20离散概率－金锄头文库

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1、第20章离散概率,第20章离散概率,20.1 随机事件与概率、事件的运算20.2 条件概率与独立性20.3 离散型随机变量20.4 概率母函数,20.1 随机事件与概率、事件的运算,20.1.1 随机事件与概率样本空间与样本点, 离散样本空间基本事件, 必然事件, 不可能事件20.1.2 事件的运算和事件, 积事件, 差事件, 逆事件, 互不相容加法公式与若当公式,随机试验与随机事件,例1 掷硬币试验例2 摸小球试验. 设袋中有10个相同的小球, 分别编号 0,1,9, 从中任取一个. 随机试验:可以在相同条件下重复进行的试验样本点:随机试验的可能结果样本空间:样本点的全体, 通常记作.

2、离散样本空间:只有有穷个或可数无穷个样本点的样本空间随机事件(事件):样本空间的子集事件A发生当且仅当随机试验的结果A,随机事件的概率,基本事件:只含一个样本点的事件必然事件:必然发生的事件, 即本身不可能事件:不可能发生的事件, 即空集定义20.1 设是离散样本空间, 实函数p: R满足条件:(1) , 0p()1,(2) 称p是上的概率, p()是样本点的概率.事件A的概率规定为,实例,例1(续) 掷硬币. 样本点:0(正面向上), 1(背面向上). =0,1, p(0)= p(1)=0.5 .例2(续) 摸小球. 样本点:i (摸到编号i的小球), i=0,1,9, =i | i=

3、0,1,9, p(i)=0.1, i=0,1,9.记A:摸到编号不超过5的小球, B:摸到编号为偶数的小球, C:摸到编号小于10的小球, D:摸到编号大于10的小球, A=i| i=0,1,5, P(A)=0.6. B=i| i=0,2,4,6,8, P(B)=0.5. C= , 必然事件, P(C)=1. D=, 不可能事件, P(D)=0.,实例,例3 考虑某网站主页在一天内被访问的次数, =N.设上的概率其中0是一常数.不难验证p(i)满足条件:(1) i, 0p(i)1,(2),事件的运算,和事件AB: AB发生当且仅当A发生或B发生积事件AB(AB):AB发生当且仅当A与B同时发

4、生差事件AB: AB发生当且仅当A发生且B不发生逆事件 : = A, 发生当且仅当A不发生A与B互不相容: AB=A与互不相容, 但反之不真,事件运算的计算公式,1 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).当A与B互不相容时, P(AB)=P(A)+P(B).2 若当公式当A1,A2,An两两互不相容时,3 P( )=1P(A) ,实例,例4 从1100中任取一个整数n, 求n能被6或8整除的概率.,解记A:n能被6整除, B:n能被8整除. 所求概率为,P(AB),=P(A)+P(B)P(AB),例3(续) 求该网站主页在一天内至少被访问一次的概率.,解记A:至少被访问一次

5、,P(A)=1P( )=1e .,20.2 条件概率与独立性,20.2.1 条件概率乘法公式全概率公式 20.2.2 独立性 20.2.3 伯努利概型与二项概率公式,条件概率的引入,某班有30名学生, 其中20名男生, 10名女生, 身高1.70米以上的有15名,其中12名男生,3名女生.任选一名学生,问:(1)该学生身高1.70米以上的概率是多少?(2)发现该生是男生, 他的身高1.70米以上的概率是多少?答案 (1) 15/30=0.5. (2) 12/20=0.6. 分析记A:男生, B:1.7米以上(1)求P(A); (2)已知A发生, 求B发生的概率.称作在A发生的条件下,B 的

7、 ,则称B1,B2,Bn是样本空间的一个划分.定理20.1(全概率公式) 设B1,B2,Bn是样本空间的一个划分且P(Bi)0, i=1,2,n, A是任一随机事件, 则证且(ABi)(ABj)= (ij), 故,实例,例1 某系统有5条通信线路. 据统计资料系统接收的报文来自这5条线路的百分比分别为20%, 30%, 10%, 15%和25%, 报文超过100个字母的概率分别为0.4, 0.6, 0.2, 0.8和0.9. 任取一个报文, 求其长度超过100个字母的概率.,解记A:超过100个字母, Bi:来自第i条线路, i=1,2,5.,P(B1)=0.2, P(B2)=0.3,

8、P(B3)=0.1, P(B4)=0.15, P(B5)=0.25,P(A|B1)=0.4, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=0.2, P(A|B4)=0.8, P(A|B5)=0.9,由全概率公式 P(A)=0.20.4+0.30.6+0.10.2+0.150.8+0.250.9 =0.625.,实例,例2 袋中有6个红球和4个绿球, 从袋中取两次, 每次任取一个球. 有两种取法: a.放回抽样, b.不放回抽样. (1) 求第一次取到红球的概率.(2)求第二次取到红球的概率.(3) 已知第一次取到红球, 求第二次取到红球的概率.,解设A:第一次取到红球, B:第二次取到红球.

