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1、2.3 开腔模式和衍射理论分析方法,Q：在一个没有侧面边界的区域中，是否存在着电磁场的本征态，即不随时间变化的稳态场分布？如果存在，应该如何求出这些场分布？更关心镜面上的场。激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传播的结果。因此，两个镜面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为另一个镜面上的场所产生，反之亦然。,He-Ne激光器基模,Nd:YAG激光器多模,一、激光的横模,反射镜的有限大小会引起衍射损耗，而且在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用非选择性损耗将使横截面内各点的场按同样的比例衰减，对场的空间分布不会发生重要影响衍
2、射主要发生在镜的边缘上，将对场的空间分布发生重要影响；而且，只要镜的横向尺寸是有限的，这种影响将永远存在。,为突出特征、简化分析，提出理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向同性的介质中。没有侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘所构成。考虑在开腔中往返传播的一列波,用波在孔阑传输线中的行进来模拟它在平面开腔中的往复反射（暂不考虑干涉效应）。这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成，这些孔径开在平行放置着的无限大完全吸收屏上，相邻两个孔径的距离等于腔长，孔径大小等于镜的大小。光从一个孔径传播到另外一个孔径，就等效于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个镜面。在通过每一个孔阑时光将
3、发生衍射，射到孔的范围以外的光将被屏所吸收（对应于损耗）。,每经过一个孔，波的振幅和相位分布就经历一次改变；在经过若干个孔以后，其振幅和相位不可避免地逐次发生畸变，逐渐被改变成这样的形状，以致于它们受到衍射的影响越来越小，或者说，它们逐渐趋于一定的稳定分布状态。当通过的孔阑数足够多时，镜面上场的相对振幅和相位分布将不再发生变化，或者说不再受衍射的影响，在腔内往返一次能够“再现”出发时的场分布。,把开腔镜面上经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗，所发生的相移称为往返相移，该相移等于2的整数倍。并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存
4、在，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来（特点1：非任意性）由不同的初始入射波所得到的最终稳态场分布可能是各不相同的，这预示了开腔模式的多样性。实际的物理过程是，开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的，而自发辐射服从统计规律，因而可以提供各种不同的初始分布。（特点2：多样性）,孔阑传输线,1.初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2.不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成,理解激光的空间相干性：即使入射在第一个孔面上的光是空间非相干的，但由于衍射效应，第二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点发出的子波的叠加，这样，第二个孔面上各点波的相位就发生了一定的关联。
5、在经过了足够多次衍射之后，光束横截面上各点的相位关联越来越紧密，因而空间相干性随之越来越增强。在开腔中，从非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光，正是由于衍射的作用。,在无源开腔中，自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程，都不可避免地伴随着初始入射波能量的衰减。在激活腔中，只要某一自再现模能满足阈值条件，则该模在腔内就可以形成自激振荡。这时，自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大，其结果是：光谱不断变窄，空间相干性不断增强，同时，光强也不断增大，最终形成高强度的激光输出。,取激光器的轴向作为z轴，以谐振腔的中心点为原点，并在与主轴垂直的平面上取x、y轴，用TEMmn符号来表示各种横向
6、模式。 m、n分别代表在横截面内的x、y轴方向出现的节线数，或，光强为零的那些零点的序数。,纵模和横模各自从一个侧面反映了谐振腔内能自再现的光场分布。腔内光波往返传播时，干涉和衍射效应同时存在。一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成驻波。用三个正整数m、n、q来标志， TEMmnq 。一种模式的振荡频率不仅与纵模序数q有关，而且与横模序数m、n也有关。,研究表明：一方面，人们从理论上论证了开腔模的存在，并且用数值和解析的方法求出了各种开腔模式；另外，又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样，而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。,自再现模概念起因：由于反射镜的有限大小，它在对光
7、束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应 ，引起反射回来的光束的强度减弱.特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。这个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。,二、衍射理论的分析方法,求解开腔模式，归结为求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分；公式表明：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其它任意位
