有关高考概型试题几点思考

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1、关于高考概型试题几点思考概型试题是近年高考的必考内容，在年的份卷中多以综合题（中低难度）出现，是一般考生应该得分的地方；不过，概型试题也有多元的曲意，解题时需有合理的思维本文以例题为载体，对概型试题几个常见问题进行了深入的思考，以飨读者一、要准确理解题意，巧破题设“陷阱”高考概型试题出题环境大多是应用题，题面表述具体，语言还是比较规范、简洁；一般情况下，只要准确理解了题意，用相应的概率知识解决是不会很困难的；可部分考生由于语言文字能力没有过关，或在考试时对题意只是大概的理解，没有深入思考等，不能破解命题者故意设置的思维障碍例 1体育课进行篮球投篮达标测试规定：每一位同学有次投篮机会，若投中三次

2、就算达标为了节省时间，同时规定：若投篮不到 5 次已经达标，则就停止投篮；若当后面投篮全中，也不能达标（例如，前三次都末投中的情形） ，则也停止投篮同学甲投篮的命中率为，且每一次投篮互不影响 （I）求同学甲投了 4 次才达标的概率；（II）设测试中甲投篮的次数记为 ，求 的分布列及数学期望 E这是浙江省台州市年一次模拟试题，从考试结果来看，得分很不理想，大大低于一般模拟时概型的试题得分，究其原因是学生对条件“若当后面投篮全中，也不能达标（例如，前三次都末投中的情形） ，则也停止投篮”理解不到位出错，这个条件就是本题的难点本题用到的基础知识主要是等可能事件概率公式与独立重复试验中事件的概率公式什

3、么是等可能事件的概率公式？等可能事件是指每一个基本事件出现的可能性都相等，常用的概率公式是 P=m/n；在具体的应用中，要灵活、准确地运用排列组合的知识计算公式中的 m,n对于独立重复试验中事件的概率公式，先要正确判断给出的试验是否为独立重复试验，如果是，才可以采用公式 n(k)= pk(1-p)n-k；在应用公式时，一定要弄清楚公式中的Cn,p,k 的意义分析：（I）所求的概率 1= 278)3(23（II） 的取值应该是 ；5,4当 时，甲是投了 3 次就停止了，甲一定是这 3 次全部投中（已经达标了） ，或甲这33 次全部没有投中（肯定不会达标了） ，所以，( =3)= ；31)(2当

4、时，甲是投了 4 次才达标（概率就是 P1） ，或甲投了 4 次时没有达标希望就停止4了（前 3 次中仅只有一次投中，第 4 次没有投中） ，所以，( =4)= 1；2710)3(13C当 时，( =5)= 1( =3)( =4)=8/27；5所以所求的分布列为右表， 27/0E从这个例题可以看出：（绝大部分的）概型试题实际上就是应用试题，既然是应用试题，理解题意本身就是一个难关，所以，教师在概型知识辅导时，应该培养学生有以下的优良习惯：1培养学生优良的阅读习惯，如对题目层次的合理分析，句子的准确理解，词语的正确把握，题意等价翻译等；2审题时要有确定题意中的重点、难点的习惯，如用反复阅读、正反

5、理解、冷静反问等“啃硬骨头”方法去破解；3有归属归类的习惯，即思考这概型试题是归属哪类概型知识的，用相应的知识去解决它；4检验习惯，即解后还要通过各种方法去检验的习惯二、分类准确合理，切忌重复遗漏准确、合理的分类与分步是解决排列、组合的一个数学基本技能，它们总是连在一起的，可概率计算的基础是排列、组合知识；因此，分类分步错误主要根源在于排列、组合的知识基础不扎实；作为概率部分知识，容易混淆还有下面两类概率知识互斥事件有一个发生的概率及对立事件的概率：解决此类问题时，首先要分清事件是互斥事件还是对立事件，然后选用以下两种方法：一是将可求事件的概率化成一些彼此互斥的事件，利用概率的加法公式，即、是

6、一个试验中的两个互斥事件，则事件、有一个发生的概率（）（）（） ；二是利用对立事件和的概率公式，即、是一个试验中的两个对立事件，则有概率公式（）（）在利用这两个公式时切忌分类的重复遗漏相互独立事件同时发生的概率解决此类问题时，首先要清楚事件是互斥事件还是相互独立事件，然后，选用对应的概率公式解决问题:若、是一个试验中的两个相互独立事件，则事件、同时发生的概率（）（）（） 关于如何合理、准确分类是一个基础问题，本文限于篇幅，只谈下面的两点请先阅读下面的高考试题，看看能给我们一点什么启发例 2 （2009 全国卷理）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工345p1270

7、8人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；（III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望 分析：（I）甲、乙两组抽取人数分别为 人、 人2（II）从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 15/8/20164C（III） 的可能取值为 0，1 ，2，3；( =0)= ，( =1)=715320，( =3)= ，( =)= ( =) (75812041532064CC15206C= )( =)=31/75

8、；分布列及数学期望略在计算( = )时，采用间接(作差法)的分类方法，若用直接法也可，但较繁琐；因此，间接分类方法是避免分类出错、使解题过程简捷的一个重要方法，这就要求教师在教学时应对学生增强灵活变通能力的培养其实，大多情况下，高考的概型试题分类并不是很复杂类型种数小，每一类的步骤也不多，有的时候只要把每一类每一步的内容逐一排列出就明确了（如下例） ，这样就可以避免分类出现错误例 3 （09 年山东卷理）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A

