202110(,)(,)xxdfydfy3 （07 研）设曲线 （ 具有一阶连续偏导数） ，过第象限:L内的点 M 和第象限内的点 为 L 上从点 的一段弧，则下列积分,NMN小于零的是 （ B ）A B C D(,)fxyd(,)fxyd(,)fxyds(,)f解：记两点坐标为 ，将 代入被积表达式得：,(,)MN(,)1fA (,)10xMfxyddx章节 （续） 日期86重点难点B (,)10NMyMfxyddxyC 的弧长sD (,)(,)xyffx（ 对 求全微分得： ） 选 B。1(,)(,)0xyfdfx4 （99 研）设 是由方程 所确定(),()z ,zFz的章节 （续） 日期重点难点5 （05 研）设函数 ，单位向量 ，22(,)168xyzuxyz1(,)3n6 （97 研）设直线 在平面 上，且平面 又与曲面0:3bLa