9、(1) 求 (2) 求 (3) 求,P(A),P(B),P(B|A),a. 放回抽样.,P(A)=P(B)=P(B|A)=6/10.,b. 不放回抽样.,P(A)=6/10, P(B|A)=5/9,独立性,放回抽样中P(B)=P(B|A), 不放回抽样中 P(B)P(B|A).当P(A)0时, P(B)=P(B|A)当且仅当P(AB)=P(A)P(B). 定义20.3 如果P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A和B相互独立.例3 两战士打靶, 已知甲的命中率为0.9, 乙的命中率为0.7.两人射击同一个目标, 各打一枪. 求目标被击中的概率.解设A:甲击中目标, B:乙击中目标. 可以假

10、设A与B相互独立. 于是, P(AB)= P(A)+P(B)P(A)P(B) =0.9+0.70.90.7=0.97.,独立性(续),定义20.4 设n个事件A1, A2,An, n3. 如果对任意的正整数kn和1i1i2ikn,则称这n个事件相互独立.(1)若A与B相互独立, 则A与 , 与B, 与都相互独立.(2)设A1, A2,An相互独立, 则将其中的任意若干个事件换成它们的逆事件后也相互独立.,伯努利概型与二项概率公式,伯努利概型:在相同的条件下重复进行试验, 每次试验的结果只有两个: 事件A发生或不发生, 且各次试验是相互独立的. 定理20.2(二项概率公式) 设在伯努利概型中,

11、每次试验事件A发生的概率为p(0p1), 则在n次试验中A恰好发生k(0kn)次的概率为,实例,解 (1),(2) P10(1)+ P10(2)+ P10(10),=1P10(0),例4 一台工作站有10个终端. 假设每个终端的使用率为且是否使用是相互独立的, 求:(1) 恰好有5个终端在使用的概率.(2) 至少有一个终端在使用的概率.,20.3 离散型随机变量,20.3.1 离散型随机变量及其分布律 20.3.2 常用分布0-1分布, 二项分布, 泊松分布, 超几何分布几何分布, 巴斯卡分布, 负二项分布 20.3.3 数学期望20.3.4 方差切比雪夫不等式,随机变量,随机试验结果的

12、数字化. 例如, 掷硬币试验, 令定义20.5 设随机试验的样本空间为, 称定义在上的实值函数X:R为随机变量. 通常把X()简记作X. 只可能取到有穷个或可数无穷个值(即为离散样本空间)的随机变量称作离散型随机变量,离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量X可能取到的值为a1, a2, (有穷个或可数无穷个), 称 PX=ak=pk, k=1,2,为X的概率分布律, 简称为分布律. 性质:(1) k, 0pk1, 例如, 掷硬币试验 PX=1=0.5, PX=0=0.5,实例,例1 套圈游戏. 某人反复套同一个目标, 直到套中为止, 把套中目标所用的次数记作X. 设他每次套中目标的概率为p

13、(0p1)且是否套中是相互独立的, 试给出X的分布律.,解 PX=k=qk1p, k=1,2, 其中q=1p,定义20.6 设X和Y的分布律分别为 PX=ai=pi , i=1,2,和 PY=bj=qj , j=1,2,如果i,j, 事件X=ai和Y=bj相互独立, 即 PX=ai,Y=bj=pi qj, i, j=1,2,则称X和Y相互独立. 设X1, X2, Xn是n个离散型随机变量, Xi的分布律为 PXi=aij=pij, j=1,2, i=1,2,n如果j1, j2, jn, 事件X1= , Xn= 相互独立, 则称X1, X2, Xn相互独立.,随机变量的独立性,常用分布,1. 0-1分布 PX=1=p, PX=0=q, 其中q=1p, 0p1.2. 二项分布B(n,p) 其中q=1p, 0p1.3. 泊松(Poisson)分布,常用分布(续),4. 超几何分布其中l = min(n,M).设有N个球, 其中有M个红球. 从中任取n (nNM)个,记这n个球中的红球数为X, 则X服从超几何分布. 5. 几何分布 PX=k=qk1p, k=1,2, 其中q=1p,设在伯努利试验中, 每次试验A发生的概率为p(0p1). 把事件A首次发生时的试验次数记作X, 则X服从几何分布.,

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