8、置处的振幅和相位分布。,意义：观察点P处的场可以看作是S面上各子波源所发出的非均匀球面子波的叠加,图3-1 惠更斯-菲涅耳原理,式中 为源点 与观察点 之间的距离； 为源点 P 处的波面法线 与 的夹角； 为光波矢的大小， 为光波长； 为源点 处的面元。,菲涅耳基尔霍夫积分,已知某一镜面上的场分布 ，在衍射作用下经腔内一次渡越而在另一个镜面上生成的场,就将一个镜面上的场通过菲涅耳基尔霍夫积分与另一个镜面上的场联系起来。经过j次渡越后所生成的场uj+1与产生它的场uj之间亦应满足类似的迭代关系,图3-2 镜面上场分布的计算示意图,1、考虑对称开腔中的自再现模。按照模式再现概念，当式中的j足够大时
9、，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， uj+1应能将uj再现出来，即,当j足够大时,此即模式再现概念的数学表达,为与坐标无关的复常数，表示自再现模在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。,自再现模方程,以v(x,y)表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场分布函数（即uj 、uj+1、），有,满足方程的任意一个分布函数v(x,y)就描述腔的一个自再现模或横模。一般地， v(x,y)应为复函数，它的模v(x,y) 描述镜面上场的振幅分布，而其辐角 arg v(x,y) 描述镜面上场的相位分布。,积分方程的核(Kernel),适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）,1.本征函数形式,
10、镜面上振幅分布,镜面上场的相位分布,自再现模积分方程的解的物理意义,对应于本征值 mn,2.本征值复常数的意义,将复常数表示为 ，代入的定义，得到,e-量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减(the loss in mode amplitude per round trip)，愈大,衰减愈甚， 0时，自再现模在腔内能无损耗地传播。表示每经一次渡越模的相位滞后(the phase shift per round trip)， 愈大，相位滞后愈多。,自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为,在对称开腔的情况下，,自再现模在腔内经单程渡越所经受的相对功率损耗称为模的单程损耗，通常以d表示。在对称开腔情况
11、下,g量度自再现模的单程损耗, 不同横模有不同的g和dd ，g 模的单程损耗,3. 单程相移 dmn 自再现模在腔内渡越一次的总相移,几何相移,附加相移，与模式有关,在腔内存在激活物质的情况下，为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡，还必须满足多光束干涉条件：在腔内一次往返的总相移等于2的整数倍(the phase delay per round trip be some integer of 2)，即复常数的模量度自再现模的单程损耗，它的辐角量度自再现模的单程相移，从而也决定模的谐振频率。,谐振条件、驻波和激光纵模 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能
12、满足谐振条件 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。 谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数。,纵模频率间隔,腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔,图(3-4) 腔中允许的纵模数,激光器的输出频率必须满足三个条件：谐振值满足谐振条件。谐振值必须在激光工作物质的光谱线宽范围内增益吸收有一定的阈值。,2、在非对称开腔中，按场在腔内往返一次写出模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自再现模在腔内往返一次的功率损耗，它的辐角量度自再现模的往返相移，并从而决定模的谐振频率。,求解思路,将寻求开腔振荡模的问题归结为求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分方程这样一个数学问题（积分本征值问题）根
13、据各类开腔的具体几何结构，写出方程的具体形式，根据问题的对称性引入适当的坐标系考虑到波长、镜的线度以及腔长的相互数量级关系，将方程简化（将积分核展开，舍去无关紧要的高阶小量）对常见的几何结构，实现变量分离，将关于二元函数的积分方程化成两个单元函数的积分方程求出积分方程的本征值(m、n)与本征函数(vm(x) 、 vn(y) )，得到开腔自再现模的全部特征（包括场分布及传输特性）,一般地， vmn(x,y)应为复函数，它的模vmn(x,y)描述镜面上场的振幅分布，而其辐角arg vmn(x,y) 描述镜面上场的相位分布。,复常数mn的模量度自再现模的单程损耗，它的辐角量度自再现模的单程相移，从而
14、也决定模的谐振频率。,第二章-3 开腔模式和衍射理论分析方法,求 对称共焦腔镜面场分布（本征函数） 单程渡越因子（本征值） （了解）,角向长椭球函数近似解：厄米高斯近似,当x a ，y a的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，下式近似成立,近似解:角向长椭球函数 厄米多项式和高斯函数乘积,厄米多项式,第二章-3 开腔模式和衍射理论分析方法,厄米-高斯近似下,对称共焦腔镜面场分布,附：厄米多项式,例：平行平面腔模的迭代解法,平行平面腔的优点：光束方向性极好（发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损耗也较大，对小增益器件不大适用平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解,利用迭代公式 直接进行数值计算。首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将它代入上式，计算u2、u3、u4等。如此反复运算经过足够多次后，判断能否满足下述关系式如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自再现模或横模。,