9、 处的命中率 q 1为 0.25，在 B 处的命中率为 q 2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（I）求 q 2的值； （II）求随机变量 的数学期望 E；（III）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小解：（I） 8.020 2 3 4 5p 0.03 P1 P2 P3 P4（II）当 =2 时, P 1= =0.75 q 2( 1)20.24)(BA当 =3 时, P 2 = 0.25(1q) 2=0.01；当 =4 时, P3= .75 =0.48；)(BAq当 =5

10、 时, P 4 0.25q 2(1q 2)+0.25q2=0.24)(AB所以随机变量 的分布列如右，数学期望63.E（III）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3分的概率为 ()P2(1)0.896q；该同学选择（1）的方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大由上例：为使分类和分步不出错，逐一分类或逐一分步是做概型试题的一个基本技巧，一个基本的习惯三、古典概率与几何概率区别古典概率：古典概率的两个特征为有限性和等可能性利用这两个特征判断是否为古典概率对于古典概率型，事件的概率为（） 高考对古典概率总 的 基

11、本 事 件 个 数包 含 的 基 本 事 件 数A考查一般是不会这样直接的，而是要求附加一定难度的条件分析与判断，这个分析与判断其实是这道试题思维的核心部分和难点所在几何概率：与古典概率不同的是，几何概率型的特点是无限性和等可能性对于几何概率问题来说，事件的概率（） 总 基 本 事 件 构 成 的 测 度的 测 度构 成 事 件 A)(古典概型是指试验结果是有限个、等可能的，几何概型是指试验结果为无限个、等可能的；共性是等可能的，区别是有限与无限；由于几何概型的无限性，考生往往分不清楚是否为等可能的；另外，对几何概型试题，在具体计算时，一些比较浅显的问题往往是不容易抽象出变量来，也无从求出变量

12、所有关的测度例 4已知等腰三角形t ABC 中， ，如图 1 （ I） 在 线 段 BC 上 任 取 一点 M， 求 使 得 的 概 率 ；（ II） 在 内 任 意 作 一 条 射 线 AM， 求 使 得 的 概 率 分 析 ： 无 论 是 什 么 概 型 ， 首 要 搞 清 楚 的 “试 验 ”是 什 么 ， 才 能搞 清 楚 “结 果 ”是 否 为 “等 可 能 的 ”以 及 “基 本 事 件 空 间 ”是 什么 （ I） 中 的 “试 验 ”是 “在 线 段 BC 上 任 取 一 点 M”， “结 果 ”是 “点 M（ 不 是 ） 在 线 段 CB 上 均 匀 分 布 ”， 即 这 种

13、 分 布A 0 2 3 4 5p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24是 等 可 能 的 ； 其 “基 本 事 件 总 空 间 ”的 测 度 是 “线 段 CB 的 长 ”， 事 件“ ”所 包 含 的 基 本 事 件 空 间 的 测 度 为 “线 段 CM 的 最 大 长 ”； 所 以 ，设 CA=CB=a， 当 时 a/ ， 所 求 的 概 率 为3p1=CM0/CB=1/ 3（ II） 中 的 “试 验 ”是 “在 内 任 意 作 一 条 射 线 AM”， “结 果 ”是 “射 线AM（ 不 是 ） 在 内 均 匀 分 布 ”， 即 在 内 以 点 A 为 端 点 的 所有

14、射 线 分 布 是 等 可 能 的 （ 可 以 看 成 是 以 AC 为 始 边 逆 时 针 方 向 等 角 速 度 旋 转 ） ； 其“基 本 事 件 总 空 间 ”的 测 度 是 “ 的 大 小 ”即 为 ， 事 件45“ ”所 包 含 的 基 本 事 件 空 间 的 测 度 为 ， 所 求 的 概 率 为 P2=3032450在 问 题 （ II） 中 ， 有 些 读 者 认 为 点 M 与 射 线 AM 成 一 一 对 应 ， 作 一 个 点 M 就 是 作一 条 射 线 AM， 这 样 问 题 （ II） 中 的 概 率 就 与 问 题 （ I） 中 的 概 率 一 样 了 两 种

15、答 案 是不 同 的 ， 问 题 出 在 哪 里 呢 ？ 就 出 在 “等 可 能 上 ”； 容 易 看 出 ， 当 射 线 AM 在 内CB逆 时 针 等 角 速 度 旋 转 时 ， 点 在 线 段 CB 上 从 左 到 右 加 速 运 动 ， 所 以 这 时 点 M 不 是等 可 能 的 ， 用 作 点 M 来 代 替 作 射 线 AM 是 错 误 的 由 此 再 次 强 调 ， 解 概 率 题 首 先 要 弄清 楚 所 做 的 “试 验 ”是 什 么 ， 不 要 随 意 转 化 为 其 它 的 试 验 ， 其 次 要 弄 清 楚 “结 果 ”是 什 么 ， 不 要 把 所 求 的 “事 件 ”当 作 “结 果 ”近 两 年 来 的 高 考 几 何 概 率 的 考 试 要 求 还 是 很 低 的 ， 做 起 来 比 较 容 易 ， 只 要