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1、本 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学第卷（选择题 共 50 分）一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）.1、集合 ， ，则 （ ）0lg|xM4|2xNNMA （1，2） B1,2) C(1,2 D1,22、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A B C Dxy3xyxy1|xy3、设 ， ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）aRbi0abibaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4、已知圆 ： ， 是过点 （3，0）的直线，则（
2、）042xylPA 与 相交 B 与 相切l CC 与 相离 D以上三个选项均有可能5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ， ，则直线 与直1BACB211线 夹角的余弦值为（ ）1BA B C D352536、从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为 ， ，中位数分别为 ， ，则( )甲x乙 甲m乙A ，乙甲 x乙甲 mB ，乙甲 乙甲C ， 乙甲 乙甲D ，乙甲 x乙甲 7、设函数 ，则（ ）xef)(A 为 的极大值点 B 为 的极小值点 11x)(fC 为 的极大值点 D. 为 的极小值点)(f
3、 8、两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( )A10 种 B15 种 C20 种 D30 种9、在 中，角 , , 所对的边长分别为 ， ， ，若 ，则 的最小Cabc22cbCos值为（ ）A B C D2321110、右图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）A B 10NP104C DM第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题（本大题共有 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11、观察下列不等式 23154713212 照此规律，第五个不等式为_.12、 的展开
4、式中 的系数为 10，则实数 的值为_.5)(xa2xa13、右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米.水位下降 1 米后，水面宽l_米.14、设函数 是由 轴和曲线 及该曲线在点（1，0）处的切,012,ln)(xxfDx)(xfy线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为_ _.yz15、 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若存在实数 使 成立，则实数 的取值范x3|1|xaa围是_.B.（几何证明选做题）如图，在圆 中，直径 与弦 垂直，垂足为 ， ，垂足为OABCDEDBF，若 ， ，则 _.F6AB1
5、EDFC.（坐标系与参数方程选做题）直线 与圆 相交的弦长为_.1cos2cos2三解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 。16、(本小题满分 12 分)函数 （ ， ）的最大值为 3，其图1)6sin()(xAf 0A像相邻两条对称轴之间的距离为 .2（）求函数 的解析式；)(xf（）设 ， ，求 的值.,0)f17、(本小题满分 12 分)设 是公比不为 1 的等比数列，其前 项和为 ，且 , , 成等差数列.nannS5a34（）求数列 的公比；n（）证明：对任意 ， ， ， 成等差数列.Nk2kS1k18、(本小题满分 12 分)（）如图，
6、证明命题“ 是平面 内的一条直线， 是 外的一条直线（ 不垂直于 ） ， 是直abbc线 在 上的投影，若 ，则 ”为真；bbc（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.19、(本小题满分 12 分)已知椭圆 ： ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率.1C42yx2C11C（)求椭圆 的方程.（）设 为坐标原点，点 ， 分别在椭圆 和 上， ，求直OAB12OAB线 的方程.AB20、(本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（)估计第三个顾
7、客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；（） 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 的分布列及数学期望.XX21、(本小题满分 14 分)设函数 （ ， ， ）cbxfnnNbcR（)设 ， ， ，证明： 在区间（ ，1）内存在唯一零点；21)(xfn2（）设 ，若对任意 ， ，有 ，求 的取值范围；x21, 4|)(|xfb（）在（)的条件下，设 是 在（ ，1）内的零点，判断数列 ， ， ， ， 的增n)(f 23x n减性.办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.12012 年陕西省高考理科数学试题答案一、选择题1. 【解析】 ，
