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1、2012 小学“希望杯”全国数学邀请赛 - 赛前集训专题系列（四年级）专题八 数论初步【名师导航】数的整除1. 熟悉并掌握 2、 3、 5、 9 的倍数的特征。2. 一个数的末两位数能 4 或 25 整除，这个数就一定能被 4 或 25 整除。 （ 4 25=100） 。3. 一个数的末三位数能被 8 或 125 整除。那么这个数就能被 8 或 25 整除。 （ 8 125=1000。 ）4. 一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被 7、 11、 13 整除，这个数就能被 7、 11、 13 整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于 0 比较常见）能被
2、11 整除，这个数就能被11 整除。 （很常用，请牢记。 ） （ 7 11 13=1001。 ）5. 如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。6. 如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果 c a， b 是整数，则c ab。7. 如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果 a b， b c，则 a c。8. 如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果 a c， b c，且 a、 b 互质，则 ab c。质数与合数1. 一个
3、数的约数只有 1 和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了 1 和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。2. 由于 1 的约数只有 1 个，所以 1 既不是质数，也不是合数。3. 两个数的公约数只有 1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。4. 质数与互质数这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。5. 把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这样的质数叫做质因数。6. 把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。公因数和最大公因数几
4、个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如： 12 的因数有 1， 2， 3， 4， 6， 12；30 的因数有 1， 2， 3， 5， 6， 10， 15， 30。12 和 30 的公因数有 1， 2， 3， 6，其中 6 是 12 和 30 的最大公约数。一般地我们用（ a,b ）表示 a,b 这两个自然数的最大公因数，如（ 12， 30） =6。如果（ a,b ） =1, 则 a,b 两个数是互质数。公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如： 12 的倍数有 12， 24， 36，
5、48， 60， 72，,18 的倍数有 18， 36， 72， 90，,12 和 18 的公倍数有： 36， 72, 其中 36 是 12 和 18 的最小公倍数。一般地，我们用 a,b 表示自然数 a,b 的最小公倍数，如 12 ， 18=36 。最大公约数与最小公倍数1. 最大公因数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法：（ 1）分解质因数法（ 2）短除法（ 3）辗转相除法（ 4）小数缩倍法（ 5）公式法： a b = （ a,b ） a,b 2. 最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：（ 1）分解质因数法（ 2）短除法（ 3）公式法： a b=（ a,b ） a,b ，这个公
6、式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。（ 4）大数翻倍法【例题精讲】数的整除例 1. 在里填上适当的数字，使所组成的数符合下面的要求。能被 99 整除。例 2. 在 28 后面补上三个数字，组成一个五位数，使它分别能被 3、 4、 5 整除，符合这些条件的五位数中，最小的一个是多少？例 3. 要使六位数 15 6 能被 36 整除而且所得的商最大，内应填多少？例 4. 工贸家电购买 36 台同规格的洗衣机，但发票总价的万位和个位数字被弄污不好辨认了，是 711元。已知进价每台洗衣机 2 千多元，请你补满总价。那么每台洗衣机的单价是多少元 ? 例 5. 从 1 到 20
7、07 的自然数中既不能被 3 整除，又不能被 5 整除的数共有多少个？例 6. 设 6 个口袋装有个数分别是 18、 19、 21、 23、 25、 34 的小球，小王取走其中的 3 袋，小李取走另外的 2 袋。若小王得到的球的个数恰好是小李得到的球数的 2 倍，则小王得到的球的个数是多少？质数与合数例 7. 9 个连续的自然数，它们都大于 80，那么其中质数最多有多少个 ? 例 8. 用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数 ? 例 9. a、 b 为质数 , 且 3a+7b=4
8、1, 那么 a+b 等于多少 ? 例 10. 几个质数乘积都是 70那么这几个质数两两相乘的和是多少 ? 例 11. 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“ 0” ( 脱靶 ) ，或者是不超过 10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、乙的总环数各是多少 ? 例 12. 如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少 ? 最大公因数与最小公倍数例 13. 甲数是 24，甲、乙两数的最小公倍数是 168，最大公约数是 4，求乙数。例 14. 求 899 与 493 的最大公约数 . 例
9、 15. 甲、乙、丙三个班的学生人数分别是 54、 48、 72. 现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同 . 问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？例 16. 某工厂加工配套的机器零件，要经过三道工序 . 第一道工序平均每人每小时做 20 件，第二道工序平均每人每小时做 16 件， 第三道工序平均每人每小时做 24 件 . 现有 1332 名工人， 问每道工序各安排多少人才算是合理的安排 . 例 17. 一些三位数能同时被 2、 5、 7 整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？【习题精练】1. 在里填上合适的数字，使所得的数能被
10、 11 整除。2. 五位数 能被 72 整除，两个中的数的积是多少？3. 从 401 到 1000 的所有整数中，被 8 除余 1 的数有多少个？4. 有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的 3 倍，且这个三位数除以 5 余 4，除以 11 余 3。这个三位数是多少？5. 在 1 500 中，不能被 3 整除，也不能被 7 整除的数有多少？6. 两个自然数的和与差的积是 41，那么这两个自然数的积是 _ _ 。7. 在下式子的中分别填入三个质数 , 使等式成立。 + + =50 8. 三个连续自然数的积是 1716, 这三个自然数是 _、 _、 _. 9. 已知两个数的和被 5 除余 1，
11、它们的积是 2924，那么它们的差等于多少 ? 10. 今有 10 个质数 :17,23,31,41,53,67,79,83,101,103. 如果将它们分成两组 , 每组五个数 , 并且每组的五个数之和相等 , 那么把含有 101 的这组数从小到大排列 , 第二个数应是 _ _ 。12. 学生 1430 人参加团体操 , 分成人数相等的若干队 , 每队人数在 100 至 200 之间 , 问哪几种分法 ? 13. 若自然数 P， 2P+1， 4P+1都是质数，则 3P 3 +17 的值有多少种可能，它们分别是多少？14. 某人上 8 天班后，就连续休息 2 天 . 如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？15. 有两个容器，一个容量为 27 升，一个容量为 15 升，怎样利用它们从一桶油中倒出 6 升油来？16. 一块长方形的纸，长 75 厘米，宽 60 厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？17. 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的 12 倍，是第三根的一半，第三根比第二根长 230 厘米 . 现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？18. 有 320 个苹果、 240 个桔子、 200 个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？
