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1、数学分析（一） 教学大纲课程编号： 074001课程名称：数学分析（一） 学时/学分： 80 学时/5 学分先修课程： 适用专业：数学与应用数学开课系或教研室：数学系 函数论教研室一、课程性质与任务1课程性质：数学与应用数学专业的学科基础课2课程任务：通过教学使学生掌握数学分析的基本概念、基础理论和基本方法；熟悉和掌握数学分析的各种论证方法和演算方法；了解分析方法的各种实际应用；具备相当的分析基础，为进一步学习数学专业课程做好充分的准备。教学过程中要重视课堂教学、习题课、作业批改、讲评和课后辅导等各个环节，要求学生完成一定数量的基本习题，适当配备一些具有一定难度的课外思考题。二、课程教学基本要
2、求本课程为学科基础课，共 80 学时，成绩考核形式为考试。三、课程教学内容（注：带者为重点内容）（一）实数集与函数（8 学时）实数集上的函数是数学分析研究的基本对象。这部分内容主要介绍实数集及其性质，区间、邻域、确界的概念和绝对不等式的性质，函数的概念与表示法，复合函数，反函数，一些特殊性质的函数，基本初等函数和初等函数。1、主要内容（1）实数：实数及其性质，绝对值与不等式；（2）数集与确界定理：区间与邻域，有界集，确界定理；（3）函数概念：函数的定义，函数的表示法，函数的四则运算，复合函数，反函数，基本初等函数和初等函数；（4）具有某些特性的函数：有界函数，单调函数，奇函数和偶函数，周期函数
3、。2、目的和要求（1）了解实数集及其性质，熟悉绝对值不等式的解法及其性质；（2）熟悉区间与邻域的概念，掌握确界的概念，理解有界集与确界定理；（3）熟悉函数的定义及其表示法，特别是分段函数的表示法；（4）熟悉复合函数与反函数的概念，函数的复合与分解，反函数存在的条件；（5）掌握基本初等函数及其基本性质，熟悉初等函数的定义；（6）了解利用定义证明函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；（7）了解简单命题的否定式叙述。（二） 、 （三）数列极限、函数极限（14、14 学时）极限是数学分析最重要的概念之一，极限方法和理论是数学分析的基本方法和理论，也是分析学的基本方法和理论。这部分内容主要包括数列与函数
4、极限的概念；收敛数列与函数极限的性质；数列收敛及函数极限存在的判定方法；两个重要极限；无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较。1、 主要内容（1）数列极限概念：数列，数列极限定义（ 定义）及几何意义；N（2）收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，不等式性质，数列极限的四则运算，无穷子数列的收敛性；（3）数列的收敛判别法：迫敛性定理，单调有界定理，柯西收敛准则；（4）函数极限概念：自变量趋于无穷时函数极限的定义（ 定义） ，自变量趋于M某一定数时函数极限的定义（ 定义） ，单侧极限与双侧极限的关系；（5）函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，四则运算；（6）函数极限存在的判
5、别法：迫敛性（两边夹）定理，归结原则（海涅定理） ，单调有界定理，柯西准则，两个重要极限；（7）无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较；(8) 曲线的渐近线。2、目的和要求（1）理解并掌握数列极限与函数极限的定义（ 定义， 定义， 定义）NM；（2）掌握利用定义（ 定义， 定义， 定义）来描述极限问题并利用NM定义证明极限的一些基本方法；（3）熟悉极限唯一性，有界性，保号性的叙述和证明并利用它们证明有关极限命题，了解归结原则的内容；（4）熟悉运用定义，四则运算、极限存在的判别方法、两个重要极限及柯西准则，判别极限的存在性；（5）熟悉数列与子数列间的关系；（6）熟练掌握计算数列极限与函数极限的基本
6、方法（四则运算，夹逼性，两个重要极限等） ；（7）了解无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较，熟悉等价无穷小；(8) 会求 曲线的渐近线（四）函数的连续性（10 学时）连续函数是数学分析主要研究的对象，在生产实际中具有重要的意义。这部分内容主要包括函数连续性的概念，连续函数的性质，复合函数与反函数的连续性，初等函数的连续性。1、主要内容（1）连续性概念：函数在一点的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，区间上的连续函数；（2）连续函数的性质：连续函数的局部性质（有界性，保号性） ，闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性，介值性） ；（3）连续函数的四则运算，复合函数与反函数的连续性，初等函数的连续
7、性；（4）一致连续的概念。2、目的和要求（1）熟悉连续函数的概念及 定义，熟悉间断点的分类及其判定；（2）熟悉连续函数的局部性质；（3）熟悉闭区间上连续函数的性质及其应用；（4）熟悉初等函数的连续性，了解一致连续的概念。（五）导数和微分（14 学时）导数和微分是微分学的两个重要概念，是研究数学分析的主要工具。这部分内容主要包括导数和微分的概念，求导法则，高阶导数与高阶微分。1、主要内容（1） 导数概念：导数定义，导函数，单侧导数，导数的几何意义，可导与连续的关系；（2）求导法则：基本求导公式，四则运算法则，复合函数与反函数的求导法则，参数方程的求导法则，高阶导数；（3）微分：微分概念，微分法则
8、，近似计算与误差估计；（4）高阶导数与高阶微分。2、目的和要求（1）掌握导数的概念和依定义求导数的方法；（2）熟练掌握求导法则与基本求导公式；（3）熟练掌握求函数的导数，特别是复合函数的导数；（4）熟悉导数的几何意义，会求函数的微分、高阶导数；（5）熟悉函数在一点连续，可导与可微之间的关系；（6）了解微分的几何意义，近似计算。（六）微分中值定理及其应用（20 学时）本章内容主要包括微分中值定理，不定式的极限，泰勒公式。利用导数研究函数的性态（函数的单调性，极值，最值，凹凸性） 。1、主要内容（1）中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；（2）导数的两个重要定理：导函数的极限定理
9、，导函数的介值定理;（3）不定式极限：罗比塔法则， 型与 型不定式极限， 等0,0,1类型不定式极限；（4）泰勒公式：泰勒定理，某些初等函数的泰勒展式，余项，近似计算。（5） 函数的单调性与极值：函数单调性判别法，极值，最大值与最小值；（6）函数的凹凸性及拐点；（7）函数图象的讨论；2、目的和要求（1）理解并掌握中值定理的内容、证明方法及其应用；（2）熟悉导数的两个重要定理；（3）了解几个简单函数的泰勒展式；（4）熟练掌握利用罗比塔法则求不定式的极限； （5）熟悉利用导数研究函数的单调性，极值，最值，凹凸性，拐点；（6）了解函数作图的基本方法。四、学时分配表章序 内容 课时 备注第一章第二章第三章第四章第五章第六章实数集与函数数列极限函数极限函数的连续性导数和微分微分中值定理及其应用81414101420五、教材及参考书教材： 数学分析 主编：华东师大数学系出版社：高等教育出版社 出版或修订时间 2010.7 第四版参考书：1 数学分析学习指导书 主编：吴良森等出版社：高等教育出版社 出版或修订时间 2004.8 第一版2 数学分析讲义学习辅导书 主编：刘玉琏等出版社：高等教育出版社 出版或修订时间 2003.12 第二版3 数学分析习题课讲义 主编：谢惠民等出版社：高等教育出版社 出版或修订时间 2004.1 第一版执笔：审定：