8、，则 ，故选 C1xM2xN21xNM2. 【解析】选项中是奇函数的有 B、C 、D ，增函数有 A、D，故选 D3. 【解析】 “ ”则 或 ， “复数 为纯虚数”则 且 ，0ab0bbai0ab则“ ”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件，故选 Bai4. 【解析】点 在圆内，则 必与 相交，故选 A(3,0)PlC5. 【解析】设 ，则 ， ，1CB1,21A1,201B则 ，故选 A5,cos116. 【解析】经计算得： 甲 =21.5625， 乙 =28.5625， 甲 =20， 乙 =29，故选 Bxxm7. 【解析】 ， ， 恒成立，令 ，则()fef0e0xf1当 时， ，函数
9、单调减，当 时， ，函数单调增，10x 1则 为 的极小值点，故选 Dx()f8. 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行 3 场比赛，则情况只有是甲全赢 1 种情况；若两人进行 4 场比赛，第 4 场比赛必为甲赢前 3 场任选一场乙赢为 种情况；31C若两人进行 5 场比赛，第 5 场比赛必为甲赢前 4 场任选一场乙赢为 种情况；624综上，甲赢有 10 种情况，同理，乙赢有 10 种情况，则所有可能出现的情况共 20 种，故选 C9 . 【解析】 ，故选 C212cos2bacbaC10.【解析】M 表示落入扇形的点的个数，1000 表示落入正方形的点的个
10、数，则点落入扇形的概率为 ， 由几何概型知，点落入扇形的概率为 ，10M4则 ，故选 D4P二 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11. 【答案】 6154132122【解析】观察不等式的左边发现，第 n 个不等式的左边= ，22131nL右边= ，所以第五个不等式为 .12n 65422212.【答案】1【解析】 ，令 ，则 ，rrxaCT512235xaCT又 的系数为 10，则 ，2 1035a13.【答案】 6【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0,0） ，设 l 与抛物线的交点为 A、B，根据题
11、意知 A（-2，-2 ） ，B （2，-2 ）设抛物线的解析式为 ，则有 ，2axya ，抛物线的解析式为21a21xy水位下降 1 米，则 y=-3，此时有 或6此时水面宽为 米。614.【答案】2【解析】当 时， ， ，曲线在点 处的切线为xxf1f(1,0)1xy则根据题意可画出可行域 D 如右图：目标函数 ，zy2当 ， 时，z 取得最大值 20x115. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A 【答案】 42a【解析】 表示在数轴上，a 到 1 的距离小于等于 3，即 ，则|1|3x 1a42aB 【答案】5【解析】 ，则圆的半径为 3，连接 OD
12、，则 OD=3来源:学+科+网 又 ，则 OE=26 AE在直角三角形 OED 中， 522OED根据射影定理，在直角三角形 EDB 中， 2BFC 【答案】 3【解析】 是过点 且垂直于极轴的直线，2cos10,2 是以 为圆心，1 为半径的圆，则弦长= .2cos0, 321三、解答题16. 【解析】 （）函数 的最大值是 3， ，即 。fx1A函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，最小正周期 ， 。2T2故函数 的解析式为 。fx()sin()16fx（） ，即 ，()2fsin126i2 ， ， ，故 。036317.【解析】 （1）设数列 的公比为 （ ） 。naq01，由 成等差
13、数列，得 ，即 。534a， ， 3542a2431aq由 得 ，解得 ， （舍去） ，所以 。10q， 2012（2）证法一：对任意 ，kN121k kSSS1ka，0k所以，对任意 ， 成等差数列。N21,kS证法二：对任意 ， ，kaq，21kS211kaqq21kq12kkk211ka2112kkqq，10ka因此，对任意 ， 成等差数列。N21,kkS18. 【解析】 （）证法一 如图，过直线 上一点作平面 的垂线 ，设直线 ， ， ， 的方向bnabcn向量分别是 ， ， ， ，则 ， ， 共面.根据平面向量基本定理，存在实数 ， 使得abcncn，则 ，c )()()(a因为 ，
14、所以 ，ba0又因为 ， ，所以 ，故 ，从而 . nna0cca证法二 如图，记 , 为直线 上异于点 的任意一点，过 作 ,垂足为 ,则AbcPbAPO. ， 直线 ，又 ， 平面 , , 平面cOP,Obba，又 平面 ， . Aca（）逆命题为： 是平面 内的一条直线， 是平面 外的一条直线（ 不垂直于 ） ， 是直线ac在 上的投影，若 ，则 .逆命题为真命题bb19. 【解析】 （）由已知可设椭圆 的方程为 ，2C2142axay其离心率为 ，故 ，则 ，23342a故椭圆 的方程为C162xy（）解法一 两点的坐标分别为 ，BA, BAyx,由 及（）知， 三点共线且点 不在 轴上，O2,因此可设直线 的方程为 .kxy将 代入 中，得 ，所以 ，kxy142422241kxA将 代入 中，得 ，所以 ，6x162xk226B又由 ，得 ，即 ，OAB
